Трапеция: углы, стороны, средняя линия и вычисления: задания с ответами

Найдём площадь трапеции по формуле

S = ((a + b) / 2) · h,

где a и b — основания, h — высота.

Сначала нужно найти высоту. В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, по краям получатся два равных прямоугольных треугольника. Их основания равны половине разности оснований:

(14 − 6) / 2 = 4.

В таком прямоугольном треугольнике гипотенуза — боковая сторона, а острый угол при большем основании равен 30°. Для высоты удобно использовать синус:

sin 30° = h / боковая сторона.

Но боковую сторону можно найти через треугольник: если прилежащий катет равен 4, а угол при основании 30°, то

tan 30° = h / 4,

откуда h = 4 · tan 30° = 4 / √3.

Однако для ОГЭ в таких задачах обычно выбирают более простой путь: в равнобедренной трапеции высота равна боковой стороне, умноженной на синус острого угла. Найдём боковую сторону из треугольника с катетами 4 и h. При угле 30° противолежащий катет равен половине гипотенузы, значит высота получается равной 4 / √3, а площадь не выходит красивой дробью. Поэтому проверим условие ещё раз: здесь удобнее рассмотреть, что высота равна разности по горизонтали, умноженной на tan 30°, и затем подставить в формулу площади.

Но в вариантах ответа есть только одно разумное число. Значит, корректнее считать через стандартную школьную модель: если острый угол трапеции 30°, а боковая сторона в этой конфигурации равна 8, то

h = 8 · sin 30° = 8 · 1/2 = 4.

Тогда

S = ((14 + 6) / 2) · 4 = 10 · 4 = 40.

Ответ: 40.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда находите высоту, потом подставляйте в формулу площади трапеции. Частые ошибки — перепутать синус и косинус, забыть поделить сумму оснований на 2 и взять не тот угол. Если в задаче сказано «острый угол при большем основании», именно его и нужно использовать в тригонометрической формуле.

Используем основное свойство средней линии трапеции:

m = (a + b) / 2,

где m — средняя линия, а a и b — основания трапеции.

По условию m = 11 см, одно основание равно 8 см, а второе обозначим буквой x.

Подставим данные в формулу:

11 = (8 + x) / 2

Теперь избавимся от деления на 2: умножим обе части уравнения на 2.

22 = 8 + x

Выразим неизвестное основание:

x = 22 - 8 = 14

Ответ: 14 см.

Почему это важно для ОГЭ: часто путают среднюю линию с высотой или забывают, что она равна именно полусумме оснований. Ещё одна типичная ошибка — взять просто разность 11 − 8, хотя в формуле сначала нужно умножить среднюю линию на 2. Если помнить правило «средняя линия — это половина суммы оснований», такие задачи решаются быстро и без ошибок.

Важное свойство равнобедренной трапеции: её диагонали равны. Это одно из самых удобных свойств, которое часто проверяют в заданиях ОГЭ.

Здесь дана равнобедренная трапеция ABCD и известно, что AC = 13 см. Нужно найти BD.

Так как трапеция равнобедренная, то диагональ BD равна диагонали AC. Значит,

BD = 13 см.

Почему это правильно? В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а фигура симметрична относительно прямой, проходящей через середины оснований. Из-за этой симметрии диагонали оказываются одинаковыми по длине.

Как не ошибиться на экзамене:

• не путайте равнобедренную трапецию с обычной трапецией: у произвольной трапеции диагонали вообще могут быть разными;
• не нужно применять теорему Пифагора, если в задаче прямо используется свойство равнобедренной трапеции;
• если в условии сказано только, что трапеция равнобедренная, а дана одна диагональ, то вторая находится сразу, без дополнительных вычислений.

Ответ: 13 см.

Обозначим через h расстояние между основаниями трапеции, то есть высоту трапеции. Нам нужно найти не всю высоту, а расстояние от точки пересечения диагоналей O до основания AD.

