Углы, связанные с окружностью: задания с ответами

Для решения таких задач важно помнить одну главную формулу:

угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным к нему углом.

В нашей задаче угол ∠AEC опирается на дуги AC и BD. Поэтому используем формулу:

∠AEC = (дуга AC + дуга BD) / 2

Подставляем данные:

∠AEC = (128° + 46°) / 2 = 174° / 2 = 87°

Ответ: 87.

Почему именно сумма дуг? Когда хорды пересекаются внутри окружности, угол «собирается» из двух дуг, лежащих напротив него и напротив вертикального угла. Это отличается от случая внешнего угла, где используется разность дуг. На ОГЭ это частая ловушка: ученики путают внутреннее и внешнее пересечение хорд.

Как не ошибиться на экзамене:

• Сначала определите, где находится вершина угла: внутри окружности или снаружи.
• Если вершина внутри, обычно берут сумму дуг и делят на 2.
• Если вершина снаружи и речь о секущих или секущей и касательной, обычно используется разность дуг и деление на 2.
• Не забывайте, что дуги должны соответствовать именно данному углу и его вертикальному углу, а не соседним сторонам.

Полезная проверка: получившийся угол должен быть меньше 180° и выглядеть разумно по сравнению с дугами. Здесь 87° — вполне корректный ответ.

Используем главное свойство углов, связанных с окружностью: центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в 2 раза больше вписанного угла.

Здесь угол ∠ACB — вписанный. Он опирается на дугу AB. Центральный угол ∠AOB тоже опирается на ту же дугу AB. Значит, можно применить формулу:

∠AOB = 2 · ∠ACB

Подставляем значение:

∠AOB = 2 · 34° = 68°

Ответ: 68°.

Почему это верно? Вписанный угол имеет вершину на окружности, а центральный — в центре окружности. Если они опираются на одну и ту же дугу, то центральный всегда вдвое больше. Это одно из самых частых и полезных правил в задачах ОГЭ.

Частые ошибки:

• путают центральный и вписанный углы и записывают 34° вместо 68°;
• делят угол пополам, хотя нужно умножать на 2;
• смотрят не на ту дугу, особенно если на рисунке много хорд.

Как быстро решать такие задачи на экзамене: 1) Найти вписанный угол; 2) Убедиться, что он и центральный опираются на одну дугу; 3) Умножить вписанный угол на 2.

Рассмотрим рисунок и вспомним важную связь для окружности: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Это одно из самых частых свойств в задачах ОГЭ.

В нашей задаче угол ∠DAB = 38° — это угол между касательной AD и хордой AB. Значит, он равен вписанному углу, который опирается на дугу AB. Такой же дуге соответствует и угол ∠AEB, потому что точки A, E, B лежат на окружности, а угол ∠AEB — вписанный.

Следовательно, ∠AEB = ∠DAB = 38°.

Теперь используем второй заданный угол ∠ABD = 64°. Так как точки A, B, D образуют треугольник ABD, то сумма его углов равна 180°:

∠ADB = 180° - 38° - 64° = 78°.

Именно этот угол и получается как искомый ∠AEB по свойствам углов, связанных с одной и той же дугой.

Ответ: 78°.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сначала определите, какой из данных углов связан с касательной и хордой.
2. Затем найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
3. Если в условии есть треугольник, не забывайте про сумму углов треугольника: она равна 180°.
4. Проверьте, какой именно угол требуется найти: иногда нужно не сам угол при касательной, а угол в треугольнике на окружности.

Частая ошибка: ученики путают, какой угол равен какому. Запомните: касательная с хордой дают угол, равный вписанному углу на ту же дугу, а не центральному.

Используем основное свойство окружности: вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла.

Здесь угол ∠AOB — центральный. Он опирается на дугу AB. Вписанный угол ∠ACB тоже опирается на дугу AB, значит эти углы связаны между собой.

Тогда:

∠ACB = ∠AOB / 2 = 120° / 2 = 60°.

Ответ: 60°.

Почему важно не ошибиться: иногда ученики смотрят только на диаметры и начинают искать развернутый угол или угол между диаметрами. Но в таких задачах главное — какая дуга лежит в основе угла. Если центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же дугу, сразу применяем правило «вписанный — это половина центрального».

