Линейные неравенства: задания с ответами

Решаем неравенство по обычному алгоритму: сначала раскрываем скобки, затем приводим подобные слагаемые и только после этого изолируем переменную.

1. Раскроем скобки.

$4(2x-3)=8x-12$, а $-5(x+1)=-5x-5$.

Тогда получаем:

$8x-12-5x-5>3x-7$.

2. Приведём подобные слагаемые.

Слева: $8x-5x=3x$, а $-12-5=-17$. Получаем:

$3x-17>3x-7$.

3. Сократим одинаковые члены.

Вычтем $3x$ из обеих частей:

$-17>-7$.

Это неверное утверждение, потому что $-17$ не больше, чем $-7$. Значит, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: множество решений пусто, то есть $\varnothing$.

Важно для ОГЭ: если после преобразований переменная сокращается и остаётся ложное неравенство, нужно писать, что решений нет. Частая ошибка — пытаться дальше что-то «исправить» или забывать, что пустое множество тоже является ответом.

Рассмотрим неравенство 3x - 4 < 3x + 2.

Здесь в обеих частях есть одинаковое выражение 3x. Это очень важный тип задач: если по обе стороны неравенства стоит одно и то же слагаемое с переменной, его можно сократить, то есть вычесть из обеих частей. Так можно делать, потому что от одинакового числа или выражения, прибавленного к обеим частям, знак неравенства не меняется.

Вычтем 3x из левой и правой части:

-4 < 2.

Теперь переменная исчезла, и мы получили обычное числовое неравенство. Оно верное всегда, потому что -4 действительно меньше, чем 2.

Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении x. Следовательно, множество решений — все действительные числа.

Ответ: ℝ.

Полезно запомнить алгоритм для таких заданий:

1. Проверь, одинаковы ли выражения с переменной в обеих частях.
2. Сократи их, вычитая одно и то же выражение из обеих частей.
3. Посмотри, что получилось: если верное числовое неравенство, то решений бесконечно много; если неверное, то решений нет.

Частая ошибка — пытаться «решать» такое неравенство как обычное линейное, хотя переменная после сокращения уже исчезает. Ещё одна ошибка — написать какой-нибудь интервал или одно число, хотя здесь ответом может быть только либо пустое множество, либо все действительные числа.

Решим неравенство по шагам, как это удобно делать на ОГЭ.

1. Переносим слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую.
Из неравенства 7x - 5 \le 2x + 10 вычтем 2x из обеих частей и прибавим 5 к обеим частям:

7x - 2x \le 10 + 5.

Получаем:

5x \le 15.

2. Делим обе части на число при x.
Число 5 положительное, поэтому знак неравенства не меняется:

x \le 3.

Значит, множество решений — все числа, не превосходящие 3.

3. Почему это важно помнить?
Главная типичная ошибка — изменить знак неравенства «по привычке» или забыть это сделать при делении на отрицательное число. В этой задаче делили на положительное число, поэтому знак остался прежним.

Ответ: x \le 3.

Разберёмся пошагово, как решать такие неравенства на ОГЭ.

Дано неравенство: -4x < 12.

Нужно найти, какой знак получится перед переменной после деления обеих частей на -4.

Главное правило: если обе части неравенства делят или умножают на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Здесь делим обе части на -4:

x > -3

Почему так получилось?

• Сначала делим числа: 12 : (-4) = -3.
• Потом обязательно меняем знак неравенства: из < получаем >.

Значит, правильный ответ — вариант, где записано x > -3.

Частая ошибка: многие школьники делят верно, но забывают поменять знак. Тогда они пишут x < -3, и это неверно.

Как быстро проверять себя на экзамене:

1. Посмотри, на какое число делишь.
2. Если число отрицательное — сразу вспомни: знак неравенства меняется.
3. После деления проверь вычисление числа справа.

В этой задаче важно не только правильно посчитать, но и помнить правило про изменение знака. Это один из самых частых и лёгких для потери баллов случаев на ОГЭ.

Решим неравенство по шагам и внимательно следим за знаком неравенства.

