Линейные уравнения: задания с ответами

Решим уравнение аккуратно, как это нужно делать на ОГЭ.

1. Сначала проверяем, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла. В знаменателе стоит \(x-3\), значит \(x-3 \neq 0\), то есть \(x \neq 3\). Это важное условие области допустимых значений (ОДЗ). Его нельзя пропускать, потому что деление на ноль невозможно.

2. Избавляемся от дроби. Умножим обе части уравнения на \(x-3\). Это можно сделать, потому что мы рассматриваем только допустимые значения, при которых \(x-3 \neq 0\):

\(12 = 4(x-3)\).

3. Решаем полученное линейное уравнение. Раскроем скобки:

\(12 = 4x - 12\).

Перенесём \(-12\) в левую часть:

\(12 + 12 = 4x\), то есть \(24 = 4x\).

Делим обе части на 4:

\(x = 6\).

4. Проверяем ответ. Значение \(6\) не нарушает ОДЗ, потому что \(6 \neq 3\). Подставим в исходное уравнение:

\(\dfrac{12}{6-3} = \dfrac{12}{3} = 4\). Уравнение выполняется.

Ответ: 6.

Как не потерять балл на экзамене: всегда сначала выписывайте ограничение из знаменателя, потом умножайте на него обе части уравнения, а в конце обязательно проверяйте найденный корень. Частая ошибка — забыть про ОДЗ или ошибиться со знаком при раскрытии скобок.

Решим уравнение аккуратно, как это удобно делать на ОГЭ.

Дано: \(x^2 + 4 = (x + 2)^2 - 1\).

1) Сначала раскрываем квадрат суммы справа по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\).

Тогда уравнение становится таким:

\(x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4 - 1\), то есть

\(x^2 + 4 = x^2 + 4x + 3\).

2) Теперь видно, что одинаковые члены \(x^2\) можно сократить в обеих частях. Это законно, потому что из равенства можно вычесть одно и то же выражение с обеих сторон:

\(4 = 4x + 3\).

3) Решаем получившееся линейное уравнение:

\(4 - 3 = 4x\), значит \(1 = 4x\).

\(x = \frac14\).

Ответ: \(\frac14\).

Проверка помогает не потерять балл. Подставим \(x=\frac14\): левая часть \(\frac{1}{16}+4\), правая часть \(\left(\frac14+2\right)^2-1=\left(\frac94\right)^2-1=\frac{81}{16}-\frac{16}{16}=\frac{65}{16}\). Левая часть тоже равна \(\frac{1}{16}+\frac{64}{16}=\frac{65}{16}\). Значит, решение верное.

Частые ошибки в таких заданиях:

— забывают раскрыть квадрат суммы и пишут \((x+2)^2=x^2+4\), что неверно;

— неправильно переносят \(-1\) или теряют его знак;

— не сокращают одинаковые \(x^2\) в обеих частях и усложняют решение;

— после сокращения ошибаются в простом линейном уравнении.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала раскрыть скобки, затем сократить одинаковые слагаемые, потом решить линейное уравнение и обязательно быстро проверить ответ.

Ключевая идея здесь очень важна для всего блока дробно-рациональных уравнений: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Почему так? Значение дроби \(\frac{A}{B}\) может быть нулём только в случае, если \(A=0\). Если же \(B=0\), то дробь вообще не определена, а значит, это не решение уравнения. Поэтому всегда действуем в два шага: сначала ищем корень из числителя, потом проверяем знаменатель.

В нашем уравнении

\[\frac{2x-5}{x+3}=0\]

нужно приравнять к нулю числитель:

\[2x-5=0\]

Решаем линейное уравнение:

\[2x=5,\quad x=\frac{5}{2}.\]

Теперь обязательно проверяем знаменатель:

\[x+3 \ne 0\]

При \(x=\frac{5}{2}\) получаем \(\frac{5}{2}+3=\frac{11}{2}\ne 0\), значит, найденное значение допустимо.

Следовательно, ответ: \(x=\frac{5}{2}\).

Почему отвлекающие варианты часто бывают неправильными?

• Некоторые по ошибке приравнивают к нулю знаменатель и получают \(x=-3\) — это не решение, а запрещённое значение.
• Другие неверно решают числитель и пишут, например, \(x=\frac{5}{3}\) или \(x=-\frac{5}{2}\). Это типичная арифметическая ошибка при переносе числа через знак равенства или при делении.
• Ещё одна ловушка — забыть проверку области допустимых значений. Для таких задач это обязательно, даже если после решения числителя ответ выглядит правдоподобно.

Стратегия самопроверки на ЕГЭ: если в задаче стоит дробь, равная нулю, сразу вспоминайте правило «нулевой числитель, ненулевой знаменатель». Это быстрее и надёжнее, чем пытаться избавляться от дроби умножением на знаменатель: при нулевой правой части это обычно не нужно. Если вы нашли корень, всегда подставьте его в знаменатель и убедитесь, что он не обращается в ноль.

Решим уравнение по шагам.

Когда квадрат какого-то выражения равен нулю, само это выражение тоже должно быть равно нулю. Это очень важное свойство: квадрат числа равен 0 только тогда, когда само число равно 0.

