Подобие треугольников и пропорции: задания с ответами

Так как DE \parallel BC, треугольники ADE и ABC подобны. Это основной признак в таких задачах: если внутри треугольника проведена прямая, параллельная одной из сторон, то маленький треугольник и весь треугольник подобны.

Теперь разберём отношение на стороне AB: AD : DB = 2 : 3. Значит, вся сторона AB состоит из 2 + 3 = 5 равных частей, а отрезок AD занимает 2 такие части. Следовательно,

AD / AB = 2/5.

Для подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны, поэтому

DE / BC = AD / AB = 2/5.

Подставим известную длину DE = 8 см:

8 / BC = 2 / 5.

Теперь найдём BC:

BC = 8 · 5 / 2 = 20 см.

Ответ: 20 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте AD : DB и AD : AB — сначала нужно найти целую сторону AB через сумму частей;
• в подобных треугольниках сравнивайте соответствующие стороны: здесь DE соответствует BC, а AD соответствует AB;
• если внутренняя прямая параллельна стороне треугольника, почти всегда удобно искать именно коэффициент подобия.

Это типовая задача на пропорции: главное — правильно составить отношение, а дальше остаются только простые вычисления.

Решим задачу через подобие и отношение площадей.

1. Какие треугольники подобны? Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(A B\) и \(A C\). Значит, отрезок \(M N\) — средняя линия треугольника \(A B C\), поэтому \(M N \parallel B C\). Тогда треугольники \(A M N\) и \(A B C\) подобны: у них общий угол при вершине \(A\), а ещё по параллельности \(M N \parallel B C\) соответствующие углы равны.

2. Каков коэффициент подобия? Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, то \(A M = \frac{1}{2} A B\) и \(A N = \frac{1}{2} A C\). Значит, коэффициент подобия треугольника \(A M N\) к треугольнику \(A B C\) равен \(\frac{1}{2}\).

3. Как связаны площади подобных треугольников? Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому

\(\dfrac{S_{A M N}}{S_{A B C}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}.\)

Так как \(S_{A M N} = 8\), получаем

\(S_{A B C} = 8 \cdot 4 = 32.\)

4. Найдём площадь четырёхугольника. Фигура \(B C N M\) — это весь треугольник \(A B C\) без внутреннего треугольника \(A M N\). Значит,

\(S_{B C N M} = S_{A B C} - S_{A M N} = 32 - 8 = 24.\)

Ответ: \(24\).

Важно помнить на ОГЭ: если в задаче есть середины сторон треугольника, почти всегда нужно искать среднюю линию и использовать подобие. Частая ошибка — умножать площадь на \(\frac{1}{2}\) вместо \(\frac{1}{4}\). Площадь меняется не в столько же раз, как стороны, а по квадрату коэффициента подобия.

Здесь удобно использовать подобие треугольников. Так как KM \parallel AC, то треугольники BKM и BAC подобны: у них равны соответствующие углы (накрест лежащие при параллельных прямых), а значит, сходственные стороны пропорциональны.

Из отношения AK : KB = 2 : 3 находим, как сторона AB делится точкой K: всего получается 2+3=5 равных частей. Тогда KB составляет 3/5 всей стороны AB, а AK — 2/5.

Из подобия следует пропорция:

KB / BA = MB / BC.

Но BA нам не нужно находить отдельно. Достаточно заметить, что если KB соответствует BA, то отрезок MB соответствует стороне BC. Поскольку треугольники подобны, то

KB : BA = MB : BC.

Из отношения на стороне AB имеем KB/BA = 3/5. Значит, и MB/BC = 3/5. Тогда весь отрезок BC равен

BC = 9 : 3/5 = 15 см.

Теперь найдём MC:

MC = BC - MB = 15 - 9 = 6 см.

Ответ: 6 см.

Но здесь есть более короткий путь. Раз MB — это 3/5 всей стороны BC, то оставшаяся часть MC — это 2/5 от BC. Тогда MC : MB = 2 : 3, и

MC = 9 \cdot 2/3 = 6 см.

Частые ошибки:

• путают, какая сторона соответствует какой в подобных треугольниках;
• берут отношение 2:3 не для всей стороны, а для отдельных частей без перехода к целой стороне;
• забывают, что MC — это не весь BC, а только его часть.

На ОГЭ полезно сначала выписать, какие треугольники подобны, а потом аккуратно записать пропорцию между соответствующими сторонами. Это помогает не терять лёгкие баллы на невнимательности.

Так как KM ∥ AC, то треугольники BKM и BAC подобны. Это главный признак: если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из сторон, то маленький и большой треугольники имеют одинаковые углы, а значит, их стороны пропорциональны.

Найдём, как относятся стороны на стороне AB. По условию BK : KA = 2 : 3, значит вся сторона BA состоит из 2 + 3 = 5 равных частей. Тогда

BK / BA = 2 / 5.

У подобных треугольников соответствующие стороны относятся одинаково, поэтому

KM / AC = BK / BA = 2 / 5.

Подставим известную длину KM = 8:

8 / AC = 2 / 5.

