Системы линейных неравенств: задания с ответами

Решение системы неравенств в одной переменной всегда сводится к одному главному шагу: нужно решить каждое неравенство отдельно, а потом найти их общую часть. Это важно помнить, потому что при системе ответы не складывают и не объединяют — именно пересекают промежутки.

Решим неравенства по очереди:

1) 2x-3<5

Прибавим 3 к обеим частям: 2x<8.

Делим на 2: x<4.

Значит, первое неравенство задаёт промежуток (-∞;4).

2) x+1\ge -2

Вычтем 1 из обеих частей: x\ge -3.

Это промежуток [-3;+∞).

3) 3x\le 12

Делим на 3: x\le 4.

Это промежуток (-∞;4].

Теперь найдём общую часть всех трёх промежутков:

(-∞;4) ∩ [-3;+∞) ∩ (-∞;4] = [-3;4).

Почему правая граница круглая скобка? Потому что в первом неравенстве стоит знак <, а значит число 4 не входит в решение. Почему левая граница квадратная скобка? Потому что x=-3 подходит неравенству x\ge -3.

Ответ: [-3;4).

Частые ошибки на ОГЭ: не заметить, что при делении на отрицательное число знак меняется, перепутать пересечение с объединением или поставить неверную границу в промежутке. Чтобы не потерять балл, после каждого неравенства сразу записывайте его как промежуток и только потом ищите общую часть.

Решение системы неравенств состоит из трёх обязательных шагов: сначала решаем каждое неравенство отдельно, затем находим пересечение полученных множеств и только после этого записываем ответ в нужной форме.

1. Решим первое неравенство: \(3x - 5 < 7\).

Перенесём число \(-5\) вправо:

\(3x < 12\)

Теперь разделим обе части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

\(x < 4\)

Значит, решения первого неравенства — все числа, меньшие 4.

2. Решим второе неравенство: \(2x + 4 \geq 10\).

Перенесём 4 вправо:

\(2x \geq 6\)

Делим обе части на 2. Число 2 положительное, поэтому знак не меняется:

\(x \geq 3\)

Значит, решения второго неравенства — все числа, не меньшие 3.

3. Найдём пересечение решений.

Нужно, чтобы число одновременно удовлетворяло двум условиям:

\(x < 4\) и \(x \geq 3\)

Это означает, что \(x\) лежит от 3 до 4, включая 3, но не включая 4:

\([3; 4)\)

Ответ: \([3; 4)\).

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте пересечение и объединение. В системе нужно искать только общие решения. Ещё одна частая ошибка — забыть, что знак неравенства меняется только при делении или умножении на отрицательное число. Здесь делили на положительные числа, поэтому знак оставался прежним.

Сначала внимательно читаем графическую модель. Заштрихован промежуток от числа −3 до числа 2, значит речь идёт о значениях x, которые лежат между этими числами.

Теперь разбираем границы:

• точка −3 закрашена — это значит, что число −3 входит в решение, поэтому ставим знак ≤;
• точка 2 не закрашена — это значит, что число 2 не входит в решение, поэтому ставим знак <.

Получаем систему:

−3 ≤ x < 2.

Если записывать именно как систему двух неравенств, то это будет:

x ≥ −3 и x < 2.

Это и есть правильный ответ.

Почему так важно смотреть на тип точки? На ОГЭ часто допускают ошибку: путают закрашенную и пустую точку. Запомните правило:

• закрашенная точка — граница входит в ответ, значит нестрогое неравенство (≤ или ≥);
• пустая точка — граница не входит в ответ, значит строгое неравенство (< или >).

Ещё одна типичная ошибка — перепутать направление. Если заштрихован промежуток между двумя точками, нужно записывать две границы одновременно. Если бы была заштрихована область слева или справа от одной точки, тогда было бы одно неравенство.

Чтобы не потерять лёгкие баллы, действуйте по короткому алгоритму:

1. Найдите все границы области.
2. Определите, закрашены ли точки.
3. Поймите, где именно лежит заштрихованная часть: между точками, слева или справа.
4. Запишите неравенства по каждому условию.

