Линейная функция и пересечение прямых: задания с ответами

В точке пересечения графиков двух функций их значения равны, то есть для одной и той же абсциссы x получаются одинаковые значения y. Это главный принцип для всех задач на пересечение прямых.

Запишем условие пересечения:

2x + 1 = -x + 10.

Теперь решаем обычное линейное уравнение. Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

2x + x = 10 - 1,

3x = 9,

x = 3.

Значит, абсцисса точки пересечения равна 3.

Почему это работает? Если две прямые пересекаются, то в точке пересечения у них одна и та же точка плоскости, а значит совпадают и координата x, и координата y. Поскольку обе функции заданы через y через x, достаточно приравнять правые части — это и есть способ найти общую точку.

Частые ошибки:

• путают абсциссу и ординату и пишут в ответе не x, а y;
• ошибочно складывают коэффициенты при x вместо переноса;
• теряют знак при переносе числа через знак равенства.

Самопроверка: подставим x = 3 в обе формулы. Получаем y = 2·3 + 1 = 7 и y = -3 + 10 = 7. Значит, точка пересечения действительно имеет вид (3; 7), а искомая абсцисса найдена верно.

Чтобы записать уравнения для коэффициентов k и b, нужно не находить их сразу, а просто подставить координаты каждой точки в общий вид линейной функции y = kx + b.

Для точки A(1; 4) координата x равна 1, а координата y равна 4. Подставляем:

4 = 1·k + b, то есть k + b = 4.

Для точки B(3; 10) аналогично подставляем:

10 = 3·k + b.

Значит, правильная система выглядит так:

k + b = 4
3k + b = 10

Это и есть ответ, который соответствует подстановке координат обеих точек в уравнение прямой. Важно не перепутать координаты местами: в подстановке x идёт на место переменной x, а y — на место y. Ещё одна частая ошибка — попытка сразу вычислить k и b, хотя в задаче требуется именно записать уравнения, а не решить систему.

Для самопроверки полезно помнить: если у точки координаты (x; y), то после подстановки в y = kx + b всегда получается уравнение вида y = kx + b с числами вместо координат, но неизвестные k и b остаются. Это базовый шаг при работе с прямыми на ЕГЭ: сначала аккуратно составить уравнения по точкам, а уже потом, если нужно, решать систему и находить саму прямую.

Точка пересечения двух прямых — это точка, координаты которой одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. Значит, нужно решить систему двух линейных уравнений:

2x + y = 7
x - 2y = -4

Для ЕГЭ важно не просто найти ответ, а выбрать удобный метод. Здесь удобно выразить одну переменную из первого уравнения:

y = 7 - 2x

Подставим это во второе уравнение:

x - 2(7 - 2x) = -4

Раскрываем скобки:

x - 14 + 4x = -4

5x - 14 = -4

5x = 10

x = 2

Теперь найдём y, подставив x = 2 в любое из уравнений. Например, в первое:

2·2 + y = 7

4 + y = 7

y = 3

Итак, точка пересечения — (2; 3).

Ответ: A.

Почему это типичная ловушка: многие ученики ошибаются в знаках при раскрытии скобок или забывают, что координаты нужно записывать в порядке x, затем y. Ещё одна частая ошибка — подставить найденное значение только в одно уравнение и не проверить второе. На экзамене полезно делать быструю самопроверку: подставьте найденные числа в оба уравнения. Для точки (2; 3) получаем: 2·2 + 3 = 7 и 2 - 2·3 = -4, всё верно.

Общий стратегический вывод: если прямые заданы уравнениями, их пересечение находится как решение системы. Можно использовать подстановку, сложение или сравнение выражений. Выбор метода зависит от вида коэффициентов: если где-то легко выразить переменную — используйте подстановку; если коэффициенты удобно сократить — выгоднее метод сложения. Важно сохранять аккуратность в алгебраических преобразованиях: именно вычислительные ошибки чаще всего стоят потери баллов.

Если прямая задана уравнением y = kx + b, то любая точка, лежащая на этой прямой, удовлетворяет этому уравнению. Это и есть основной принцип: координаты точки надо подставить вместо x и y.

Для точки A(2; -1) получаем:

-1 = 2k + b.

Важно не перепутать координаты местами: первая координата — это x, вторая — y. Ошибка вида 2 = -1·k + b здесь неверна, потому что она означает подстановку координат в обратном порядке.

Для точки B(-3; 4) получаем:

4 = -3k + b.

Здесь особенно важно аккуратно работать со знаком минус: при подстановке x = -3 коэффициент при k становится -3k, а не +3k.

Значит, правильный набор уравнений:

-1 = 2k + b, 4 = -3k + b.

