Площадь треугольника (основа·высота, формулы площади): задания с ответами

Для прямоугольного треугольника площадь удобнее всего находить по формуле

S = (a · b) / 2,

где a и b — катеты. Это очень важная формула для ОГЭ: если в задаче сказано, что треугольник прямоугольный и известны оба катета, то именно её и нужно использовать.

В нашей задаче катеты равны 6 см и 8 см. Подставим значения:

S = (6 · 8) / 2 = 48 / 2 = 24.

Ответ: 24 см².

Почему так: катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны, значит один катет можно считать основанием, а другой — высотой. Тогда площадь треугольника равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8.

Частые ошибки:

• забывают разделить произведение катетов на 2 и получают 48 вместо 24;
• пытаются использовать формулу через основание и высоту, но не замечают, что в прямоугольном треугольнике катеты и есть основание с высотой;
• ошибаются в умножении: 6 · 8 = 48, а не 54 или 42.

Совет для ОГЭ: если видите прямоугольный треугольник и два катета, сразу вспоминайте короткий алгоритм: перемножить катеты и разделить пополам. Это быстро и почти всегда приносит лёгкий балл.

Здесь удобно использовать связь площадей треугольников, у которых общая вершина A, а стороны лежат на одних и тех же прямых AB и AC.

Сначала выразим, какую часть всей стороны занимают отрезки AM и AN.

• Если AM:MB = 2:3, то вся сторона AB состоит из 2 + 3 = 5 равных частей, значит AM = 2/5 от AB.
• Если AN:NC = 1:4, то вся сторона AC состоит из 1 + 4 = 5 равных частей, значит AN = 1/5 от AC.

Теперь сравним треугольники AMN и ABC. У них один и тот же угол при вершине A, а две стороны уменьшены в 5 раз и в 5 раз? Нет, важно не путать: AM составляет 2/5 от AB, а AN составляет 1/5 от AC. Значит, площадь малого треугольника равна площади большого, умноженной на произведение этих долей:

S_AMN = S_ABC · (2/5) · (1/5).

Подставим известную площадь:

6 = S_ABC · 2/25.

Тогда

S_ABC = 6 : (2/25) = 6 · 25 / 2 = 75.

Ответ: 75.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала переводите отношение вида 2:3 в долю всей стороны: это 2/(2+3), а не просто 2/3. Затем помните, что площадь зависит от двух сторон, поэтому нужно перемножить обе доли. Частая ошибка — делить площадь только на один коэффициент или складывать отношения вместо умножения.

Используем стандартный алгоритм для прямоугольного треугольника.

1. Сначала найдём второй катет. Так как треугольник прямоугольный и угол C — прямой, то AB — гипотенуза, а AC и BC — катеты. По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC².

Подставим известные значения:

10² = 6² + BC²

100 = 36 + BC²

BC² = 64, значит BC = 8 (берём только положительное значение, потому что длина стороны не может быть отрицательной).

2. Теперь найдём площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = (AC · BC) / 2.

Подставляем:

S = (6 · 8) / 2 = 48 / 2 = 24.

Ответ: 24.

Почему именно так? Формула S = (основание · высота) / 2 для прямоугольного треугольника особенно удобна: один катет можно взять за основание, а второй катет — это высота, опущенная на него. Поэтому в таких задачах сначала часто нужно найти недостающий катет по Пифагору, а потом уже считать площадь.

Частые ошибки:

• путают гипотенузу с катетом и подставляют её в формулу площади как один из катетов;

• забывают, что в теореме Пифагора нужно использовать квадраты сторон;

• после нахождения BC² = 64 пишут BC = ±8, хотя в геометрии длина стороны всегда положительна;

• считают площадь как 6 · 8 и забывают разделить на 2.

На ОГЭ удобно проверять ответ: для катетов 6 и 8 площадь должна быть половиной произведения, то есть 24. Если получилось целое число и оно разумно меньше произведения катетов, значит, скорее всего, решение верное.

Здесь удобно использовать идею о том, как меняется площадь треугольника, если на двух его сторонах взять точки и построить меньший треугольник с той же вершиной.

Рассмотрим треугольник ABC. Точка M делит сторону AB в отношении AM:MB = 2:3, значит

AM/AB = 2/(2+3) = 2/5.

Аналогично, точка N делит сторону AC в отношении AN:NC = 4:1, значит

AN/AC = 4/(4+1) = 4/5.

Треугольники AMN и ABC имеют общий угол при вершине A, а их площади относятся как произведение соответствующих долей сторон:

S_AMN / S_ABC = (AM/AB) · (AN/AC).

Подставим найденные дроби:

S_AMN / S_ABC = (2/5) · (4/5) = 8/25.

По условию S_AMN = 24, значит

24 / S_ABC = 8/25.

Теперь найдём площадь большого треугольника:

S_ABC = 24 · 25 / 8 = 75.

Ответ: 75.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не надо складывать отношения 2:3 и 4:1. Для площадей в такой задаче нужно перемножать доли сторон.
• Сначала обязательно переведите отношение в дробь: например, 2:3 превращается в 2/5, а не в 2/3.
• Если внутренний треугольник меньше исходного, то его площадь должна быть меньше. Это помогает проверить ответ.

