Углы и элементы треугольника: задания с ответами

Используем свойство внешнего угла треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B.

Составим уравнение:

A + B = 123°

Подставим известное значение угла A = 47°:

47° + B = 123°

Тогда

B = 123° - 47° = 76°.

Ответ: 76.

Почему так можно делать? Внешний угол образуется при продолжении одной стороны треугольника и смежен с внутренним углом при той же вершине. Но для нахождения неизвестного угла удобнее помнить именно свойство: внешний угол равен сумме двух внутренних удалённых углов.

Частая ошибка — пытаться сразу использовать сумму всех углов треугольника 180°. Это тоже верное свойство, но в таких задачах быстрее и проще применить свойство внешнего угла. Ещё одна ошибка — взять разность в неправильном порядке, например 47° - 123°. Нужно вычитать из внешнего угла известный внутренний, тогда получится положительный ответ.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найдите, какие два внутренних угла “собираются” во внешний; 2) запишите равенство; 3) подставьте числа; 4) вычтите известный угол из внешнего. Так вы быстро и без лишних действий получите правильный ответ.

Используем главное свойство треугольника: сумма всех его внутренних углов равна 180°.

Пусть третий угол равен x. Тогда можно записать:

47° + 68° + x = 180°

Сначала находим сумму известных углов:

47° + 68° = 115°

Теперь вычитаем эту сумму из 180°:

x = 180° - 115° = 65°

Значит, третий угол равен 65°.

Как проверять себя на ОГЭ: если после сложения двух углов получается число меньше 180°, то третий угол находится простым вычитанием. Если бы сумма двух углов была 180° или больше, это означало бы ошибку в условии или в вычислениях, потому что в треугольнике третий угол должен быть положительным.

Частая ошибка: некоторые ученики забывают, что нужно сначала сложить два данных угла, а потом вычесть результат из 180°. Нельзя сразу вычитать только один из углов.

Используем главное свойство треугольника: сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°. Это одно из самых частых правил в заданиях ОГЭ, и его нужно помнить без колебаний.

Обозначим третий угол как x. Тогда можно составить уравнение:

48° + 67° + x = 180°

Сначала найдём сумму известных углов:

48° + 67° = 115°

Теперь вычтем её из 180°:

x = 180° − 115° = 65°

Ответ: 65°.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

1. Запомнить формулу: третий угол = 180° − (первый угол + второй угол).
2. Сначала сложить два данных угла.
3. Потом вычесть результат из 180°.

Частые ошибки:

• складывают все три угла и получают неправильный ответ;
• вычитают из 180° только один угол, а не сумму двух;
• путают свойство треугольника с суммой углов четырёхугольника или другого многоугольника.

В этом задании главное — не спешить и аккуратно выполнить одно действие за другим. Если помнить правило про 180°, такие задачи решаются очень быстро и дают лёгкие баллы на ОГЭ.

В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°. Тогда сумма двух остальных углов равна 90°, потому что сумма всех углов треугольника равна 180°.

Значит, если один острый угол равен 37°, то второй острый угол находим вычитанием из 90°:

90° − 37° = 53°.

Итак, ответ: 53.

Как не ошибиться на ОГЭ: не нужно искать сумму всех углов треугольника 180° и потом отдельно вычитать 90° два раза. Для прямоугольного треугольника удобнее сразу помнить правило: острые углы в сумме дают 90°. Тогда задача решается за один шаг.

Частая ошибка — написать 143° или 127°. Это происходит, если забыть, что ищется именно острый угол. Второй острый угол обязательно тоже меньше 90°.

Разберём задачу шаг за шагом.

1) Точки A, O, B лежат на одной прямой, значит углы ∠AOC и ∠BOC — смежные. Сумма смежных углов равна 180°.

2) По условию ∠AOC = 128°. Тогда дополнительный к нему угол

∠BOC = 180° - 128° = 52°.

3) Луч OD — биссектриса угла ∠BOC. Это значит, что он делит угол на два равных угла:

∠COD = ∠BOD = 52° : 2 = 26°.

Ответ: 26°.

Частая ошибка на ОГЭ — делить пополам не тот угол. Сначала всегда нужно найти именно тот угол, который делится биссектрисой, а уже потом брать его половину. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что углы на прямой в сумме дают 180°, а не 360°.

Удобный алгоритм для таких задач: сначала найти дополнительный угол, потом разделить его пополам. Это помогает не потерять лёгкие баллы.

Рассмотрим, что дано и что нужно найти.

Высота BH опущена на сторону AC, значит BH ⟂ AC. Это главный факт задачи: высота образует с основанием прямой угол, то есть 90°.

Теперь посмотрим на угол ∠BAC = 38°. Это угол между стороной AB и основанием AC. А нам нужен угол между стороной AB и высотой BH.

Поскольку BH перпендикулярна AC, угол между AB и BH дополняет угол между AB и AC до 90°.

Значит, искомый угол равен:

90° - 38° = 52°.

Ответ: 52.

Как быстро решать такие задачи на ОГЭ:

• сначала найдите, к какой стороне проведена высота;
• вспомните, что высота всегда образует с этой стороной угол 90°;
• если известен угол между другой стороной треугольника и основанием, то искомый угол находится как 90° - данный угол.

Частая ошибка: ученики иногда пытаются применять сумму углов треугольника. Здесь это не нужно, потому что задача решается намного проще через перпендикулярность высоты.

Рассмотрим, что дано в задаче.

1) Треугольник равнобедренный, и AB = AC. Значит, углы при основании равны: ∠B = ∠C.

2) Внешний угол при вершине A смежен с внутренним углом ∠A. Смежные углы в сумме дают 180°.

3) Поэтому внутренний угол ∠A находим так:

∠A = 180° - 128° = 52°.