Почему это важно для ЕГЭ: в таких заданиях часто проверяют не вычисления, а умение переводить геометрическое условие на язык алгебры. Если точки даны две, то и уравнений должно быть два — по одному на каждую точку. Если записано только одно уравнение, решение считается неполным. Если в ответе отсутствует b, то это уже не уравнение прямой вида y = kx + b, а другая модель.

Самопроверка: после подстановки в каждой записи слева должен стоять y-координата точки, справа — выражение с соответствующей x-координатой. Если обе точки разные, то обычно получаются две разные формулы, и это нормально.

Ищем не значение функции по аргументу, а, наоборот, аргумент x, при котором f(x)=0. Это означает, что нужно найти точку пересечения графика с осью Ox, потому что все точки на оси абсцисс имеют ординату y=0.

График задан двумя точками: (0; 3) и (2; -1). Так как это прямая, найдём её уравнение или используем линейность. Удобнее сначала вычислить угловой коэффициент:

k = (-1 - 3) / (2 - 0) = -4/2 = -2.

Значит, уравнение прямой имеет вид y = -2x + b. Подставляем точку (0; 3): 3 = -2·0 + b, откуда b = 3. Получаем y = -2x + 3.

Теперь ищем, при каком x функция равна нулю:

0 = -2x + 3.

Переносим: 2x = 3, значит x = 3/2.

Ответ: 3/2.

Как рассуждать на ЕГЭ быстро: если по графику нужно найти x при заданном y, то сначала мысленно проводим горизонтальную линию y = const до пересечения с прямой, а затем считываем абсциссу точки пересечения. Здесь задано y=0, то есть ищем пересечение с осью Ox. Частая ошибка — перепутать оси и ответить y-координату вместо x. Ещё одна ловушка — неверно считать деления, особенно когда ответ дробный. Полезная самопроверка: подставить найденное x в уравнение прямой и убедиться, что действительно получается нужное y.

Такого рода задачи проверяют умение не просто «считать точку с рисунка», а связывать значение функции с координатами точки на прямой. Если f(x)=2, это означает, что мы ищем точку графика, у которой ордината равна 2, то есть y=2. Нужно определить соответствующее значение абсциссы x.

Поскольку прямая задана двумя точками (-2; 5) и (4; -1), сначала можно понять её уравнение. Угловой коэффициент:

k = (-1 - 5) / (4 - (-2)) = -6 / 6 = -1.

Значит, функция имеет вид y = -x + b. Подставим любую из точек, например (-2; 5):

5 = -(-2) + b = 2 + b, откуда b = 3. Получаем y = -x + 3.

Теперь подставим заданное значение функции y = 2:

2 = -x + 3, значит x = 1.

Ответ: 1.

Почему важно именно так мыслить на ЕГЭ. В задачах по графику линейной функции часто пытаются считывать ответ «на глаз». Это допустимо только если точки пересечения видны очень точно. Но надёжнее помнить связь: значение f(x) — это координата y точки графика, а искомый аргумент — это её координата x. Поэтому сначала фиксируют уровень по вертикали, затем находят пересечение с прямой и только потом читают x.

Типичные ошибки:

• путают, что задано: x или y;
• берут не ту точку пересечения, если на графике есть несколько отметок;
• ошибаются в знаках при нахождении углового коэффициента;
• забывают, что в линейной функции достаточно двух точек, чтобы восстановить всю прямую.

Самопроверка: если y уменьшается на 1, а x увеличивается на 1, это согласуется с наклоном -1. Для найденной точки (1; 2) действительно выполняется 2 = -1 + 3, значит ответ верный.

Графический способ решения системы линейных уравнений основан на очень важной идее: каждое уравнение задаёт прямую на координатной плоскости, а решение системы — это точка, принадлежащая обеим прямым одновременно. Значит, если прямые пересекаются в одной точке, то координаты этой точки и есть ответ.

В нашем случае даны две функции:

\(y = 2x - 1\) и \(y = -x + 5\).

Они уже записаны в удобном виде \(y = kx + b\), поэтому можно сразу понять их графический смысл:

• для первой прямой угловой коэффициент \(k=2\), свободный член \(b=-1\);
• для второй прямой \(k=-1\), \(b=5\).

Поскольку угловые коэффициенты разные, прямые не параллельны и пересекаются ровно в одной точке. Это важная проверка на ЕГЭ: если коэффициенты наклона совпадают, надо внимательно смотреть на свободные члены — тогда прямые либо параллельны, либо совпадают. Здесь такой проблемы нет.