В этой задаче площадь меньшего треугольника равна 8/25 от площади большого. Значит, чтобы найти исходную площадь, надо разделить 24 на 8/25, то есть умножить на 25/8.

Рассмотрим треугольники AMN и ABC.

У них общий угол при вершине A, а стороны, выходящие из этого угла, пропорциональны:

AM/AB = 2/5, AN/AC = 3/5.

Для таких треугольников площадь относится как произведение коэффициентов подобия по двум сторонам:

S_AMN / S_ABC = (AM/AB) · (AN/AC) = (2/5) · (3/5) = 6/25.

Значит, площадь маленького треугольника составляет 6/25 от площади большого. Если S_AMN = 12 см², то

12 = 6/25 · S_ABC.

Теперь находим площадь большого треугольника:

S_ABC = 12 : (6/25) = 12 · 25/6 = 50 см².

Ответ: 50.

Почему так: если у двух треугольников общий угол и стороны, прилежащие к нему, взяты в одном и том же отношении, то площадь меняется как произведение этих отношений. Это важный тип задачи ОГЭ. Частая ошибка — умножать площадь только на одну дробь или складывать дроби. На самом деле нужно именно перемножить отношения двух сторон.

Как проверять себя: площадь большего треугольника должна быть больше 12 см², потому что внутренний треугольник меньше исходного. У нас получилось 50 см², это разумный ответ.

Рассмотрим, как связана площадь треугольника AMN с площадью всего треугольника ABC.

У треугольников AMN и ABC общий угол при вершине A. Поэтому их площади можно сравнивать через стороны, выходящие из этой вершины:

S_AMN / S_ABC = (AM / AB) · (AN / AC).

Теперь найдём каждую долю отдельно.

Из отношения AM:MB = 2:3 получаем, что вся сторона AB состоит из 2+3=5 равных частей, значит

AM / AB = 2/5.

Аналогично, из AN:NC = 4:1 имеем, что сторона AC состоит из 4+1=5 частей, поэтому

AN / AC = 4/5.

Теперь перемножаем:

S_AMN / 50 = (2/5) · (4/5) = 8/25.

Тогда

S_AMN = 50 · 8/25 = 16.

Ответ: 16.

Почему так можно делать? Если две фигуры имеют общий угол, то их площади зависят от произведения двух соответствующих сторон, выходящих из этого угла. Здесь треугольники AMN и ABC имеют общий угол A, поэтому удобно брать именно доли сторон AM/AB и AN/AC.

Частая ошибка — взять только одно отношение, например 2/5 или 4/5. Это неверно, потому что площадь зависит не от одной стороны, а от двух. Ещё одна ошибка — перепутать, что именно делят точки: нужно сначала сложить части, чтобы найти всю сторону, а потом взять нужную долю.

На ОГЭ такие задачи удобно решать по короткому алгоритму: 1) найти долю каждой стороны; 2) перемножить доли; 3) умножить площадь большого треугольника на получившуюся дробь.

Используем основную формулу площади треугольника:

S = 1/2 · основание · высота.

Площадь одного и того же треугольника можно вычислить по-разному: через сторону AB и высоту к ней, а также через сторону BC и высоту к ней. Поэтому составим два выражения для площади и приравняем их.

1) Через сторону AB = 15 см и высоту к ней 8 см:

S = 1/2 · 15 · 8 = 60 см².

2) Теперь через сторону BC = 10 см и искомую высоту h:

S = 1/2 · 10 · h.

Так как площадь одна и та же, получаем уравнение:

1/2 · 10 · h = 60.

Отсюда

5h = 60, значит h = 12.

Ответ: 12 см.

Почему так можно делать? Потому что у любого треугольника площадь не зависит от того, какую сторону взять за основание: если основание меняется, то меняется и соответствующая высота, но сама площадь остаётся той же.

Частые ошибки:

• путают высоту с длиной стороны;
• забывают множитель 1/2 в формуле площади;
• подставляют высоту не к той стороне;
• сразу делят 15 на 10 или 10 на 15 без составления формулы площади.

Удобный алгоритм на экзамене такой: сначала найти площадь через известные данные, потом записать площадь через вторую сторону и неизвестную высоту, затем приравнять выражения и решить простое уравнение. Это самый надёжный способ не потерять лёгкие баллы в заданиях на площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника по стороне и высоте используется формула:

S = 1/2 · a · h,

где a — длина выбранной стороны (основания), а h — высота, опущенная именно на эту сторону.

В задаче даны:

• a = 12 см,
• h = 7 см.

Подставим значения в формулу:

S = 1/2 · 12 · 7.

Сначала умножим 12 и 7:

12 · 7 = 84.

Теперь разделим пополам:

84 : 2 = 42.

Значит, площадь треугольника равна 42 см².

Ответ: 42.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не забудьте, что площадь треугольника всегда находится по формуле половина произведения основания и высоты.
• Высота должна быть именно к той стороне, которая указана в условии. Если высота к другой стороне, формула с этими числами уже не подойдёт.
• Частая ошибка — написать просто 12 · 7 и забыть разделить на 2.
• Если ответ получается целым числом, его можно записать без единиц измерения, если в задании просят только число.