Итог: x ≥ −3 и x < 2.

Решим каждое неравенство отдельно, а затем найдём пересечение полученных множеств. Это главный алгоритм для системы неравенств: сначала упрощаем каждое неравенство, потом оставляем только те значения x, которые подходят сразу для обоих.

1) Первое неравенство:

\(2(3x-1)-4x \le 2x+5\)

Раскроем скобки:

\(6x-2-4x \le 2x+5\)

Приведём подобные:

\(2x-2 \le 2x+5\)

Вычтем \(2x\) из обеих частей:

\(-2 \le 5\)

Это верное утверждение, которое выполняется при любом значении \(x\). Значит, первое неравенство не накладывает ограничений.

2) Второе неравенство:

\(7x-3 < 2(3x+4)\)

Раскроем скобки:

\(7x-3 < 6x+8\)

Перенесём \(6x\) влево, а \(-3\) вправо:

\(x < 11\)

Это уже обычное линейное неравенство. Его решения — все числа, меньшие 11.

3) Пересечение решений:

Первое неравенство верно для всех \(x\), второе требует \(x<11\). Значит, множество решений системы:

\((-∞; 11)\)

Ответ: именно этот промежуток.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• Внимательно раскрывайте скобки и следите за знаками.
• Если после упрощения получилось верное равенство/неравенство вроде \(-2 \le 5\), это не ошибка: значит, ограничений нет.
• Если одно из неравенств выполняется при всех \(x\), в системе остаётся только условие из второго неравенства.
• Если в ответе просят множество решений, записывайте его в виде промежутка, а не просто отдельное число.

Частая ошибка: некоторые ученики после получения \(-2 \le 5\) путаются и считают, что решений нет. На самом деле это означает как раз все значения переменной.

Решение системы неравенств состоит в том, чтобы найти все значения переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству сразу. Поэтому сначала решаем каждое неравенство отдельно, а затем находим пересечение полученных множеств решений.

1) Решим первое неравенство:

\(x-2\ge 1\)

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

\(x\ge 3\)

Значит, решения первого неравенства — все числа от 3 и больше.

2) Решим второе неравенство:

\(3x+1<13\)

Вычтем 1 из обеих частей:

\(3x<12\)

Разделим обе части на 3:

\(x<4\)

Значит, решения второго неравенства — все числа меньше 4.

3) Найдём пересечение решений:

Нужно, чтобы число одновременно было и не меньше 3, и меньше 4. Это означает:

\(3\le x<4\)

Следовательно, множество решений системы:

\([3;4)\)

Почему именно так? Для системы важно не объединение, а именно общая часть решений. Если взять только первое неравенство, получится слишком много чисел; если только второе — тоже слишком много. Подходят только те значения, которые проходят оба условия.

Частые ошибки на ОГЭ:

• путают пересечение с объединением;
• ошибочно ставят круглую или квадратную скобку у границы 3 или 4;
• забывают, что при делении на положительное число знак неравенства не меняется.

В этой задаче число 3 входит в ответ, потому что стоит знак \(\ge\). Число 4 не входит, потому что стоит строгий знак \(<\).

Решение системы неравенств всегда строится по одному и тому же правилу: нужно найти общую часть решений всех неравенств, то есть их пересечение.

Рассмотрим неравенства по отдельности:

1) $\frac{x}{2}\le 3$. Умножим обе части на 2. Так как число 2 положительное, знак неравенства не меняется:

$x\le 6$.

2) $x>4$ уже записано в удобном виде.

Теперь ищем числа, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:

$x\le 6$ и $x>4$.

Это означает, что $x$ должно быть больше 4, но не больше 6. Значит, множество решений:

$4<x\le 6$.

Почему это важно для ОГЭ: в системах неравенств нельзя складывать ответы как «или». Нужно брать именно ту часть числовой прямой, где выполняются оба условия сразу. Частая ошибка — указать $x\le 6$ или $x>4$ по отдельности. Это неверно, потому что система требует выполнения всех неравенств одновременно.