Значит, из уравнения (3x - 5)² = 0 получаем:

3x - 5 = 0.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

3x = 5,

x = 5/3.

Ответ: 5/3.

Почему это работает? Если квадрат равен нулю, то подкоренное выражение, множитель или, как в этой задаче, выражение в скобках должны быть равны нулю. Нельзя просто «убрать квадрат» и написать, что 3x - 5 = ±0 — это не меняет ничего, потому что и 0, и -0 дают одно и то же.

Частые ошибки:

• пытаться извлекать корень и получать два ответа, хотя здесь решение единственное;
• ошибочно делить 5 на 3 и писать x = 3/5;
• забывать знак минус при переносе: из 3x - 5 = 0 надо получить 3x = 5, а не 3x = -5.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: сначала приравняйте выражение в квадрате к нулю, затем решите линейное уравнение. Это самый надёжный способ не потерять лёгкие баллы.

Ключевая идея здесь очень простая, но на ЕГЭ её важно понимать не только как «технический» приём, а как свойство квадратов. Любой квадрат числа или выражения неотрицателен: он всегда больше либо равен нулю. Поэтому равенство ${(x-7)}^2=0$ возможно только в одном случае: когда само выражение в скобках равно нулю.

То есть надо решить не квадратное уравнение «по формуле», а воспользоваться свойством нуля произведения/квадрата: $A^2=0$ тогда и только тогда, когда $A=0$. В нашем случае $A=x-7$, значит составляем линейное уравнение $x-7=0$.

Решаем его: $x=7$.

Важно не допустить типичную ошибку: некоторые ученики пытаются «извлечь корень» и пишут $x-7=\pm 0$ или даже $x=\pm 7$. Это неверно. Когда правая часть равна нулю, знак $\pm$ ничего не добавляет, потому что единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль.

Полезная стратегия самопроверки на экзамене: подставьте найденное значение обратно. Получаем ${(7-7)}^2=0$, то есть $0=0$. Значит, ответ верный. Если бы вы получили другое число, квадрат был бы положительным и равенство не выполнилось бы.

Итог: корень уравнения — $7$.

Решим уравнение по шагам:

1. Раскроем скобки. В левой части у нас стоит выражение 3(x-2). Умножаем каждое слагаемое в скобках на 3:

3(x-2)=3x-6.

Тогда уравнение принимает вид:

3x-6+5=2x+7.

2. Приведём подобные слагаемые. В левой части -6+5=-1, значит получаем:

3x-1=2x+7.

3. Перенесём слагаемые с переменной в одну сторону, числа — в другую. Удобно вычесть 2x из обеих частей:

3x-2x-1=7, то есть

x-1=7.

Теперь прибавим 1 к обеим частям:

x=8.

4. Проверка. Подставим x=8 в исходное уравнение:

3(8-2)+5=3\cdot 6+5=18+5=23,

2\cdot 8+7=16+7=23.

Левая и правая части равны, значит ответ верный.

Почему это важно для ЕГЭ База. В таких заданиях чаще всего ошибаются в двух местах: неверно раскрывают скобки и путают знаки при переносе слагаемых. Чтобы не терять баллы, всегда идите по одному и тому же алгоритму: раскрыть скобки, привести подобные, собрать x в одной части, числа — в другой, затем поделить на коэффициент при x, если он остался.

Ответ: 8.

Используем свойство нулевого произведения: произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это ключевой приём для уравнений вида (ax+b)(cx+d)=0; он гораздо быстрее и надёжнее, чем раскрывать скобки и потом решать квадратное уравнение.

Здесь имеем:

(3x - 5)(x + 4) = 0.

Следовательно, рассматриваем два отдельных линейных уравнения:

1) 3x - 5 = 0;
2) x + 4 = 0.

Решаем каждое:

3x - 5 = 0 → 3x = 5 → x = 5/3.

x + 4 = 0 → x = -4.

Значит, все корни уравнения: -4 и 5/3.

Почему это корректно? Если подставить x = -4, то второй множитель обращается в ноль, значит всё произведение равно нулю. Если подставить x = 5/3, то в ноль обращается первый множитель. А других решений быть не может: произведение ненулевых чисел не равно нулю.

Частые ошибки на ЕГЭ:

• раскрыть скобки и потерять один из корней;
• ошибиться со знаком при переносе: например, из x+4=0 получить x=4 вместо x=-4;
• указать только один корень, забыв, что у произведения обычно два решения;
• не проверять, что найденные значения действительно обращают исходное выражение в ноль.

Самопроверка: подставьте найденные значения в каждый множитель. Для x=-4 получаем (3(-4)-5)(-4+4)=...·0=0. Для x=5/3 получаем (5-5)(5/3+4)=0·...=0. Оба значения подходят.

Итак, правильный ответ: -4 и 5/3.

Решаем уравнение по шагам, как это удобно делать на ОГЭ.