Полезная проверка: площадь треугольника всегда меньше произведения основания на высоту, потому что берётся только половина этого произведения. Здесь 42 действительно меньше 84, значит вычисление выполнено верно.

В этой задаче дан прямоугольный треугольник, то есть две стороны, образующие прямой угол, — это катеты. Для площади треугольника можно использовать общую формулу:

S = (основание · высота) / 2.

В прямоугольном треугольнике очень удобно взять в качестве основания один катет, а в качестве высоты — второй катет. Почему так можно? Потому что катеты перпендикулярны друг другу, а значит, один из них действительно является высотой к другому.

Подставим данные:

S = (6 · 11) / 2 = 66 / 2 = 33.

Ответ: 33 см².

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте катеты с гипотенузой: гипотенуза в формуле площади через основание и высоту здесь не нужна;
• обязательно делите произведение на 2 — это самая частая ошибка;
• если в задаче дан прямой угол, почти всегда стоит сразу вспомнить формулу S = ab/2 для прямоугольного треугольника.

Полезная проверка: площадь треугольника всегда меньше произведения двух перпендикулярных сторон, потому что это только половина прямоугольника с такими сторонами.

У треугольников ABD и ABC одна и та же высота, опущенная из вершины B на прямую AC. Это ключевой факт: если высота одинакова, то площади треугольников относятся как соответствующие основания.

У треугольника ABC основание — весь отрезок AC. Его длина:

AC = AD + DC = 5 + 7 = 12.

Площадь треугольника ABD относится к площади треугольника ABC как отрезок AD относится к отрезку AC:

S_ABD / S_ABC = AD / AC = 5 / 12.

Теперь подставим известную площадь всего треугольника:

S_ABD = 48 · 5 / 12 = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Как решать такие задачи на ОГЭ: сначала ищите, какие треугольники имеют общую высоту. Потом сравнивайте не площади сразу, а основания. Если высота одна и та же, площадь меняется пропорционально основанию. Это позволяет решать задачу без дополнительных вычислений высоты.

Частые ошибки:

1) Берут отношение 5/7 вместо 5/12. Нужно сравнивать с всем основанием AC, а не с другой частью.

2) Пытаются находить высоту, хотя это не требуется. В таких задачах обычно удобнее использовать пропорцию площадей.

3) Забывают сложить отрезки AD и DC, чтобы получить AC.

Если помнить правило «одинаковая высота — площади как основания», такие задания решаются быстро и без ошибок.

Для нахождения площади треугольника по стороне и высоте используется формула:

S = 1/2 · a · h

Здесь a — выбранная сторона (основание), а h — высота, опущенная именно на эту сторону. В условии дано: a = 14 см, h = 9 см.

Подставим значения в формулу:

S = 1/2 · 14 · 9

Сначала перемножим 14 и 9:

14 · 9 = 126

Теперь разделим пополам:

126 : 2 = 63

Ответ: 63 см².

Почему так? Площадь треугольника всегда вдвое меньше площади прямоугольника (или параллелограмма) с тем же основанием и высотой. Поэтому произведение основания на высоту обязательно делится на 2.

Типичные ошибки:

• забывают разделить на 2 и получают 126 вместо 63;
• берут не ту высоту — важно, чтобы высота была именно к указанной стороне;
• путают единицы измерения. Здесь всё в сантиметрах, значит площадь будет в см².

На ОГЭ удобно действовать по короткому алгоритму: найти основание, проверить соответствующую высоту, подставить в формулу, не забыть деление на 2.

Решать такие задачи удобно через сравнение площадей треугольников с общим углом. Здесь у треугольников \(A B C\) и \(A M N\) общий угол при вершине \(A\), а точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(A B\) и \(A C\). Значит, площадь малого треугольника можно найти как долю от площади большого.

Сначала переведём отношения на сторонах в доли целых сторон:

\(A M : M B = 2 : 3\), значит вся сторона \(A B\) состоит из \(2+3=5\) равных частей, и

\(A M = \frac{2}{5} A B\).

Аналогично,

\(A N : N C = 3 : 1\), значит вся сторона \(A C\) состоит из \(3+1=4\) равных частей, и

\(A N = \frac{3}{4} A C\).

Теперь используем важное правило: если у двух треугольников есть общий угол, а их стороны, выходящие из этого угла, взяты в некоторых долях от соответствующих сторон, то площади относятся как произведение этих долей:

\(\dfrac{S_{A M N}}{S_{A B C}} = \dfrac{A M}{A B} \cdot \dfrac{A N}{A C}\).

Подставим:

\(\dfrac{S_{A M N}}{120} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\).

Тогда

\(S_{A M N} = 120 \cdot \dfrac{3}{10} = 36\).

Ответ: \(36\).

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают отношение частей стороны с долей всей стороны. Например, из \(2:3\) нужно брать не \(2/3\), а \(2/(2+3)=2/5\). Ещё одна типичная ошибка — складывать или вычитать отношения вместо умножения. Для таких задач с общим углом работает именно произведение долей двух сторон.