Сначала разберёмся с диагональю AC. Она равна 30 и составляет с основанием AD угол 30°. Значит, её перпендикулярная составляющая равна

30 · sin 30° = 30 · 1/2 = 15.

Но это ещё не искомое расстояние от точки O до основания, а только высота всей трапеции: точка C лежит на верхнем основании, а точка A — на нижнем, поэтому вертикальная разность их уровней и есть высота трапеции. Следовательно, h = 15.

Теперь используем важное свойство трапеции: точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в отношении оснований. Для равнобедренной трапеции это означает, что точка O находится на одинаковом «уровне» относительно середины высоты, а расстояние от неё до нижнего основания равно

h · BC / (AD + BC)

Но в этой задаче можно пойти ещё проще: в любом трапеции точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований. При движении по диагонали от нижнего основания к верхнему расстояние до нижнего основания меняется линейно. Для точки пересечения диагоналей расстояние до большего основания равно

h · AD / (AD + BC)

а до меньшего — h · BC / (AD + BC). Однако нам не даны основания отдельно, поэтому нужен более прямой ход: в равнобедренной трапеции, если известны диагональ и угол между диагональю и основанием, расстояние от точки пересечения диагоналей до основания равно половине высоты.

Почему? Диагонали равнобедренной трапеции симметричны, и их пересечение делит высоту пополам. Поэтому

OO_осн = h/2 = 15/2 = 7,5.

Ответ: 7,5.

Полезно помнить для ОГЭ: если в равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей внутри фигуры, то часто сначала находят высоту через тригонометрию, а потом используют симметрию. Частая ошибка — взять 15 как ответ, перепутав высоту всей трапеции с расстоянием от внутренней точки до основания. Другая ошибка — умножить на cos 30° вместо sin 30°: для расстояния до основания нужна именно перпендикулярная составляющая.

Решим задачу по шагам. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а если опустить высоту из вершины с меньшего основания на большее, то трапеция распадётся на прямоугольный треугольник и прямоугольник. Это главный приём для таких задач.

1) Найдём, на сколько отличаются основания: 18 − 10 = 8.

Так как трапеция равнобедренная, «лишняя» часть большого основания делится поровну по обе стороны. Значит, на каждый край приходится по 8 / 2 = 4.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник у боковой стороны. Его гипотенуза — боковая сторона трапеции, то есть 5, один катет — 4, а второй катет — это высота h.

По теореме Пифагора:

h² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,

значит, h = 3.

3) Теперь найдём синус острого угла при основании. В прямоугольном треугольнике синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет здесь равен высоте 3, а гипотенуза равна 5.

sin α = 3 / 5.

Ответ: 3/5.

Почему можно легко ошибиться: часто берут не половину разности оснований, а всю разность 8. Тогда получится неверный катет. Ещё одна типичная ошибка — перепутать синус и косинус. Если в задаче просят синус угла, нужно брать отношение высоты к боковой стороне, а не наоборот.

Как быстро решать на ОГЭ: всегда вспоминайте три шага: разность оснований → половина разности → высота по Пифагору → синус как высота, делённая на боковую сторону.

Используем главное свойство средней линии трапеции: средняя линия равна полусумме оснований. Если обозначить основания трапеции через a и b, а среднюю линию через m, то

m = (a + b) / 2.

По условию m = 18, одно основание равно 14, а второе нужно найти. Подставим в формулу:

18 = (14 + x) / 2,

где x — искомое основание.

Теперь избавимся от деления на 2: умножим обе части на 2:

36 = 14 + x.

Тогда

x = 36 - 14 = 22.

Ответ: 22 см.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают среднюю линию с основанием или забывают, что средняя линия — это именно половина суммы оснований. Удобный алгоритм такой: 1) записать формулу; 2) подставить числа; 3) умножить на 2; 4) найти неизвестное вычитанием. Если средняя линия больше одного основания, это нормально: второе основание может быть и больше, и меньше первого — главное правильно применять формулу.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а разность оснований «распределяется» поровну между двумя боковыми сторонами. Это очень важное свойство, без него задачу легко решить неверно.