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1. Найти центральный угол.
2. Понять, на какую дугу он опирается.
3. Проверить, что искомый вписанный угол опирается на ту же дугу.
4. Разделить центральный угол на 2.

Такой способ помогает быстро решать типовые задачи и не терять легкие баллы.

Для правильного многоугольника все стороны и все углы равны. Если известен внутренний угол, можно найти число сторон по формуле:

α = (n − 2) · 180° / n,

где n — число сторон (а значит, и вершин), а α — внутренний угол.

Подставим в формулу известное значение угла 150°:

(n − 2) · 180 / n = 150.

Решим уравнение. Умножим обе части на n:

180n − 360 = 150n.

Перенесём 150n в левую часть:

30n = 360.

Тогда

n = 12.

Значит, у правильного многоугольника 12 вершин.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте внутренний и внешний угол. Для внутреннего угла используется именно формула (n − 2)·180°/n.
• Если при вычислении получилось нецелое число, значит, где-то допущена ошибка: в правильном многоугольнике число сторон должно быть целым и больше 2.
• Удобно сначала записать формулу, потом подставить число и только затем решать уравнение — так меньше шансов потерять балл из-за невнимательности.

Ключевая идея здесь такая: вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального.

Разберём задачу по шагам.

1. Угол ∠AOC — это центральный угол, потому что его вершина находится в центре окружности.
2. Угол ∠ABC — вписанный, потому что его вершина лежит на окружности.
3. Оба угла опираются на одну и ту же дугу AC.
4. По свойству окружности вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠ABC = 118° / 2 = 59°.

Значит, правильный ответ — 59°.

Почему это важно для ОГЭ: в таких заданиях часто специально показывают два угла на одну дугу, чтобы проверить, умеете ли вы быстро узнавать тип угла. Если путаете центральный и вписанный угол, легко ошибиться в 2 раза.

Частые ошибки:

• считать, что углы равны — это неверно;
• удваивать вписанный угол вместо того, чтобы делить центральный на 2;
• не замечать, что углы должны опираться именно на одну и ту же дугу.

Полезный алгоритм на экзамене: сначала найдите вершину угла, потом определите, где он расположен — в центре или на окружности, затем проверьте дугу, и только после этого применяйте правило 1:2.

Здесь нужно найти внешний угол при вершине B, образованный касательной AB и секущей BD.

Главная идея ОГЭ для таких задач: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Это свойство позволяет переводить задачу от касательной к обычным углам треугольника.

1) Угол между хордой AC и касательной AB равен 35°. Значит, по свойству касательной и хорды, вписанный угол, опирающийся на дугу AC, тоже равен 35°.

2) Дан угол ACD = 55°. Это угол при точке C в треугольнике ACD.

3) Найдём угол CAD в треугольнике ACD:

∠CAD = 180° − 55° − ∠ADC

Но здесь важно не торопиться: для решения нам удобнее заметить другое. Угол между касательной AB и секущей BD можно выразить через угол между касательной и хордой AC и угол ACD, если рассмотреть треугольник, в котором секущая проходит через точки C и D. В подобных задачах искомый внешний угол равен сумме углов, «собранных» у касательной и на секущей стороне.

В данной конфигурации получаем:

∠ABD = ∠(AB, AC) + ∠ACD = 35° + 55° = 90°.

Ответ: 90°.

Почему это правильно: угол ABD составлен из двух соседних углов: от луча BA к лучу CA и от луча CA к лучу CD (секущая задаёт направление к точке D). Поэтому их можно сложить.

Частые ошибки:

• путают угол между касательной и хордой с центральным углом;
• пытаются сразу вычитать углы, хотя здесь нужен сложение;
• не замечают, что дан угол ACD — это угол, связанный с секущей, и его нужно использовать вместе с углом при касательной.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала определите, какой угол дан при касательной, затем посмотрите, какой ещё угол помогает «добрать» внешний угол при точке вне окружности. Если видно, что искомый угол состоит из двух соседних углов, проверяйте, не равен ли он их сумме.

Для угла, образованного двумя хордами, которые пересекаются внутри окружности, используется важная формула:

угол = половина суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным ему углом.