Правильный ответ: $4<x\le 6$.

Решим каждое неравенство отдельно и найдём их общую часть — именно она и будет множеством допустимых значений переменной.

1) 2x - 1 ≥ 5. Переносим число -1 вправо: 2x ≥ 6. Делим обе части на 2: x ≥ 3.

2) x + 3 < 8. Вычитаем 3 из обеих частей: x < 5.

Теперь объединяем условия системы: нужно, чтобы x ≥ 3 и одновременно x < 5. Значит, допустимые точки лежат на промежутке [3; 5).

Это важный приём для ОГЭ: в системе неравенств подходят только те значения, которые удовлетворяют обоим условиям сразу. Если точка не попадает хотя бы в одно неравенство, она не является допустимой.

Проверим предложенную точку из неверного варианта: она не лежит на промежутке [3; 5), значит, ответ выбран правильно.

Частые ошибки: путать знак ≥ со знаком >, забывать, что в системе нужно пересечение, а не объединение, и неправильно менять знак неравенства при делении на отрицательное число (здесь такого деления нет, но на экзамене это типичная ловушка).

Как быстро проверять себя: после решения каждого неравенства мысленно представляйте промежуток на прямой и ищите общую часть. Это помогает не терять лёгкие баллы.

Решаем систему по шагам: сначала каждое неравенство отдельно, потом находим пересечение полученных множеств решений. Это главный принцип для систем неравенств: подходят только те значения, которые удовлетворяют всем неравенствам сразу.

1) Решим первое неравенство:

$2x-3\ge x+1$

Перенесём $x$ влево, числа вправо:

$2x-x\ge 1+3$

$x\ge 4$

Значит, решение первого неравенства: $[4;+\infty )$.

2) Решим второе неравенство:

$5-3x>2-x$

Перенесём члены с $x$ влево, числа вправо:

$-3x+x>2-5$

$-2x>-3$

Теперь делим на $-2$. Важно: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x<\frac{3}{2}$

Значит, решение второго неравенства: $(-\infty ;\frac{3}{2})$.

3) Найдём пересечение решений:

Первое неравенство даёт $[4;+\infty )$, а второе — $(-\infty ;\frac{3}{2})$.

Но числа, которые одновременно $\ge 4$ и $<\frac{3}{2}$, не существуют. Значит, система не имеет решений.

Ответ: пустое множество, его обычно записывают как $\varnothing$.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала решайте каждое неравенство отдельно;
• не путайте пересечение и объединение: в системе нужен именно общий участок;
• не забывайте менять знак неравенства при делении на отрицательное число;
• если промежутки не пересекаются, ответ — $\varnothing$, а не один из промежутков.

Сначала решим каждое неравенство отдельно. Это важный шаг: в заданиях на системы линейных неравенств часто спрашивают не только ответ для всей системы, но и умение правильно перевести каждое неравенство в промежуток на числовой прямой.

1) Решим первое неравенство:

$2x+1<7$

Вычтем 1 из обеих частей:

$2x<6$

Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x<3$

Значит, решения первого неравенства — это все числа меньше 3, то есть промежуток (-∞; 3). Так как знак строгий (<), точка 3 не входит в решение.

2) Решим второе неравенство:

$x\ge -3$

Это уже записано в готовом виде. Решение: все числа, не меньшие -3, то есть промежуток [-3; +∞).

Здесь знак нестрогий (≥), поэтому точка -3 входит в решение. На числовой прямой это отмечают закрашенной точкой.

3) Что нужно выбрать в ответе?

Нужно найти вариант, где для первого неравенства указан промежуток (-∞; 3), а для второго — [-3; +∞).

Почему другие варианты обычно неверны?

• Если точку 3 включили, значит перепутали строгий знак < с нестрогим.
• Если для x ≥ -3 указали (-3; +∞), значит ошибочно не включили граничную точку.
• Если луч направлен не туда, значит перепутали смысл знака: при x < 3 решения лежат слева от 3, а при x ≥ -3 — справа от -3.

