Степени и корни: задания с ответами

Сначала упростим каждый корень отдельно. Это самый надёжный способ на ЕГЭ: если под корнем есть произведение, старайтесь вынести из него полный квадрат.

Имеем:

√18 = √(9·2) = 3√2,

√8 = √(4·2) = 2√2.

Тогда выражение принимает вид:

3√2 · (2√2 − √2).

Теперь упростим скобки:

2√2 − √2 = √2.

Получаем:

3√2 · √2 = 3·(√2·√2) = 3·2 = 6.

Ответ: 6.

Почему так можно делать? Потому что √(ab)=√a·√b только для неотрицательных чисел, а здесь все подкоренные выражения положительные. Также важно помнить: складывать и вычитать можно только одинаковые корни, как обычные одночлены. Например, 2√2 − √2 = (2−1)√2 = √2, но нельзя делать что-то вроде √8 − √2 = √6 — это ошибка.

Типичные ошибки в таких заданиях:

• не упростить корни перед вычислением;
• ошибочно перемножить подкоренные выражения без преобразования;
• потерять знак при раскрытии скобок;
• попытаться сложить разные корни, например √18 и √8, как обычные числа.

Полезная проверка себя: если после преобразований все корни одинаковые, можно вынести их за скобку или сократить. В этом задании именно так и происходит, поэтому ответ должен получиться целым числом.

Рассмотрим выражение \(\dfrac{18}{(3\sqrt{5})^2}\). Здесь главное — правильно вычислить знаменатель. Типичная ошибка в таких заданиях: возводят в квадрат только число 3 или только корень, забывая, что в квадрат нужно возвести всё произведение \(3\sqrt{5}\).

Используем правило: \((ab)^2 = a^2b^2\). Тогда

\((3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\).

Теперь подставим это в дробь:

\(\dfrac{18}{45}\).

Сократим дробь на 9:

\(\dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{5}\).

Значит, значение выражения равно \(\dfrac{2}{5}\).

Как быстро проверить себя на ЕГЭ База: если в знаменателе стоит квадрат выражения с корнем, сначала отдельно возведите в квадрат коэффициент и сам корень. Помните, что \((\sqrt{5})^2 = 5\), а не \(\sqrt{25}\) в устной записи без дальнейшего упрощения. После этого дробь часто легко сокращается.

Почему другие ответы могут быть неверными: если забыть возвести 3 в квадрат, получится \(\dfrac{18}{15}\); если ошибочно считать, что \((3\sqrt{5})^2 = 3\cdot 5\), получится неверный результат. Такие ошибки очень распространены, поэтому всегда расписывайте степень произведения по шагам.

Разберём выражение по шагам. В заданиях на корни очень важно помнить основное правило: произведение квадратных корней можно объединять в один корень, если подкоренные выражения неотрицательны:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

У нас есть выражение \(3\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\). Сначала удобно перемножить корни:

\(\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{36}\), потому что \(12\cdot 3=36\).

Теперь получаем:

\(3\sqrt{36}=3\cdot 6\), так как \(\sqrt{36}=6\).

Остаётся выполнить умножение:

\(3\cdot 6=18\).

Итак, ответ: 18.

Как себя проверить: в конце базовых задач с корнями ответ часто должен быть целым числом или простым рациональным числом. Если после вычислений у вас остался корень, проверьте, нельзя ли было упростить подкоренное выражение раньше. Частая ошибка — забыть, что \(\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\neq \sqrt{15}\); корни перемножают, а не складывают под корнем.

В обоих слагаемых есть одинаковый множитель 2⁵. Это значит, что можно вынести его за скобки:

7·2⁵ + 3·2⁵ = (7 + 3)·2⁵.

Сначала складываем коэффициенты в скобках: 7 + 3 = 10. Получаем:

10·2⁵.

Теперь вычисляем степень: 2⁵ = 32. Тогда

10·32 = 320.

Ответ: 320.

Почему так можно делать? Если в каждом слагаемом есть один и тот же множитель, его можно вынести за скобки по распределительному свойству умножения относительно сложения. Это очень частый приём в заданиях ЕГЭ База.

Типичная ошибка: некоторые учащиеся пытаются сложить показатели степени, например написать 2⁵ + 2⁵ = 2¹⁰. Это неверно. Показатели степени складывают только при умножении степеней с одинаковым основанием, а здесь у нас сложение с общим множителем.