Чтобы найти точку пересечения, на графике можно взять несколько удобных точек для каждой прямой. Но быстрее — мысленно понять, где они пересекаются, или проверить координаты подстановкой. Геометрически точка пересечения — это решение системы:

\(2x - 1 = -x + 5\).

Решим это уравнение:

\(2x + x = 5 + 1\), то есть \(3x = 6\), откуда \(x = 2\).

Теперь найдём \(y\) по любой из формул:

\(y = 2\cdot 2 - 1 = 3\).

Значит, точка пересечения — \((2; 3)\).

Почему это именно графический ответ? Потому что при построении обеих прямых вы увидите, что они пересекаются в точке с абсциссой 2 и ординатой 3. В заданиях ЕГЭ иногда предлагают координаты, которые получаются из типичных ошибок:

• перепутали местами координаты — например, записали \((3;2)\) вместо \((2;3)\);
• ошиблись при решении и получили неверную абсциссу;
• взяли точку пересечения с осями вместо точки пересечения двух прямых.

Чтобы себя проверить, можно подставить найденные координаты в оба уравнения:

\(3 = 2\cdot 2 - 1\) — верно, и \(3 = -2 + 5\) — тоже верно. Значит, точка действительно принадлежит обеим прямым.

Ответ: \((2; 3)\).

Для линейной функции общий вид уравнения — y = kx + b, где k — угловой коэффициент (наклон прямой), а b — значение функции при x = 0, то есть точка пересечения с осью Oy.

В задаче удобно использовать две точки, через которые проходит прямая: (0; 2) и (4; -2). Это самый надёжный способ, потому что по двум точкам прямая определяется однозначно.

Найдём угловой коэффициент:

k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (-2 - 2)/(4 - 0) = -4/4 = -1.

Теперь найдём свободный член b. Так как одна из точек имеет x = 0, то сразу видно, что b = 2. Это очень важное наблюдение: если график пересекает ось Oy в целой точке, свободный член считывается без вычислений.

Итак, уравнение прямой:

y = -x + 2.

Проверка полезна для самоконтроля: подставим x = 4. Получаем y = -4 + 2 = -2, что совпадает со второй точкой. Значит, ответ верный.

Почему в ЕГЭ здесь часто ошибаются:

• путают знак наклона: если прямая убывает слева направо, то k < 0;
• неверно считают приращения координат и получают k = 1 вместо -1;
• путают k и b и записывают, например, y = 2x - 1;
• ошибаются при чтении координат с графика, особенно если точка лежит на пересечении клеток.

Стратегия на экзамене: сначала найдите одну точку на оси Oy, если она есть, затем вторую удобную точку. После этого вычислите k по формуле и обязательно сделайте быструю проверку подстановкой любой из точек. Это помогает избежать арифметических и знаковых ошибок.

Сначала надо понять, что значит «по графику найти x при заданном y». Это не подстановка в формулу вслепую, а чтение координат точки на прямой, где ордината равна нужному значению.

Нам даны две точки графика: (-1; 3) и (3; -1). Это удобно, потому что по ним можно восстановить поведение прямой. В линейной функции изменение y происходит равномерно: если мы двигаемся по оси x на 1, то y меняется на постоянную величину. Здесь видно, что при переходе от x=-1 к x=3 аргумент увеличился на 4, а значение функции уменьшилось на 4. Значит, наклон прямой равен -1, то есть при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 1.

Но для ответа на задачу не обязательно выписывать формулу. Достаточно заметить: точка с ординатой 1 лежит на этой прямой между данными точками. От точки (-1; 3) нужно опуститься по прямой на 2 единицы вниз по y. Так как наклон равен -1, при уменьшении y на 2 x увеличится тоже на 2. Получаем x = -1 + 2 = 1.

Можно проверить через уравнение прямой. Угловой коэффициент:

k = (-1 - 3) / (3 - (-1)) = -4 / 4 = -1.

Тогда y = -x + b. Подставим точку (-1; 3): 3 = -(-1) + b = 1 + b, значит b = 2. Получаем y = -x + 2. Теперь при y = 1 имеем 1 = -x + 2, откуда x = 1.

Почему правильный ответ именно такой: на горизонтальном уровне y=1 график пересекается в точке (1; 1), значит искомый аргумент равен 1.

Типичные ошибки на ЕГЭ: 1) перепутать, что нужно найти именно x, а не y; 2) взять число 1 как ответ сразу, не проверив, что это заданное значение функции, а не абсцисса; 3) ошибиться в знаке при чтении координат; 4) неверно считать деления по оси, если масштаб на графике не очевиден. Полезная самопроверка: если график убывает, то при большем x значение y должно быть меньше. Здесь это так, значит найденная точка (1; 1) согласуется с рисунком.

