Сумма членов арифметической прогрессии: задания с ответами

Используем стандартный алгоритм для задач на сумму арифметической прогрессии.

1. Сначала найдём первый член прогрессии. Если известен a_k, то первый член можно восстановить по формуле:

a₁ = a_k - (k - 1)d.

В нашей задаче a₃ = 7, d = 2, значит

a₁ = 7 - (3 - 1)·2 = 7 - 4 = 3.

2. Теперь найдём сумму первых пяти членов. Для этого подходит формула:

S_n = n(2a₁ + (n - 1)d)/2.

Подставим n = 5, a₁ = 3, d = 2:

S₅ = 5(2·3 + (5 - 1)·2)/2 = 5(6 + 8)/2 = 5·14/2 = 35.

Ответ: 35.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают номер известного члена с количеством членов, которые надо сложить. Здесь a₃ — это не сумма первых трёх членов, а просто третий член прогрессии. Сначала обязательно восстановите a₁, и только потом подставляйте его в формулу суммы. Ещё одна частая ошибка — забыть скобки в выражении (k - 1)d или (n - 1)d.

Для нахождения суммы арифметической прогрессии удобно использовать формулу через первый и последний члены:

S_n = n · (a₁ + a_n) / 2.

Здесь нам уже даны все нужные данные: n = 12, a₁ = −3, a_n = 21.

Подставим значения в формулу:

S₁₂ = 12 · (−3 + 21) / 2.

Сначала вычислим сумму крайних членов:

−3 + 21 = 18.

Тогда

S₁₂ = 12 · 18 / 2.

Сократим 12 на 2:

S₁₂ = 6 · 18 = 108.

Ответ: 108.

Почему этот способ удобен? Когда известны первый и последний члены, не нужно искать разность прогрессии и выписывать все члены. Формула сразу даёт сумму.

Частые ошибки:

• забывают разделить на 2;
• складывают не первый и последний члены, а какие-то соседние;
• подставляют неправильное значение n;
• путают формулу суммы с формулой a_n = a₁ + (n−1)d.

На ОГЭ полезно сначала аккуратно выписать формулу, потом отдельно найти сумму крайних членов и только после этого считать. Так меньше шансов ошибиться в вычислениях.

Используем стандартные формулы для арифметической прогрессии.

1) Сначала найдём первый член a₁. По формуле a_n = a₁ + (n − 1)d для второго члена получаем:

a₂ = a₁ + d.

Подставим известные данные: 7 = a₁ + 3, значит a₁ = 4.

2) Теперь найдём пятый член:

a₅ = a₁ + 4d = 4 + 4·3 = 16.

3) Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n)·n / 2.

Тогда

S₅ = (4 + 16)·5 / 2 = 20·5 / 2 = 50.

Ответ: 50.

Важно помнить: в формуле суммы нужно брать именно первый и последний из складываемых членов, а не любой известный член прогрессии. Частая ошибка — подставить вместо a₁ значение a₂ или забыть, что при поиске a₅ нужно прибавить разность четыре раза.

Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии удобно использовать формулу через первый и последний члены:

S_n = n · (a₁ + a_n) / 2.

Здесь уже известны все нужные данные: n = 12, a₁ = 3, a₁₂ = 27. Подставляем их в формулу:

S₁₂ = 12 · (3 + 27) / 2.

Сначала складываем крайние члены: 3 + 27 = 30. Затем делим на 2: 30 / 2 = 15. Теперь умножаем на число членов: 12 · 15 = 180.

Ответ: 180.

Почему именно так? В арифметической прогрессии сумма крайних членов каждой пары одинаковая, поэтому вся сумма равна произведению числа пар на сумму одной пары. Это и даёт формулу S_n = n · (a₁ + a_n) / 2.

Частые ошибки на ОГЭ:

• путают формулу суммы с формулой n-го члена;
• забывают деление на 2;
• ошибочно умножают на 11 вместо 12, считая только промежутки, а не число членов;
• складывают не первый и последний члены, а какие-то соседние числа из прогрессии.

Чтобы не потерять лёгкие баллы, всегда проверяйте три вещи: сколько членов дано, какой первый член и какой последний член нужно подставить. Если они известны, формула через крайние члены — самый быстрый способ решения.