1. Перенесём число 7 в правую часть. Получаем:

-3x > 1 - 7

-3x > -6

Это можно делать, потому что мы вычитаем одно и то же число из обеих частей неравенства, и его смысл не меняется.

2. Разделим обе части на -3. Здесь важно помнить главное правило: если делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем:

x < 2

3. Проверяем ответ. Если взять, например, x = 1, то:

-3 · 1 + 7 = 4, а 4 > 1 — верно. Значит, найденное условие подходит.

Правильный ответ: x < 2.

Частые ошибки в таких заданиях:

• забывают поменять знак неравенства при делении на отрицательное число;
• неправильно переносят число через знак неравенства;
• останавливаются на шаге -3x > -6 и не доводят решение до конца.

На ОГЭ такие задания проверяют именно аккуратность преобразований. Если вы помните правило про отрицательное число, то легко не потеряете баллы.

Решаем неравенство по шагам.

Дано: -3x > 12.

Нужно выразить x. Для этого делим обе части неравенства на -3. Это очень важный момент: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем:

x < -4.

Проверим: если взять число меньше -4, например -5, то -3·(-5)=15, а 15 > 12 — верно. Значит, ответ найден правильно.

Почему легко ошибиться?

• Частая ошибка — забыть поменять знак неравенства при делении на отрицательное число. Тогда могут написать x > -4, но это неверно.
• Ещё одна ошибка — неправильно разделить 12 на -3 и получить не тот знак у числа.

Запомните алгоритм для ОГЭ:

1. Выделите коэффициент при переменной.
2. Если делите или умножаете на отрицательное число, обязательно меняйте знак неравенства.
3. Проверьте вычисление числа отдельно.

Итак, правильный ответ: x < -4.

Решим неравенство по шагам:

−3x + 5 > 2x − 10

1. Перенесём слагаемые с x в одну сторону, а числа — в другую. Удобно вычесть 2x из обеих частей и вычесть 5 из обеих частей:

−3x − 2x > −10 − 5

−5x > −15

2. Разделим обе части на −5. Здесь важно помнить главное правило: если делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

x < 3

3. Запишем множество решений. Подходят все числа, которые меньше 3. На числовой прямой это промежуток слева от 3, не включая число 3, потому что знак строгий (> в исходном неравенстве).

Ответ: x < 3, то есть (−∞; 3).

Почему здесь легко ошибиться?

• Можно забыть поменять знак неравенства при делении на отрицательное число.
• Можно неверно перенести числа и получить ошибку в вычислениях.
• Можно записать x ≤ 3, хотя при строгом неравенстве граница не входит в решение.

Полезный приём для ОГЭ: всегда после упрощения быстро проверяйте: если коэффициент при x стал отрицательным и вы делите на него, знак неравенства обязательно меняется. Это помогает не терять лёгкие баллы в типовых заданиях.

Решим неравенство пошагово и посмотрим, почему знак в ответе меняется.

Дано: -3x > 12.

Чтобы найти x, нужно разделить обе части неравенства на число -3. Это можно делать, но важно помнить главное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Делим:

x < -4.

Значит, между x и числом -4 должен стоять знак <.

Почему так происходит? Если умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, порядок чисел на числовой прямой «переворачивается». Например, если 3 > 1, то после умножения на -1 получаем -3 < -1. Поэтому знак меняется именно на противоположный.

Частая ошибка — написать x > -4, не изменив знак. В ОГЭ это одна из самых типичных потерь балла. Ещё одна ошибка — правильно изменить знак, но неверно поделить числа: 12 : (-3) = -4, а не 4.

Итог: правильный знак — <, то есть x < -4.

Решим неравенство по шагам:

$7x-5<-2x+13$

1) Соберём все слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой. Для этого прибавим $2x$ к обеим частям и прибавим $5$ к обеим частям:

$7x+2x<13+5$

2) Приведём подобные слагаемые:

$9x<18$

3) Теперь разделим обе части на $9$. Так как число $9$ положительное, знак неравенства не меняется:

$x<2$

Значит, множество решений — все числа, меньшие 2. В виде интервала это $(-\infty ,2)$.