Точка пересечения двух прямых — это такая точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям сразу. Именно поэтому задача на пересечение прямых сводится к решению системы линейных уравнений.

Решим систему:

2x + y = 7

x - y = -1

Удобно сложить уравнения, потому что коэффициенты при y противоположны: y и -y. Складываем левые и правые части:

(2x + y) + (x - y) = 7 + (-1)

Получаем:

3x = 6, откуда x = 2.

Теперь подставим найденное значение в любое из исходных уравнений. Возьмём, например, второе:

2 - y = -1

Тогда -y = -3, значит y = 3.

Следовательно, точка пересечения прямых — (2; 3).

Проверка помогает избежать типичной ошибки с перепутанными координатами. Подставим точку в первое уравнение: 2·2 + 3 = 7 — верно. Во второе: 2 - 3 = -1 — тоже верно. Значит, ответ найден правильно.

Почему это важно на ЕГЭ: иногда в вариантах ответа дают точки, которые лежат только на одной из прямых или получены из-за арифметической ошибки. Поэтому всегда полезно после решения быстро проверить обе подстановки. Ещё одна частая ловушка — записать ответ как (3; 2) вместо (2; 3). Порядок координат принципиален: сначала x, потом y.

Ищем уравнение прямой в виде y = kx + b. Для этого нужно сначала найти угловой коэффициент k, а затем свободный член b.

1. Находим наклон прямой. Для двух точек (x_1, y_1) и (x_2, y_2) угловой коэффициент вычисляется по формуле

k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Подставим координаты точек (-2; 5) и (4; -1):

k = \dfrac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1.

Здесь важно не перепутать порядок вычитания в числителе и знаменателе. Если поменять точки местами, дробь тоже получится той же самой, но только если вы поменяете местами и числитель, и знаменатель одновременно. Ошибка вида \dfrac{5 - (-1)}{4 - (-2)} даст неверный знак.

2. Находим свободный член. Теперь подставим координаты одной из точек в уравнение y = -x + b. Возьмём точку (-2; 5):

5 = -(-2) + b, то есть 5 = 2 + b.

Следовательно, b = 3.

3. Записываем уравнение прямой.

y = -x + 3.

Проверка. Подставим вторую точку (4; -1): y = -4 + 3 = -1. Точка подходит, значит уравнение найдено верно.

Ответ: y = -x + 3.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ. Если прямая проходит через две точки с одинаковыми приращениями по x и y по модулю, часто получается наклон k = \pm 1. Это позволяет прикинуть знак ещё до вычислений. После нахождения k обязательно подставляйте любую из точек: так вы сразу ловите ошибки со знаками и арифметикой. Если в вариантах ответа есть уравнения с правильным k, но разным b, именно подстановка в точку быстро отличает верный вариант от похожих дистракторов.

Смысл задачи такой: в точке пересечения двух графиков значения функций равны, то есть для одного и того же x обе прямые имеют одинаковую ординату y. Поэтому можно идти двумя путями: либо восстановить уравнения прямых и приравнять их, либо воспользоваться геометрией графика и точно вычислить координаты пересечения.

Сначала найдём уравнение первой прямой. Она проходит через точки (0;5) и (4;1). Угловой коэффициент равен

k_1 = (1 - 5) / (4 - 0) = -4/4 = -1.

Так как при x = 0 получаем y = 5, свободный член равен b_1 = 5. Значит, первая прямая задаётся формулой y = -x + 5.

Теперь найдём уравнение второй прямой. Она проходит через точки (0;-1) и (3;5). Тогда

k_2 = (5 - (-1)) / (3 - 0) = 6/3 = 2.

При x = 0 имеем y = -1, значит b_2 = -1. Уравнение второй прямой: y = 2x - 1.

В точке пересечения значения y равны, поэтому приравниваем:

-x + 5 = 2x - 1.

Переносим неизвестные в одну сторону, числа — в другую:

5 + 1 = 2x + x, то есть 6 = 3x.

Отсюда x = 2.

Значит, абсцисса точки пересечения равна 2.

Почему в этой теме часто ошибаются? Во-первых, путают абсциссу и ординату: в ответ надо брать именно x, а не y. Во-вторых, иногда берут одну из данных точек на прямой вместо точки пересечения. В-третьих, ошибаются в знаках при вычислении углового коэффициента: важно аккуратно считать разность координат в одном и том же порядке. На ЕГЭ полезно делать быструю самопроверку: если подставить x = 2 в обе формулы, получим y = 3 и y = 3, значит, всё сходится.

Ответ: 2.