Теперь выразим AC:

AC = 8 · 5 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала обязательно используйте условие параллельности: именно оно даёт подобие треугольников.
• Если дана часть стороны в виде отношения 2:3, не забывайте найти всю сторону как сумму частей.
• Записывайте отношение именно соответствующих сторон: здесь KM соответствует AC, а BK соответствует BA.
• Частая ошибка — перепутать дробь и написать AC / KM = 2 / 5 без последующего правильного преобразования. Лучше сразу аккуратно записать пропорцию и выразить неизвестное.

В таких задачах удобно помнить короткий алгоритм: параллельность → подобие → пропорция → ответ.

Здесь используется подобие треугольников. Так как KM ∥ BC, то углы при вершине A у треугольников AKM и ABC равны, а ещё равны соответствующие углы при параллельных прямых. Значит, △AKM ∼ △ABC.

Из подобия следует пропорция соответствующих сторон:

AK / AB = KM / BC.

По условию AK : KB = 2 : 3, значит вся сторона AB состоит из 2 + 3 = 5 равных частей. Тогда

AK / AB = 2 / 5.

Подставим это в пропорцию:

2/5 = 8/BC.

Теперь найдём BC:

2 · BC = 5 · 8,

2BC = 40,

BC = 20.

Ответ: 20.

Полезно помнить типичный приём для ОГЭ: если дано отношение частей стороны, сначала находят отношение меньшей части к целой стороне. Здесь из 2 : 3 получаем 2/5, а уже потом составляем пропорцию. Частая ошибка — взять отношение 2/3 вместо 2/5 или перепутать, какие стороны в подобных треугольниках соответствуют друг другу. Всегда проверяйте, что в пропорции стоят именно соответственные стороны: меньшая сторона малого треугольника соответствует стороне большого треугольника, лежащей напротив той же вершины.

Здесь нужно использовать свойство прямоугольного треугольника с высотой, опущенной на гипотенузу. После проведения высоты треугольник разбивается на два меньших прямоугольных треугольника, которые подобны исходному и друг другу. Из этого следует важная формула:

квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета AC прилежащий к нему отрезок гипотенузы — это AH. Сначала найдём всю гипотенузу:

AB = AH + HB = 9 + 16 = 25 (см).

Теперь применяем формулу для катета:

AC² = AB · AH = 25 · 9 = 225.

Тогда

AC = √225 = 15 (см).

Ответ: 15.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте, какой отрезок гипотенузы относится к нужному катету;
• сначала всегда находите гипотенузу как сумму двух отрезков;
• если получилось число под корнем, проверьте, что оно является точным квадратом или оставьте корень в ответе, если так требуется;
• не используйте теорему Пифагора напрямую без необходимости — в таких задачах обычно быстрее работает связь катета с его проекцией.

Полезный алгоритм для подобных задач: 1) найти гипотенузу, 2) определить проекцию нужного катета, 3) записать формулу катет² = гипотенуза · проекция, 4) извлечь корень.

Используем важное свойство прямоугольного треугольника с высотой, опущенной на гипотенузу.

1. Находим гипотенузу. Высота делит гипотенузу на два отрезка, значит

AB = AH + HB = 9 + 16 = 25 см.

2. Применяем формулу для катета. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета AC прилежащий отрезок гипотенузы — это AH, поэтому

AC² = AB · AH = 25 · 9 = 225.

3. Извлекаем квадратный корень:

AC = √225 = 15 см.

Ответ: 15.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала всегда находите всю гипотенузу как сумму двух отрезков: AB = AH + HB.
• Потом внимательно определяйте, какой отрезок гипотенузы лежит рядом с нужным катетом. Для катета AC это отрезок AH, а не HB.
• Частая ошибка — перепутать формулу и взять неправильный отрезок. Если бы искали BC, тогда использовали бы HB.
• Если получилось число под корнем, проверьте, является ли оно полным квадратом: так можно быстрее получить ответ без лишних вычислений.

Такие задачи удобно решать по короткому алгоритму: сумма отрезков → формула катета → корень.

Здесь используется важное свойство медиан треугольника: точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Это значит, что на любой медиане одна часть — от вершины до точки пересечения — в 2 раза больше, чем другая часть — от точки пересечения до середины противоположной стороны.

В задаче дано, что отрезок GG₁ равен 3. Это именно часть медианы от точки пересечения до середины стороны, то есть меньшая часть.

Тогда отрезок BG — это большая часть медианы, и он в 2 раза больше:

BG = 2 · GG₁ = 2 · 3 = 6.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте, какая часть медианы больше: от вершины до центра тяжести — большая;
• если дана часть от центра тяжести до середины стороны, то чтобы найти часть от вершины до центра, нужно умножить на 2;
• если дана большая часть, то меньшую находят делением на 2.

Полезный алгоритм: сначала определите, какой именно отрезок дан, потом вспомните отношение 2:1 и сразу запишите пропорцию. Это помогает быстро решать такие задания без лишних рассуждений.

Здесь используется важное свойство прямоугольного треугольника: если из прямого угла опустить высоту на гипотенузу, то исходный треугольник и два маленьких треугольника становятся подобными. Из этого следуют пропорции между катетами и отрезками гипотенузы.