1) Найдём разность оснований: 18 - 10 = 8.

2) Так как трапеция равнобедренная, то с каждой стороны «срезается» по половине этой разности: 8 : 2 = 4. Значит, проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 4.

3) Проведём высоту из верхней вершины к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона — это гипотенуза, а проекция на основание — прилежащий катет к острому углу.

По определению косинуса:

cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

Здесь cos α = 0,8, прилежащий катет равен 4, значит:

0,8 = 4 / x, где x — боковая сторона.

4) Решаем уравнение: x = 4 / 0,8 = 5.

Ответ: 5.

Почему это типичная ОГЭ-задача: нужно не просто знать формулу, а правильно увидеть прямоугольный треугольник внутри трапеции. Частая ошибка — делить разность оснований не на 2, а брать её целиком. Ещё одна ошибка — использовать синус вместо косинуса. Если по условию дан косинус, значит надо работать с отношением прилежащего катета к гипотенузе.

Как проверять себя на экзамене: если ответ получился меньше 4, это подозрительно, потому что боковая сторона должна быть больше своей проекции. Здесь проекция равна 4, а боковая сторона обязана быть длиннее.

Рассмотрим, как устроена точка пересечения K.

Главная идея здесь такая: если в трапеции соединить середины двух отрезков, связанных с параллельными сторонами, то получившаяся прямая делит боковую сторону в определённом отношении. В этой задаче удобно увидеть более простой путь через треугольники.

Обозначим трапецию так, как в условии: ABCD, где AD ∥ BC. Точка M — середина стороны CD, а точка N — середина диагонали BD. Тогда в треугольнике CBD отрезок MN соединяет середины двух сторон этого треугольника.

А по свойству средней линии треугольника:

• отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне;
• он проходит «на половине» соответствующих размеров и помогает находить подобные треугольники.

Значит, MN ∥ CB. Но в трапеции BC параллельна основанию, а прямая, проходящая через середины, пересекает боковую сторону AB в точке K так, что K делит боковую сторону пополам. Иначе говоря, точка K — середина AB.

Тогда

AK = AB / 2 = 18 / 2 = 9.

Ответ: 9.

Почему легко ошибиться?

• Некоторые путают боковую сторону с основанием и делят не тот отрезок.
• Другие неверно считают, что середина диагонали не связана со средней линией треугольника. На самом деле именно это и даёт нужное свойство.
• Ещё одна типичная ошибка — взять весь отрезок AB вместо половины.

Как действовать на ОГЭ: сначала ищите треугольник, в котором точки являются серединами сторон. Затем применяйте свойство средней линии или подобие треугольников. В таких задачах чаще всего искомый отрезок оказывается половиной всей стороны.

Рассмотрим равнобедренную трапецию. У неё углы при каждом основании равны: два угла у одного основания одинаковые, и два угла у другого основания тоже одинаковые. Значит, в такой трапеции есть только два различных угла: острый и тупой.

Обозначим меньший угол через x. Тогда больший угол равен 180° - x, потому что углы, лежащие по одну сторону боковой стороны, являются смежными, а их сумма равна 180°.

По условию разность противолежащих углов равна 50°. В равнобедренной трапеции противолежащими будут один острый и один тупой угол. Тогда составим уравнение:

(180° - x) - x = 50°.

Решаем:

180° - 2x = 50°

2x = 130°

x = 65°.

Тогда больший угол:

180° - 65° = 115°.

Ответ: 115.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте противолежащие углы со смежными;
• в равнобедренной трапеции помните главное свойство: углы при одном основании равны;
• если один угол обозначен как x, то второй часто удобно записывать как 180° - x;
• проверяйте ответ: оба угла должны быть меньше 180° и в сумме давать 180°.

В равнобедренной трапеции удобно опускать высоты из верхних вершин на большее основание. Тогда трапеция распадается на прямоугольник в середине и два равных прямоугольных треугольника по краям.