Это и есть ответ.

Почему такой способ удобен на ОГЭ: если дан внешний угол при вершине, сначала почти всегда нужно найти смежный внутренний угол. Для этого достаточно вычесть внешний угол из 180°.

Частые ошибки:

• путают внешний и внутренний угол и берут 128° за ответ;
• складывают углы вместо вычитания;
• забывают, что смежные углы всегда дают 180°.

Проверка: внутренний угол получился 52°, он меньше 180° и подходит для треугольника. Значит, решение верное.

Рассмотрим, что означает слово высота. По определению, высота BH перпендикулярна стороне AC. Значит, угол между BH и любой прямой, лежащей на AC, равен 90°.

Нам нужен угол между стороной BA и высотой BH. Удобно посмотреть на треугольник ABH. В нём угол при точке H равен 90°, потому что BH ⟂ AC, а точка H лежит на стороне AC.

Теперь заметим важный факт: угол ∠A треугольника ABC равен углу ∠BAH в треугольнике ABH, потому что точки A, H, C лежат на одной прямой. Значит, ∠BAH = 37°.

В прямоугольном треугольнике ABH сумма двух острых углов равна 90°. Поэтому искомый угол между BA и BH равен

90° - 37° = 53°.

Ответ: 53.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

• сначала обязательно найдите прямой угол, который даёт высота;
• потом определите, какой острый угол в маленьком прямоугольном треугольнике уже известен;
• используйте правило: два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.

Частая ошибка: ученики пытаются складывать углы всего треугольника ABC, хотя здесь это не нужно. Самый короткий путь — перейти к треугольнику с высотой и применить свойство прямого угла.

Обозначим ∠A = 30°. Тогда в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит ∠B = 60°. Но для решения это даже не обязательно: нам нужны только углы A и C.

Биссектриса делит угол пополам. Значит:

• биссектриса угла A образует с стороной AB угол 15°;
• биссектриса прямого угла C делит его на два угла по 45°.

Теперь нужно понять, какой угол между этими биссектрисами считается острым. Удобно рассуждать так: при вершине C одна биссектриса уходит под углом 45° к стороне CA, а при вершине A биссектриса отклоняется на 15° от стороны AC. Поэтому искомый острый угол равен сумме этих отклонений:

45° + 15° = 60°.

Ответ: 60°.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забудьте, что биссектриса делит угол пополам;
• если угол прямой, то его биссектриса даёт по 45°;
• в треугольнике с прямым углом легко перепутать, какие именно линии сравниваются, поэтому полезно сначала подписать все углы.

Типичная ошибка: взять только половину одного угла или сложить исходные углы 30° и 90° без деления пополам. Тогда получится неверный ответ.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а два других угла — острые. Важное свойство такого треугольника: сумма двух острых углов равна 90°.

Обозначим второй острый угол через x. Тогда составляем уравнение:

37° + x = 90°.

Чтобы найти x, нужно вычесть известный угол из 90°:

x = 90° - 37° = 53°.

Ответ: 53°.

Почему так можно делать? Потому что в любом прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180°, а один угол уже равен 90°. Значит, на два острых угла остаётся 90°.

Частые ошибки:

• путают с суммой углов треугольника 180° и сразу складывают все углы без учёта прямого угла;
• отнимают угол от 180° вместо 90°;
• забывают, что второй угол должен тоже быть острым, то есть меньше 90°.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: если дан один острый угол в прямоугольном треугольнике, сразу вспоминайте правило 90° - данный угол. Это самый короткий и надёжный способ получить балл без лишних вычислений.

Решим задачу по шагам.

1) По условию BM — медиана к стороне AC. Это означает, что точка M — середина стороны AC, поэтому AM = MC = AC/2. Но для ответа нам это пока не требуется напрямую.

2) Дано, что AB = BM. В треугольнике ABM две стороны равны, значит это равнобедренный треугольник с основанием AM.

3) Точка H — основание высоты BH к прямой AC. Так как точки A, H, M, C лежат на одной прямой AC, то отрезок BH является высотой и в треугольнике ABM к основанию AM.

4) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, одновременно является и медианой. Значит, точка H делит основание AM пополам: AH = HM.

5) Найдём AM. Так как BM — медиана треугольника ABC, то M — середина AC. Следовательно, AM = AC/2 = 14/2 = 7.

6) Теперь, поскольку H — середина отрезка AM, получаем AH = AM/2 = 7/2 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Как не ошибиться на ОГЭ: не перепутайте, что медиана BM относится к стороне AC, а высота BH в этой задаче использует равенство AB = BM и работает уже в треугольнике ABM. Частая ошибка — сразу делить AC пополам дважды, не объяснив, почему точка H является серединой именно AM.

Обозначим угол ABC через x. Тогда третий внутренний угол треугольника — это ∠ACB. Его удобно найти через внешний угол при вершине C.

1. Находим внутренний угол при вершине C.
Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°. Значит,
∠ACB = 180° − 124° = 56°.

2. Используем сумму углов треугольника.
Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°:

∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Подставим известные значения:

72° + x + 56° = 180°.

x = 180° − 128° = 52°.

Итак, ∠ABC = 52°.

Почему здесь не нужна биссектриса?
Биссектриса AL дана для построения чертежа и понимания рисунка, но в этой задаче она не участвует в вычислении неизвестного угла. На ОГЭ важно внимательно читать условие: иногда лишняя деталь добавлена, чтобы проверить, умеете ли вы отличать важные данные от вспомогательных.

Типичные ошибки:

• путают внешний и внутренний угол и не вычитают его из 180°;
• складывают 72° и 124° напрямую, хотя это углы разного типа;
• забывают, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.

Ответ: 52°.