Площадь треугольника через тригонометрию и законы: задания с ответами

Здесь удобно использовать теорему синусов. Она связывает стороны треугольника и синусы противолежащих углов:

a / sin A = b / sin B = c / sin C.

Сначала разберёмся, какие элементы противолежат друг другу.

• Сторона BC лежит напротив угла A, значит это сторона a.
• Сторона AC лежит напротив угла B, значит это сторона b.

По условию BC = 8, ∠A = 30°, ∠B = 45°. Тогда по теореме синусов:

AC / sin 45° = 8 / sin 30°.

Выразим искомую сторону:

AC = 8 · sin 45° / sin 30°.

Подставим значения синусов:

sin 45° = √2 / 2, sin 30° = 1 / 2.

Получаем:

AC = 8 · (√2 / 2) / (1 / 2) = 8√2.

Ответ: 8√2.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Всегда сначала определяйте, какая сторона напротив какого угла.
• Не путайте углы: в теореме синусов в числителе и знаменателе должны стоять соответствующие сторона и противолежащий ей угол.
• Если дано BC, а ищут AC, то нельзя подставлять угол A и угол B как попало — сначала нужно понять, какая сторона кому противолежит.
• Синусы специальных углов лучше помнить: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2.

Такой алгоритм помогает быстро решать типовые задания и не терять лёгкие баллы.

Сначала нужно понять, какая сторона лежит напротив какого угла. В треугольнике сторона AC лежит напротив угла B, а сторона BC — напротив угла A.

Для таких задач удобно использовать теорему синусов:

AC / sin B = BC / sin A.

Подставим известные данные:

4√2 / sin 45° = BC / sin 30°.

Теперь подставим значения синусов: sin 45° = √2/2, sin 30° = 1/2.

4√2 / (√2/2) = BC / (1/2).

Вычислим левую часть: деление на √2/2 — это умножение на 2/√2, поэтому

4√2 · 2 / √2 = 8.

Значит,

8 = BC / (1/2),

откуда BC = 8 · 1/2 = 4.

Ответ: 4.

Как не потерять баллы: 1) не перепутайте, какая сторона напротив какого угла; 2) используйте именно синусы, а не косинусы; 3) аккуратно работайте с дробями и корнями. Частая ошибка — подставить в формулу не тот угол, напротив которого лежит сторона.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используют формулу:

S = 1/2 · a · b · sin(γ),

где a и b — две стороны, а γ — угол между ними.

В нашей задаче даны стороны AB = 8 и AC = 6. Угол между ними — это ∠BAC = 30°. Значит, именно эти числа и нужно подставить в формулу:

S = 1/2 · 8 · 6 · sin 30°.

Мы знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда:

S = 1/2 · 8 · 6 · 1/2 = 24 · 1/2 = 12.

Ответ: 12.

Почему это важно: в таких задачах главное — не перепутать угол. В формулу подставляют только угол между данными сторонами. Если взять другой угол, ответ получится неверным. Ещё одна частая ошибка — забыть множитель 1/2 или вместо синуса по привычке подставить косинус.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Найдите две стороны, между которыми лежит данный угол.
2. Запишите формулу S = 1/2 · a · b · sin(γ).
3. Подставьте значения и вычислите синус стандартного угла.
4. Аккуратно выполните умножение.

Такой алгоритм помогает не потерять лёгкие баллы на экзамене.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:

S = 1/2 · a · b · sin(γ),

где a и b — стороны, между которыми лежит угол γ.

В нашей задаче известны стороны AB = 8 см и AC = 6 см, а угол между ними — это ∠A = 30°. Значит, можно сразу подставить данные в формулу:

S = 1/2 · 8 · 6 · sin 30°.

Помним, что sin 30° = 1/2. Тогда получаем:

S = 1/2 · 8 · 6 · 1/2 = 12.

Итак, площадь треугольника равна 12 см².

Почему это важно для ОГЭ: в таких заданиях часто проверяют, умеете ли вы распознать, что дан именно включённый угол, то есть угол между двумя известными сторонами. Если взять не тот угол, ответ будет неверным, даже если вычисления выполнены аккуратно.

Частые ошибки:

• забывают множитель 1/2;
• подставляют cos вместо sin;
• берут угол, который не является углом между данными сторонами;
• ошибаются в значении sin 30° и других стандартных углов.

Как быстро решить на экзамене:

1. Найти две данные стороны и угол между ними.
2. Вспомнить формулу S = 1/2 · a · b · sin(γ).
3. Подставить числа.
4. Использовать табличное значение синуса стандартного угла.
5. Вычислить ответ и проверить единицы измерения: площадь измеряется в см².

Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и синус угла между ними, удобно использовать формулу

\(S = \frac12 ab \sin \gamma\),

где \(a\) и \(b\) — две стороны, а \(\gamma\) — угол между ними.

В нашей задаче известны:

• \(AB = 10\),
• \(AC = 8\),
• \(\sin \angle A = 0{,}6\).

Значит, нужно подставить эти данные в формулу, потому что угол \(A\) как раз является углом между сторонами \(AB\) и \(AC\):

\(S = \frac12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 0{,}6\).

Сначала перемножим стороны:

\(10 \cdot 8 = 80\).

Теперь умножим на синус:

\(80 \cdot 0{,}6 = 48\).

И, наконец, умножим на \(\frac12\):

\(S = \frac12 \cdot 48 = 24\).

Ответ: \(24\).

Почему это правильно? Формула площади через две стороны и синус угла между ними — это стандартный способ, когда не хватает высоты. Он особенно полезен в заданиях ОГЭ: не нужно строить высоту и вычислять её отдельно.

Типичные ошибки:

• берут синус не того угла, а именно нужен угол между данными сторонами;
• забывают множитель \(\frac12\);
• подставляют в формулу только одну сторону или путают порядок действий;
• ошибаются при вычислении десятичной дроби \(0{,}6\).

Совет для ОГЭ: если в условии даны две стороны и синус угла между ними, почти всегда сразу вспоминайте формулу \(S = \frac12 ab \sin \gamma\). Это позволяет быстро получить ответ и не потерять лёгкие баллы.

Для нахождения косинуса угла по трём сторонам удобнее всего использовать теорему косинусов. Она связывает сторону, лежащую напротив угла, с двумя прилежащими к нему сторонами.

Для угла B прилежащие стороны — это AB и BC, а противоположная ему сторона — AC. Значит, записываем теорему косинусов для угла B:

AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos B.

Подставим известные значения:

8² = 5² + 7² − 2·5·7·cos B.

Вычислим квадраты:

64 = 25 + 49 − 70·cos B.

64 = 74 − 70·cos B.

Переносим числа:

70·cos B = 74 − 64 = 10.

Тогда

cos B = 10/70 = 1/7.

Ответ: 1/7.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала определите, какая сторона лежит напротив нужного угла. Это самая частая ошибка: если перепутать сторону, получится неверный ответ.
• Помните, что в формуле теоремы косинусов именно квадрат противоположной стороны стоит слева.
• Не путайте cos и sin: здесь требуется именно косинус, потому что даны все три стороны.
• После подстановки аккуратно считайте квадраты и следите за знаками.

Полезный алгоритм для таких задач: определи угол → найди противоположную сторону → запиши теорему косинусов → подставь числа → вырази cos. Если действовать по этому плану, такие задания решаются быстро и без лишних ошибок.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:

S = 1/2 · a · b · sin(γ),

где a и b — стороны, между которыми лежит угол γ. Это очень важный момент: в формулу нужно подставлять именно те две стороны, между которыми дан угол. Если взять не те стороны, ответ получится неверным.

В нашей задаче стороны AB = 8 и AC = 6 образуют угол ∠A = 30°. Значит, можно сразу подставить данные в формулу:

S = 1/2 · 8 · 6 · sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда:

S = 1/2 · 8 · 6 · 1/2 = 12.

Ответ: 12 см².

Почему это верно? Формула площади через синус угла показывает, какая часть прямоугольника на сторонах a и b реально занимает треугольник. Если угол равен 90°, синус равен 1, и формула превращается в привычную S = 1/2ab. Для меньших углов площадь уменьшается, что тоже логично.

Частые ошибки на ОГЭ:

• забывают множитель 1/2;
• подставляют угол, который не лежит между данными сторонами;
• путают sin и cos;
• ошибаются в значении sin 30°.

Как себя проверить: если стороны 8 и 6, а угол между ними острый, площадь должна быть меньше, чем 1/2 · 8 · 6 = 24. Полученный ответ 12 выглядит разумно.

Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, используется формула:

S = 1/2 · a · b · sin(γ),

где a и b — стороны, между которыми расположен угол γ.

В нашей задаче:

• AB = 8
• AC = 6
• угол между ними ∠BAC = 30°

Подставим данные в формулу:

S = 1/2 · 8 · 6 · sin 30°

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что sin 30° = 1/2.

Тогда:

S = 1/2 · 8 · 6 · 1/2 = 12.

Ответ: 12.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• всегда проверяйте, что угол именно между данными сторонами;
• не забывайте множитель 1/2 в формуле;
• не путайте sin и cos: для площади через две стороны нужен именно синус;
• если угол стандартный (30°, 45°, 60°, 90°), сразу вспоминайте его синус.