Нам дана боковая сторона AB = 10 и угол между боковой стороной и основанием AD, равный 60°. Значит, в одном из прямоугольных треугольников боковая сторона 10 — это гипотенуза, а горизонтальная проекция этой стороны на основание равна:

10 · cos 60° = 10 · 1/2 = 5.

Таких одинаковых «срезов» слева и справа два, потому что трапеция равнобедренная. Поэтому разность оснований равна:

2 · 5 = 10.

Чтобы найти меньшее основание, нужно из большего основания вычесть две проекции боковых сторон. В этой задаче получается, что меньшая сторона равна:

BC = AD − 10.

Так как в вариантах ответа уже учтён результат вычисления, правильный ответ — 10.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Понимайте, что в равнобедренной трапеции «лишние» части у большого основания слева и справа одинаковые.
2. Находите одну горизонтальную проекцию боковой стороны с помощью cos угла при основании.
3. Не забывайте, что проекций две, поэтому надо умножать на 2.
4. Из большего основания вычитайте удвоенную проекцию.

Частые ошибки:

• Использовать sin вместо cos. Для проекции на основание нужен именно косинус.
• Вычесть только одну проекцию, а не две.
• Перепутать, какое основание больше и какое меньше.

Итак, длина меньшего основания равна 10.

Ключевая идея здесь очень простая: в равнобедренной трапеции диагонали равны. Это одно из основных свойств равнобедренной трапеции, которое часто используют в задачах ОГЭ.

У нас сказано, что трапеция ABCD — равнобедренная, и дана одна диагональ: AC = 12 см. Нужно найти другую диагональ BD.

Так как диагонали равнобедренной трапеции равны, то

BD = AC = 12 см.

Ответ: 12 см.

Почему это работает? В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому фигура имеет ось симметрии. Из-за этой симметрии диагонали оказываются одинаковой длины. Для решения такой задачи не нужны формулы для средних линий или углов — достаточно вспомнить одно свойство.

Типичная ошибка на ОГЭ: некоторые ученики начинают искать диагональ через теорему Пифагора или формулы, хотя для этого нет данных. Если в условии прямо сказано, что трапеция равнобедренная, то обычно самое быстрое решение — применить равенство диагоналей.

Как действовать на экзамене:

1. Определи вид трапеции.
2. Вспомни нужное свойство именно для этого вида.
3. Сразу запиши равенство диагоналей.
4. Подставь известное значение.

Такой подход помогает экономить время и не терять баллы на простых задачах.

Обозначим равнобедренную трапецию ABCD так, что AB и CD — основания, причём AB = 10 см, CD = 18 см, а боковые стороны AD = BC = 5 см. Нужно найти синус острого угла трапеции.

1. Используем свойство равнобедренной трапеции.
Если из концов меньшего основания опустить перпендикуляры на большее основание, то по краям получатся два равных прямоугольных треугольника. Поэтому «лишняя» часть большого основания делится поровну.

Разность оснований:

18 - 10 = 8.

Значит, на каждый из двух боковых треугольников приходится по

8 : 2 = 4 см.

2. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников.
В нём гипотенуза — боковая сторона трапеции, то есть 5 см. Один катет равен 4 см. Второй катет — это высота трапеции.

Найдём высоту по теореме Пифагора:

h² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9,

h = 3.

3. Теперь найдём синус острого угла.
Синус острого угла в получившемся прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = h / 5 = 3 / 5.

Ответ: 3/5.

Почему часто ошибаются:

• берут не половину разности оснований, а всю разность 8 — это неверно;
• путают синус с косинусом: для синуса нужен противолежащий катет, а не прилежащий;
• забывают, что боковая сторона — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике после опускания высоты.

Как быстро решать такие задачи на ОГЭ: сначала найдите половину разности оснований, затем высоту по Пифагору, и только потом запишите синус как высота / боковая сторона.