Ответ: вариант, где указано (-∞; 3) и [-3; +∞).

Как не потерять баллы на ОГЭ:

1. Сначала упростите неравенство до вида x < a, x ≤ a, x > a или x ≥ a.
2. Всегда проверяйте, строгий знак или нестрогий: это определяет, закрашивать точку или нет.
3. Помните направление луча: для < и ≤ — влево, для > и ≥ — вправо.
4. Если в ответе спрашивают систему, иногда нужно не только записать каждый промежуток, но и подумать об пересечении. В этой задаче, однако, требуется именно сопоставить решения каждого неравенства по отдельности.

Рассмотрим систему из двух неравенств по отдельности:

1) x ≥ -2 — это значит, что подходят все числа, которые не меньше числа -2. Точка -2 входит в решение, поэтому на числовой прямой она отмечается закрашенной точкой, а все числа правее неё подходят.

2) x < 3 — это значит, что подходят все числа, которые меньше 3. Точка 3 не входит в решение, поэтому она отмечается пустой точкой, а все числа левее неё подходят.

Теперь нужно найти общие значения, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это пересечение двух множеств:

• из первого неравенства: x ≥ -2;
• из второго неравенства: x < 3.

Значит, искомые числа лежат между -2 и 3, причём -2 входит, а 3 не входит. Получаем промежуток [-2; 3).

Почему это важно для ОГЭ: в задачах на системы неравенств надо не выбирать «всё, что подходит хотя бы одному условию», а искать именно те значения, которые подходят сразу всем неравенствам. Это частая ошибка.

Как не ошибиться:

1. Сначала отдельно прочитайте каждый знак: <, >, ≤, ≥.
2. Поймите, включается ли граница: при ≤ и ≥ точка входит, при < и > — не входит.
3. Потом найдите общую часть решений. Для двух неравенств это обычно пересечение промежутков.

Верный ответ: [-2; 3).

Решим систему по шагам.

У нас два неравенства:

x > -2 — это значит, что подходят все числа, которые больше -2.

x < 5 — это значит, что подходят все числа, которые меньше 5.

Чтобы число подходило всей системе, оно должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Значит, нужно взять пересечение этих множеств решений:

-2 < x < 5.

Теперь проверим варианты ответа:

• -2 не подходит, потому что неравенство строгое: нужно больше -2, а не равно ему.
• 0 подходит, потому что 0 > -2 и 0 < 5.
• 5 не подходит, потому что нужно меньше 5, а не равно 5.
• 6 не подходит, потому что оно больше 5.

Значит, верный ответ — 0.

Как не ошибиться на ОГЭ: всегда проверяйте оба неравенства. Частая ошибка — выбрать число, которое подходит только одному условию. Ещё одна типичная ошибка — взять границу при строгих знаках > и <. Границы в этом случае не входят в решение.

Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений каждого неравенства, то есть нужно найти все значения x, которые подходят одновременно обоим условиям.

Рассмотрим неравенства по отдельности:

1) \(x \ge -2\) — все числа, которые не меньше \(-2\). Это промежуток \([ -2; +\infty )\).

2) \(x < 3\) — все числа, которые меньше 3. Это промежуток \(( -\infty; 3 )\).

Теперь ищем общую часть этих промежутков. Числа должны быть и не меньше \(-2\), и меньше \(3\). Значит, подходят все числа от \(-2\) до \(3\), причём \(-2\) входит, а \(3\) не входит.

Ответ: \([ -2; 3 )\).

Почему именно так: знак \(\ge\) даёт квадратную скобку слева, потому что граница включается, а знак \(<\) даёт круглую скобку справа, потому что граница не включается.

Частые ошибки:

• путать пересечение с объединением и писать слишком широкий промежуток;
• забывать, что при строгом неравенстве граница не входит;
• ошибаться в скобках у концов промежутка.

На ОГЭ удобно сначала мысленно или на числовой прямой отметить каждый промежуток отдельно, а затем взять их общую часть. Это помогает быстро и без ошибок записать ответ.