1. Убираем число, которое не содержит переменную. В уравнении 3x - 7 = 11 число -7 мешает увидеть значение x. Прибавим 7 к обеим частям уравнения:

3x - 7 + 7 = 11 + 7

Получаем:

3x = 18

2. Находим x. Теперь перед переменной стоит коэффициент 3, значит, нужно разделить обе части на 3:

x = 18 : 3 = 6

3. Проверяем ответ. Подставим x = 6 в исходное уравнение:

3·6 - 7 = 18 - 7 = 11

Левая часть равна правой, значит, ответ найден верно.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на экзамене: 1) не забывайте менять знак при переносе числа через знак равенства; 2) после упрощения обязательно делите или умножайте обе части уравнения одинаково; 3) если есть время, всегда проверяйте подстановкой — это помогает быстро заметить арифметическую ошибку.

Сначала решим уравнение аккуратно, по шагам. В таких заданиях важно заметить, что справа стоит квадрат суммы: \((x+2)^2\). Его нужно раскрывать по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Раскроем скобки:

\((x+2)^2=x^2+4x+4\).

Тогда исходное уравнение превращается в

\(x^2+4=x^2+4x+4+4\), то есть

\(x^2+4=x^2+4x+8\).

Теперь сокращаем одинаковые слагаемые по обе стороны: из обеих частей можно убрать \(x^2\). Получаем

\(4=4x+8\).

Перенесём 8 в левую часть:

\(4-8=4x\), значит \(-4=4x\).

Делим обе части на 4:

\(x=-1\).

Ответ: \(-1\).

Проверим логику: после раскрытия квадратов \(x^2\) исчезло с обеих сторон, поэтому уравнение стало линейным. Это типичная ситуация в ОГЭ: сначала раскрыть квадрат, потом сократить одинаковые члены и решить простое линейное уравнение.

Частые ошибки здесь такие:

• неправильно раскрывают \((x+2)^2\), забывая про средний член \(2\cdot x\cdot 2=4x\);
• ошибаются со знаками при переносе;
• сокращают не только одинаковые, но и разные слагаемые — так делать нельзя;
• не доводят решение до конца и забывают поделить на коэффициент при \(x\).

Полезный приём для экзамена: если в уравнении есть \(x^2\) и квадрат суммы, всегда сначала раскрывайте скобки полностью, а потом смотрите, что можно сократить. Это помогает быстро увидеть, что уравнение линейное, и не потерять лёгкий балл.

В уравнении 7x = 56 неизвестное x умножено на число 7. Чтобы найти x, нужно сделать обратное действие — разделить правую часть уравнения на 7.

Шаг 1. Делим обе части уравнения на 7:

x = 56 : 7

Шаг 2. Выполняем деление:

x = 8

Значит, правильный ответ — 8.

Как проверять себя на ОГЭ: если уравнение вида a·x = b, то всегда используйте правило x = b / a. Это помогает быстро решать такие задания без лишних действий.

Частые ошибки:

• умножают 56 на 7 вместо деления;
• путают порядок чисел и пишут 7 : 56;
• забывают, что коэффициент при x нужно убрать делением.

В этом задании важно помнить простое правило: чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Ключевая идея здесь — не решать уравнение как «обычное квадратное» через дискриминант, а увидеть в левой части полный квадрат. Это очень важный навык для ЕГЭ: если выражение можно представить как квадрат двучлена, то уравнение решается мгновенно и без лишних вычислений.

Сравним данное выражение с формулой квадрата разности:

\((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\).

В нашем случае

\(x^2-8x+16\) совпадает с формой \(x^2-2ax+a^2\), если \(2a=8\), то есть \(a=4\). Тогда

\(x^2-8x+16=(x-4)^2\).

Получаем уравнение

\((x-4)^2=0\).

Теперь используется свойство квадрата: квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Значит,

\(x-4=0\), откуда \(x=4\).

Ответ: 4.

Полезно понимать, почему здесь получается только один корень. Если квадрат равен нулю, то выражение внутри скобок должно быть нулём; поэтому такое уравнение имеет двукратный корень, но в ответ на задачу всё равно записывают одно значение. Это типичная ловушка: некоторые ученики по привычке ожидают два корня, как у общего квадратного уравнения, но при полном квадрате оба корня «сливаются» в один.

Ещё один способ самопроверки — раскрыть скобки обратно: \((x-4)^2=x^2-8x+16\). Если разложение верное, то решение найдено правильно. На экзамене такой приём особенно полезен, когда коэффициенты выглядят подозрительно «красивыми»: \(1, -2a, a^2\) почти всегда сигнализируют о квадрате двучлена.

Это линейное уравнение вида x - a = b. Чтобы найти неизвестное x, нужно выполнить обратное действие к вычитанию: прибавить 7,5 к обеим частям уравнения.

Получаем:

x - 7,5 + 7,5 = -2,3 + 7,5

Слева остаётся просто x, а справа считаем:

x = 5,2

Проверим подстановкой: 5,2 - 7,5 = -2,3. Равенство верно, значит ответ найден правильно.

Как не ошибиться на ЕГЭ: когда число «переходит» через знак равенства, знак меняется на противоположный. Но лучше не думать только о «переносе», а понимать действие: вы прибавляете одно и то же число к обеим частям уравнения. Тогда равенство сохраняется, и решение получается без лишних ошибок.