Как быстро проверить себя на экзамене: если видите выражение вида a·bⁿ + c·bⁿ, сразу ищите общий множитель bⁿ. После вынесения за скобки остаётся обычное сложение чисел, а затем — вычисление степени.

Сначала нужно вспомнить, как вычисляются степени числа 10. Если показатель степени равен 2, то 10² = 100; если показатель равен 1, то 10¹ = 10.

Теперь подставим эти значения в выражение:

3·10² - 4·10¹ + 5 = 3·100 - 4·10 + 5.

Выполним умножение:

3·100 = 300, 4·10 = 40.

Получаем:

300 - 40 + 5.

Теперь считаем по порядку слева направо: 300 - 40 = 260, затем 260 + 5 = 265.

Ответ: 265.

Полезно помнить для ЕГЭ База: сначала отдельно вычисляйте степени десяти, потом умножайте на коэффициенты и только после этого складывайте или вычитайте. Частая ошибка — перепутать 10² и 10¹ или потерять знак «минус» при вычислениях. Если вы сомневаетесь, можно быстро проверить себя: степени десяти дают 100, 10, 1, 1000 и т.д., а дальше все действия обычные.

Используем правило деления чисел, записанных в виде a · 10ⁿ и b · 10^m:

(a · 10ⁿ) : (b · 10^m) = (a : b) · 10^n−m.

Это очень важное свойство для заданий ЕГЭ База: сначала делим обычные числа перед степенью десяти, а потом вычитаем показатели степеней.

Разберём выражение по шагам:

1) Делим коэффициенты: 3,6 : 1,2 = 3.

2) Вычитаем показатели степеней: 10⁷ : 10⁴ = 10⁷⁻⁴ = 10³.

3) Перемножаем полученные результаты: 3 · 10³ = 3000.

Ответ: 3000.

Полезно помнить типичную ошибку: некоторые ученики по привычке складывают показатели степеней или делят только числа, забывая про 10ⁿ. Здесь нужно делать именно вычитание показателей при делении.

Быстрая проверка: 3,6 · 10⁷ — это очень большое число, а деление на 1,2 · 10⁴ должно дать число порядка 10³, то есть несколько тысяч. Полученный ответ 3000 выглядит разумно, значит вычисление выполнено верно.

Решим задание, используя основное свойство степеней с одинаковым основанием.

1. Сначала объединяем степени при умножении. Если основания одинаковые, то при умножении показатели складываются:

2⁷ · 2^-3 = 2^{7 + (-3)} = 2⁴.

Здесь важно не перепутать знак: отрицательный показатель -3 тоже нужно прибавить как число.

2. Теперь делим степени с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются:

2⁴ / 2⁴ = 2^4-4 = 2⁰.

3. Вычисляем нулевую степень. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, значит:

2⁰ = 1.

Ответ: 1.

Как не терять баллы на ЕГЭ База: сначала приводите все степени к одному основанию, потом аккуратно складывайте показатели при умножении и вычитайте при делении. Частая ошибка — пытаться перемножать или делить сами показатели как обычные числа. Еще одна ошибка — забывать, что a⁰ = 1 при a ≠ 0.

Разберём выражение по шагам:

\(\dfrac{(\sqrt{18})^2}{\sqrt{2}}\).

Первый важный факт: если число неотрицательное, то \((\sqrt{a})^2=a\). Это одна из самых полезных формул в задачах на степени и корни. Здесь \(18>0\), значит:

\((\sqrt{18})^2=18\).

Тогда выражение становится таким:

\(\dfrac{18}{\sqrt{2}}\).

Теперь нужно избавиться от корня в знаменателе. В школьной практике это делают, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(\dfrac{18}{\sqrt{2}}=\dfrac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}\).

Но в нашем задании ответ должен быть рациональным числом. Значит, лучше сразу заметить, что можно иначе упростить исходное выражение:

\(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}\), тогда

\((\sqrt{18})^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18\), и снова получаем \(\dfrac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}\).

Это показывает важный момент: иногда после упрощения получается иррациональное число. В базовом ЕГЭ такие выражения тоже встречаются, и нужно не бояться, если ответ содержит корень. Главное — правильно выполнить все преобразования.

Ответ: \(9\sqrt{2}\).

Как не ошибиться:

• не забывайте, что \((\sqrt{a})^2=a\) только при \(a\ge 0\);
• при делении на корень из числа часто удобно рационализировать знаменатель;
• проверяйте, не потеряли ли вы множитель при упрощении корня.