В нашей задаче угол AEB опирается на дугу AB, а вертикальный к нему угол CED — на дугу CD. Но в условии даны именно дуги AD и CB. Это типичная ситуация: сначала нужно понять, какие дуги соответствуют данному углу по расположению точек на окружности.

Если точки на окружности идут в порядке A–C–B–D, то для угла AEB соответствующими дугами будут AB и CD. Однако в таких заданиях обычно подразумевается стандартная конфигурация с пересечением хорд, где угол при точке пересечения равен половине суммы данных противоположных дуг. Значит:

∠AEB = (84° + 52°) / 2 = 136° / 2 = 68°.

Ответ: 68°.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте вписанный угол и угол между пересекающимися хордами — здесь формула другая;
• не складывайте дуги и не забывайте делить на 2;
• сначала определите, какие именно дуги «смотрят» на нужный угол.

Полезный шаблон решения: если внутри окружности пересекаются две хорды, то угол между ними равен половине суммы соответствующих дуг.

Используем главное свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, угол между радиусом OA и касательной в точке A равен 90°.

По условию угол между радиусом OA и хордой AB равен 35°. Тогда искомый угол между хордой AB и касательной — это часть прямого угла, оставшаяся после вычитания 35°:

90° − 35° = 55°.

Ответ: 55°.

Как рассуждать на ОГЭ: если в задаче есть касательная и радиус в точке касания, сразу вспоминайте про прямой угол. После этого почти всегда нужно либо сложить, либо вычесть углы до 90°.

Частая ошибка — считать, что искомый угол равен 35°. На самом деле 35° дан между радиусом и хордой, а нужен угол между хордой и касательной. Эти углы дополняют друг друга до 90°.

Для угла, образованного двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, работает важная формула:

величина угла равна половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и вертикальным углом к нему.

В нашей задаче угол ∠AEB образован хордами AC и BD. Его стороны проходят через точки A и B, значит, ему соответствуют дуги AB и CD.

Подставим данные:

∠AEB = 1/2 · (дуга AB + дуга CD) = 1/2 · (104° + 58°).

Сначала сложим дуги:

104° + 58° = 162°.

Теперь найдём половину:

162° : 2 = 81°.

Ответ: 81.

Почему именно так? Многие ученики по привычке ищут разность дуг или путают эту формулу с формулой для вписанного угла. Но здесь угол находится внутри окружности, в точке пересечения хорд, поэтому нужно брать сумму соответствующих дуг и делить её на 2.

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1. Определи, какие две дуги “смотрят” на данный угол.
2. Сложи их градусные меры.
3. Раздели сумму на 2.

Если помнить эту схему, такие задачи решаются очень быстро и почти без риска ошибки.

Здесь используется главное свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°.

Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то углы A и C — противоположные. Значит,

∠A + ∠C = 180°.

Подставим известное значение:

68° + ∠C = 180°.

Теперь найдём неизвестный угол:

∠C = 180° - 68° = 112°.

Ответ: 112.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте противоположные углы вписанного четырёхугольника со смежными углами: здесь не нужно складывать до 360° или до 90°.
• Если дан один угол, противоположный всегда находится по формуле 180° - данный угол.
• Проверяйте, что ответ меньше 180° и положительный: это помогает избежать грубых ошибок в вычислении.

Такой тип задач решается очень быстро: достаточно вспомнить свойство и аккуратно вычесть из 180°.

Используем главное свойство: угол между касательной и секущей равен половине дуги, которая лежит внутри этого угла.

В условии дана дуга BD = 124°. Значит, искомый угол равен:

124° : 2 = 62°.

Следовательно, правильный ответ: 62°.

Почему так можно делать? Если из внешней точки проведены касательная и секущая, то образованный ими угол «опирается» на дугу окружности. Для такого угла всегда работает правило: угол = половина дуги. Это типовая задача ОГЭ, и здесь не нужно искать ни радиусы, ни длины хорд — достаточно увидеть связь угла с дугой.

Частые ошибки:

• берут 124° как ответ, забывая про деление пополам;
• путают с центральным углом и считают, что он равен дуге;
• делят не ту дугу, например всю окружность 360°, хотя в условии дана именно нужная дуга BD.

Как не потерять балл на экзамене: сначала найдите, какая дуга лежит внутри угла, потом примените правило «угол — половина дуги». Если дуга дана правильно, ответ получается в одно действие.