Обозначим гипотенузу: AC = AH + HC = 4 + 9 = 13.

Для катета AB верна формула:

AB² = AH · AC

Это одно из стандартных следствий подобия: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Подставим числа:

AB² = 4 · 13 = 52

Тогда

AB = √52 = 2√13

Значит, правильный ответ: 2√13.

Почему это работает? После проведения высоты треугольники ABC, ABH и BHC подобны. Поэтому соответствующие стороны пропорциональны. Не нужно заново находить все углы или применять теорему Пифагора в лоб — для таких задач быстрее использовать связь катета с его отрезком гипотенузы.

Частые ошибки:

• берут только отрезок AH, забывая сложить его с HC и найти всю гипотенузу;
• путают формулу и пишут AB² = HC · AC — это неверно, потому что для катета AB нужен именно отрезок AH, а не HC;
• забывают извлечь корень после нахождения квадрата катета.

Как действовать на ОГЭ: 1) найди всю гипотенузу; 2) определи, какой отрезок ей соответствует нужному катету; 3) запиши формулу вида катет² = гипотенуза · проекция; 4) вычисли и извлеки корень.

Здесь удобно использовать подобие треугольников. Так как прямая KM параллельна стороне AC, то треугольники BKM и BAC подобны: у них равны углы при вершине B, а также еще по одному углу как накрест лежащие при параллельных прямых.

Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон одинаково:

BK / BA = KM / AC.

Сначала найдем BA. По условию BK:KA = 2:3, значит вся сторона BA состоит из 2 + 3 = 5 равных частей. Тогда

BK = 2/5 · BA.

Но в подобных треугольниках как раз BK / BA = KM / AC, значит коэффициент подобия равен 2/5. Подставим известную длину KM = 8:

8 / AC = 2 / 5.

Теперь выразим AC:

AC = 8 · 5 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Полезно помнить типичную идею для ОГЭ: если внутри треугольника проведена прямая, параллельная стороне, то маленький и большой треугольники подобны. Частая ошибка — взять не те отрезки в пропорции. Нужно сравнивать именно соответствующие стороны: BK соответствует BA, а KM соответствует AC. Еще одна ошибка — забыть, что отношение BK:KA относится к стороне BA целиком, поэтому сначала надо найти, сколько частей составляет весь отрезок.

Рассмотрим, как здесь работает подобие треугольников. Так как DE ∥ AC, то в треугольнике ABC получаются два подобных треугольника: маленький DBE и большой ABC. Это главный признак, который нужно увидеть в задаче: параллельная прямая внутри треугольника почти всегда подсказывает подобие.

По условию DB:BA = 2:5. Значит, стороны подобных треугольников относятся как 2/5. Тогда и соответствующие отрезки на других сторонах тоже относятся так же, то есть

BE/BC = DB/BA = 2/5.

Теперь посмотрим на треугольники ADO и ABC? Здесь важно не ошибиться: точка O — пересечение AE и CD, но для нахождения AO удобнее заметить, что в четырёхугольнике с параллельными сторонами можно использовать стандартное свойство: если в треугольнике проведена прямая, параллельная стороне, а внутри проведены пересекающиеся отрезки к точкам на боковых сторонах, то точка пересечения делит отрезок AE в том же отношении, что и стороны треугольника.

Более аккуратно: треугольники ADO и ABC подобны, потому что у них есть равные углы: угол при A общий, а второй равный угол получается из параллельности DE ∥ AC и пересечения отрезков. Из подобия следует, что

AO/AE = DB/BA = 2/5.

Тогда

AO = AE · 2/5 = 15 · 2/5 = 6 см.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала обязательно найдите, какие треугольники подобны из-за параллельности; потом выпишите отношение соответствующих сторон; только после этого подставляйте числа. Частая ошибка — взять отношение в обратном порядке или перепутать, какой отрезок является частью какого. Если видите в условии запись вида 2:5, всегда уточняйте, что из двух чисел относится к меньшему и большему отрезку.

В этой задаче используется свойство точки пересечения медиан: она делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Разберём условие.

• Точка D — середина стороны BC, значит AD — медиана.
• Точка G — точка пересечения медиан, значит она лежит на медиане AD.
• По свойству медиан AG : GD = 2 : 1.

Если вся медиана AD = 27, то она состоит из 3 равных частей по этой пропорции: 2 + 1 = 3.

Найдём одну часть:

27 : 3 = 9.

Тогда отрезок от вершины до точки пересечения медиан равен 2 таким частям:

AG = 2 · 9 = 18.

Ответ: 18.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают, откуда считать отношение 2:1. Важно помнить: большая часть — всегда от вершины до точки пересечения медиан. Если считать наоборот, получится неверный ответ. Ещё одна типичная ошибка — делить медиану на 2, хотя нужно делить на 3, потому что отношение именно 2:1, а не 1:1.

Полезный алгоритм: нашли медиану → вспомнили 2:1 → разделили всю медиану на 3 → умножили на 2, если нужен отрезок от вершины до центра тяжести треугольника.