Решим задачу по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = n(2a₁ + (n - 1)d) / 2, где a₁ — первый член, d — разность, n — количество членов.

По условию: a₁ = 3, d = 4, n = 8.

Подставим данные в формулу:

S₈ = 8(2·3 + (8 - 1)·4) / 2.

Сначала аккуратно вычислим выражение в скобках:

2·3 = 6, (8 - 1)·4 = 7·4 = 28, значит 6 + 28 = 34.

Тогда

S₈ = 8·34 / 2 = 4·34 = 136.

Ответ: 136.

Полезно помнить: в задачах на сумму арифметической прогрессии часто ошибаются в двух местах — неверно считают количество членов и путают разность с первым членом. Чтобы не потерять балл, сначала выпишите a₁, d и n, а потом подставьте их в формулу без лишних преобразований. Если числа небольшие, можно ещё проверить ответ, сложив несколько первых и последних членов попарно: в арифметической прогрессии такие пары дают одинаковую сумму.

Здесь важно заметить, что дано 7 членов арифметической прогрессии, а это нечётное количество. При нечётном количестве членов есть очень удобное свойство: сумма равна произведению количества членов на средний член.

Для 7 членов средний член — это 4-й. В условии сказано, что он равен 14. Тогда сумма первых 7 членов равна:

S₇ = 7 · 14 = 98.

Заметим, что в условии уже указано, что сумма первых 7 членов равна 98, поэтому ответ совпадает с этим числом. Это не случайность: для нечётного числа членов сумма действительно выражается через центральный член.

Как рассуждать на ОГЭ:

1. Определи, сколько членов в сумме. Если число нечётное, ищи средний член.
2. Найди номер среднего члена: для 7 членов это 4-й, для 9 членов — 5-й и т. д.
3. Умножь значение среднего члена на количество членов.

Частые ошибки:

• путать средний член с первым или последним;
• пытаться обязательно находить разность прогрессии, хотя она здесь не нужна;
• использовать формулу суммы без понимания, что можно решить быстрее через средний член.

Итак, правильный ответ: 98.

Здесь дана арифметическая прогрессия, потому что каждый следующий день сумма увеличивалась на одно и то же число: 11−8=3, 14−11=3, 17−14=3 и т. д. Но в этой задаче нам даже не нужно находить разность отдельно — важно уметь находить сумму нескольких членов прогрессии.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

S_n = n(a₁ + a_n) / 2,

где n — число членов, a₁ — первый член, a_n — последний член.

В нашей задаче:

• n = 6,
• a₁ = 8,
• a₆ = 23.

Подставляем в формулу:

S₆ = 6 · (8 + 23) / 2 = 6 · 31 / 2 = 93.

Ответ: 93 тыс. руб.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте сумму членов с разностью прогрессии;
• в формуле обязательно берите первый и последний члены;
• если сумма дана в тысячах рублей, то и ответ должен быть в тех же единицах;
• полезно быстро проверять: для арифметической прогрессии сумма равна числу членов, умноженному на среднее арифметическое первого и последнего членов.

Здесь среднее значение: (8+23)/2 = 15,5, а 15,5·6 = 93. Это удобная проверка ответа.

Здесь дана арифметическая прогрессия: каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число. В нашей последовательности первый член a₁ = 5, разность d = 3, а нужно найти сумму первых n = 8 членов.

Для суммы первых n членов арифметической прогрессии удобно использовать формулу:

S_n = n(2a₁ + (n - 1)d) / 2.

Подставим наши данные:

S₈ = 8(2·5 + (8 - 1)·3) / 2.

Сначала вычислим выражение в скобках:

2·5 = 10,
(8 - 1)·3 = 7·3 = 21,
тогда 10 + 21 = 31.

Теперь найдём сумму:

S₈ = 8·31 / 2 = 4·31 = 124.

Ответ: 124.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала обязательно определите первый член, разность и количество членов. Частая ошибка — перепутать число членов прогрессии с её последним членом или неверно посчитать разность. Ещё одна типичная ошибка — сложить все числа по отдельности, хотя формула позволяет сделать это быстрее и надёжнее. Если видите последовательность с постоянной разностью, сразу вспоминайте формулу суммы и подставляйте значения аккуратно.