Полезно помнить: при решении линейных неравенств главное — аккуратно переносить слагаемые и не забывать, что знак неравенства меняется только при делении или умножении на отрицательное число. В этой задаче делим на положительное число, поэтому знак остаётся тем же.

Частая ошибка — неверно посчитать $13+5$ или забыть перенести $2x$ влево. Чтобы не потерять балл, после упрощения всегда проверяйте: получилось ли неравенство вида $kx<m$, и не является ли коэффициент при $x$ отрицательным.

Разберём решение по шагам. В таких заданиях важно сначала упростить обе части неравенства, а потом уже делать вывод о множестве решений.

Имеем неравенство:

4x - 7 < 2x - 1 + 2x - 6.

1. Упростим правую часть.
Сложим подобные слагаемые: 2x + 2x = 4x, а -1 - 6 = -7. Получаем:

4x - 7 < 4x - 7.

2. Сравним обе части.
После упрощения получилось неравенство 4x - 7 < 4x - 7, то есть одна и та же величина должна быть строго меньше самой себя. Это невозможно.

3. Сделаем вывод.
Такое неравенство не имеет решений, значит, множество решений — ∅.

Почему это важно для ОГЭ?
Когда переменная сокращается, нужно быть особенно внимательным: иногда после упрощения получается либо верное тождество, либо противоречие. Если получилось что-то вроде 0 < 0 или a < a, значит, решений нет. Если же вышло 0 < 5, тогда верно при любом x.

Частые ошибки:

• неправильно раскрывают скобки или складывают числа;
• забывают, что одинаковые выражения по обе стороны сокращаются;
• после сокращения неверно пишут ответ в виде интервала, хотя решений нет.

Правильный ответ: ∅.

Рассмотрим неравенство 7x + 3 < 7x + 10.

Это как раз тот тип задания, где выражения с переменной одинаковы по обе стороны неравенства. Значит, их можно убрать, вычтя 7x из левой и правой части. При этом знак неравенства не меняется, потому что мы вычитаем одно и то же число из обеих частей:

7x + 3 - 7x < 7x + 10 - 7x

Получаем числовое неравенство:

3 < 10

Это верное неравенство. А если после сокращения переменной получилось верное числовое неравенство, то исходное неравенство выполняется при любом значении переменной.

Следовательно, множество решений — все действительные числа.

Важно помнить на ОГЭ:

• если одинаковые выражения с x стоят по обе стороны, сначала сокращайте их;
• не нужно искать одно конкретное число, когда ответом является множество;
• если после сокращения получается верное сравнение чисел, решение — все числа;
• если после сокращения получается неверное сравнение чисел, решений нет.

Типичная ошибка: некоторые ученики думают, что нужно делить на коэффициент при x или переносят переменную неверно. Но здесь переменная полностью исчезает, и всё решается обычным сравнением чисел.

Правильный ответ: все действительные числа.

Решим неравенство по шагам, как это удобно делать на ОГЭ.

1. Раскроем скобки. В левой части стоит выражение 2(3x - 1). Умножаем каждое слагаемое в скобках на 2:

2(3x - 1) - 5 < x + 7

6x - 2 - 5 < x + 7

Получаем:

6x - 7 < x + 7

2. Перенесём слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую. Удобно вычесть x из обеих частей:

5x - 7 < 7

Теперь прибавим 7 к обеим частям:

5x < 14

3. Разделим на положительное число. Делим обе части на 5:

x < 14/5

Так как делили на положительное число, знак неравенства не меняется.

4. Запишем ответ в виде интервала. Все числа, меньшие 14/5, записываются так:

(-∞; 14/5)

Почему это важно на ОГЭ: многие ошибки связаны не с самой идеей решения, а с невнимательностью. Например, при раскрытии скобок можно забыть умножить на 2 второе слагаемое, а при делении на отрицательное число — не поменять знак неравенства. Здесь делили на положительное число, поэтому знак остался прежним.

Проверка: возьмём число из ответа, например x = 0. Тогда левая часть равна 2(3·0 - 1) - 5 = -7, правая — 0 + 7 = 7. Получаем -7 < 7 — верно. А число x = 3 уже не подходит, потому что 3 < 14/5 неверно. Значит, граница найдена правильно.