Используем важное тождество для суммы квадратов суммы и разности:

(a-b)² + (a+b)² = 2(a² + b²).

Здесь a = √18, b = √2. Тогда

(√18 − √2)² + (√18 + √2)² = 2((√18)² + (√2)²).

Теперь возводим корни в квадрат: (√18)² = 18, (√2)² = 2. Получаем

2(18 + 2) = 2 · 20 = 40.

Ответ: 40.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ База: если видите сумму квадратов вида (a-b)² + (a+b)², сразу вспоминайте, что перекрёстные слагаемые −2ab и +2ab взаимно уничтожаются. Поэтому не нужно долго раскрывать скобки по отдельности — это только увеличивает риск ошибки.

Частые ошибки: 1) забыть, что (√x)² = x; 2) раскрыть скобки и ошибиться со знаками; 3) сложить только первые или только вторые слагаемые. Удобная самопроверка: после преобразования ответ должен быть рациональным числом без корня, что и получается здесь.

Сначала нужно подставить значение x = 5 в выражение 3x² + 4x и аккуратно выполнить действия по порядку.

1) Находим квадрат числа: 5² = 25.

2) Умножаем на 3: 3 · 25 = 75.

3) Находим второе слагаемое: 4 · 5 = 20.

4) Складываем результаты: 75 + 20 = 95.

Значит, значение выражения равно 95.

Полезно помнить: в таких заданиях сначала выполняют возведение в степень, потом умножение, и только затем сложение. Частая ошибка — сначала сложить 3x² и 4x «в уме», не подставив число, или неверно посчитать квадрат. Чтобы не потерять балл на ЕГЭ База, всегда проверяйте: сначала степень, затем умножение, потом сложение.

Здесь удобно использовать формулу квадрата суммы и квадрата разности:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

В нашем выражении $a=\sqrt{7}$, $b=\sqrt{2}$. Тогда

$(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2=7-2\sqrt{14}+2$,

$(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=7+2\sqrt{14}+2$.

Теперь сложим эти выражения:

$(7-2\sqrt{14}+2)+(7+2\sqrt{14}+2)$.

Смешанные члены $-2\sqrt{14}$ и $+2\sqrt{14}$ взаимно уничтожаются, потому что у них одинаковый модуль и разные знаки. Это и есть главный приём в таких заданиях ЕГЭ База: если складываются квадрат суммы и квадрат разности, то средние члены исчезают.

Получаем:

$7+2+7+2=18$.

Ответ: $18$.

Как проверять себя быстро: если видите пару вида $(a-b)^2+(a+b)^2$, можно сразу помнить тождество

$(a-b)^2+(a+b)^2=2a^2+2b^2$.

Тогда без лишних вычислений:

$2\cdot 7+2\cdot 2=14+4=18$.

Типичная ошибка — раскрыть только один квадрат или забыть, что $(\sqrt{7})^2=7$, а не \sqrt{7}. Ещё одна ошибка — не заметить сокращение смешанных членов и оставить ответ с корнем. В базовых заданиях полезно сразу искать такие «сопряжённые» выражения: они почти всегда упрощаются очень быстро.

Решаем выражение по правилам степеней аккуратно, потому что в таких заданиях чаще всего ошибаются именно со знаком.

Дано выражение: −2⁴ + (−2)⁰ + (−2)².

Сначала важно увидеть разницу между −2⁴ и (−2)⁴. Если минус не заключён в скобки, то сначала вычисляется степень числа 2, а потом перед результатом ставится знак «минус». Поэтому

−2⁴ = −(2⁴) = −16.

Теперь вычислим остальные слагаемые:

(−2)⁰ = 1, потому что любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

(−2)² = 4, так как отрицательное число в чётной степени даёт положительный результат.

Теперь складываем:

−16 + 1 + 4 = −11.

Ответ: −11.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• если основание отрицательное и оно в скобках, следите за чётностью показателя;
• если минус стоит вне скобок, он не входит в основание степени;
• нулевая степень любого ненулевого числа всегда равна 1;
• после нахождения всех степеней обязательно отдельно выполните сложение.

Типичная ошибка в таких задачах — написать −2⁴ = 16 или забыть, что (−2)⁰ = 1. Если внимательно читать запись, такие ошибки легко избежать.