Частая ошибка — умножить просто 8 · 6 · sin 30° и забыть деление на 2. Это даст неверный ответ в 2 раза больше. Поэтому удобный алгоритм такой: увидел две стороны и угол между ними → записал формулу → подставил значения → вычислил синус → получил площадь.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используют формулу

S = 1/2 · a · b · sin(γ),

где a и b — данные стороны, а γ — угол между ними.

В нашей задаче стороны AB = 10 и AC = 6 образуют угол ∠BAC = 30°. Значит, можно сразу подставить значения в формулу:

S = 1/2 · 10 · 6 · sin 30°.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что sin 30° = 1/2. Тогда

S = 1/2 · 10 · 6 · 1/2 = 15.

Ответ: 15.

Почему важно действовать именно так? Иногда ученики ошибочно берут не тот угол — например, угол при другой вершине. Но в формуле нужен именно угол между данными сторонами. Здесь это угол между AB и AC, то есть ∠BAC. Ещё одна частая ошибка — забыть множитель 1/2. Если его пропустить, площадь получится в 2 раза больше правильной.

Полезный алгоритм для ОГЭ такой:

1. Найти две стороны, которые даны в условии.
2. Проверить, какой угол находится между ними.
3. Подставить числа в формулу S = 1/2 · a · b · sin(γ).
4. Вычислить значение синуса и упростить ответ.

Если помнить эту схему, такие задачи решаются быстро и без лишних шагов.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними используется формула:

S = 1/2 · a · b · sin γ,

где a и b — две стороны треугольника, а γ — угол между этими сторонами.

В нашей задаче стороны AB = 10 и AC = 6 образуют угол ∠BAC, а его синус равен 0,8. Значит, можно сразу подставить числа в формулу:

S = 1/2 · 10 · 6 · 0,8.

Сначала удобно перемножить числа: 10 · 6 = 60. Тогда

S = 1/2 · 60 · 0,8 = 30 · 0,8 = 24.

Ответ: 24.

Важно помнить:

• нужно брать именно угол между данными сторонами;
• в формуле нельзя забывать множитель 1/2;
• если в ответе получается десятичное число, его можно записать как есть, но здесь ответ целый.

Такие задачи на ОГЭ решаются быстро, если вы сразу вспоминаете формулу площади через синус. Главное — аккуратно подставить именно те стороны, которые образуют указанный угол.

Чтобы найти косинус угла $\angle A$ по трём сторонам треугольника, используем теорему косинусов:

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2 \mathrm{AB} \mathrm{AC} \cos A$

Здесь важно не перепутать сторону, которая лежит напротив угла $A$. Это сторона $BC$, потому что она соединяет вершины $B$ и $C$, а угол $A$ находится в противоположной вершине.

Подставим известные значения:

${13}^2=7^2+8^2-2 ·7 ·8 \cos A$

Вычислим квадраты:

$169=49+64-112 \cos A$

$169=113-112 \cos A$

Переносим 113 в левую часть:

$56=-112 \cos A$

Теперь делим обе части на $-112$:

$\cos A=-\frac{56}{112}=-\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала всегда определяйте, какая сторона напротив нужного угла; затем аккуратно подставляйте в формулу теоремы косинусов. Самая частая ошибка — взять не ту сторону за противоположную углу или забыть знак «минус» перед произведением. Ещё одна типичная ошибка — неверно посчитать квадраты чисел. Если проверять себя по шагам, задача решается быстро и без лишних рисков.

Решаем задачу по теореме синусов:

AB / sin ∠C = BC / sin ∠A.

Нам известны сторона AB = 12, sin ∠C = 0.8 и sin ∠A = 0.6. Подставим эти значения:

12 / 0.8 = BC / 0.6.

Сначала найдём левую часть:

12 / 0.8 = 15.

Значит,

BC / 0.6 = 15.

Теперь умножим обе части на 0.6:

BC = 15 · 0.6 = 9.

Ответ: 9.

Почему это работает? В теореме синусов каждая сторона делится на синус противолежащего ей угла. Если к известной стороне подобрать её угол и к искомой стороне — её угол, можно составить пропорцию и легко найти неизвестное.

Частые ошибки:

• путают, какой стороне соответствует какой угол;
• забывают, что нужно брать именно противолежащий угол;
• делают вычисления в неправильном порядке и получают неверное число.

Полезный алгоритм на ОГЭ: сначала сопоставьте сторону и угол, потом запишите теорему синусов, затем подставьте числа и аккуратно вычислите.