Используем стандартный алгоритм для задач на арифметическую прогрессию.

1. Найдём разность прогрессии. По формуле общего члена:

a_k = a₁ + (k - 1)d.

Запишем для двух известных членов:

a₃ = a₁ + 2d = 7,

a₈ = a₁ + 7d = 22.

Вычтем первое уравнение из второго:

5d = 15, значит d = 3.

2. Найдём первый член. Подставим d = 3 в уравнение для a₃:

a₁ + 2 · 3 = 7, значит a₁ = 1.

3. Найдём сумму первых 10 членов. Используем формулу:

S_n = n/2 · (2a₁ + (n - 1)d).

Тогда

S₁₀ = 10/2 · (2 · 1 + 9 · 3) = 5 · (2 + 27) = 5 · 29 = 145.

Ответ: 145.

Как не ошибиться на ОГЭ: 1) не путайте номер члена с количеством слагаемых; 2) при нахождении разности обязательно делите разность значений на разность номеров; 3) после нахождения d лучше сразу проверить первый член по одному из данных членов; 4) в формуле суммы следите, чтобы в скобках было именно 2a₁ + (n - 1)d, а не 2a₁ + nd.

Речь идёт об арифметической прогрессии: дневные объёмы выпуска образуют последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число.

Для суммы первых n членов арифметической прогрессии используется формула:

S = n · (a₁ + a_n) / 2,

где S — сумма всех членов, a₁ — первый член, a_n — последний член, n — количество членов.

В задаче даны:

• S = 840,
• a₁ = 18,
• a_n = 42.

Подставим в формулу:

840 = n · (18 + 42) / 2

Сначала найдём сумму первого и последнего членов:

18 + 42 = 60.

Тогда:

840 = n · 60 / 2

840 = 30n

Теперь найдём n:

n = 840 / 30 = 28.

Ответ: 28.

Почему это правильный способ? В арифметической прогрессии удобно использовать именно формулу суммы через первый и последний члены, когда они известны. Не нужно находить разность прогрессии, если вопрос только о количестве дней.

Частые ошибки на ОГЭ:

• путают сумму всех членов с произведением первого и последнего;
• забывают делить на 2 в формуле;
• подставляют вместо количества дней разность прогрессии;
• не проверяют, что ответ должен быть натуральным числом.

Полезный приём на экзамене: если известны сумма всей последовательности, первый и последний члены, сразу ищите количество членов по формуле S = n(a₁ + a_n)/2. Это быстрый и надёжный путь к ответу.

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = n/2 · (2a₁ + (n − 1)d).

Здесь дано: a₁ = 3, d = 2, n = 8. Подставим значения:

S₈ = 8/2 · (2·3 + (8 − 1)·2).

Сначала считаем по действиям внутри скобок: 2·3 = 6, а (8 − 1)·2 = 7·2 = 14. Тогда

S₈ = 4 · (6 + 14) = 4 · 20 = 80.

Ответ: 80.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте формулу суммы с формулой n-го члена. Для суммы обязательно нужен множитель n/2. Частая ошибка — забыть деление на 2 или вместо суммы найти только последний член прогрессии. Ещё важно аккуратно подставлять n в выражение (n − 1)d: сначала вычесть 1, потом умножить на разность.

Полезная проверка: при положительной разности члены прогрессии растут, значит сумма 8 первых членов должна быть заметно больше 8·3 = 24. Полученный ответ 80 выглядит разумно.

Здесь сказано, что длины звеньев ломаной образуют арифметическую прогрессию. Это значит, что все длины можно складывать по формуле суммы арифметической прогрессии.

Дано:

• первый член прогрессии a₁ = 4;
• разность d = 3;
• число звеньев n = 8.

Сначала найдём последний член прогрессии:

a₈ = a₁ + (n - 1)d = 4 + 7·3 = 25.

Теперь используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n)·n / 2.

Подставим значения:

S₈ = (4 + 25)·8 / 2 = 29·4 = 116.

Ответ: 116.

Важно не ошибиться в двух местах: во-первых, не забыть, что последнее звено нужно сначала найти; во-вторых, не перепутать формулу суммы с формулой n-го члена. В ОГЭ такие задания удобны тем, что если заметить арифметическую прогрессию, решение получается быстро и без лишних вычислений.