Размеры листов и разрезание: задания с ответами

В таких задачах главное — не перепутать, что именно уменьшается в 2 раза. Здесь речь идёт о площади: каждый следующий формат получается разрезанием листа пополам, значит площадь каждого нового листа становится в 2 раза меньше предыдущей.

Пойдём по шагам:

1. Найдём, сколько раз нужно делить площадь на 2.
От формата A0 до A4: A1, A2, A3, A4 — это 4 перехода. Значит, площадь нужно разделить на 2 четыре раза.

2. Запишем вычисление.
Площадь A0 равна 32 м².
A1: 32 : 2 = 16 м²
A2: 16 : 2 = 8 м²
A3: 8 : 2 = 4 м²
A4: 4 : 2 = 2 м²

3. Ответ.
Площадь листа формата A4 равна 2 квадратным метрам.

Какой тип ошибки встречается чаще всего?

1) Путают площадь и длину сторон. При разрезании пополам площадь уменьшается в 2 раза, а не “на 2 см” и не в 2 раза по сторонам одновременно.
2) Ошибаются в количестве шагов. От A0 до A4 именно 4 деления пополам.
3) Забывают, что в ответе нужно указать число без единиц измерения, если это требуется форматом задания.

Полезное правило для ОГЭ: если формат бумаги меняется с An на An+1, площадь делится на 2. Поэтому от A0 до A4 площадь уменьшается в 2⁴ = 16 раз.

При разрезании листа пополам количество листов каждый раз удваивается. Это и есть главный смысл таких задач: не нужно запоминать размеры в сантиметрах, достаточно понять, сколько раз происходит деление пополам.

Разберём задачу по шагам.

1) От формата A3 до формата A4 — один шаг разрезания. Был один лист, стало 2 листа.

2) От A4 до A5 — ещё один шаг. Теперь листов станет 4, потому что 2 × 2 = 4.

3) От A5 до A6 — ещё один шаг. Тогда получаем 8 листов: 4 × 2 = 8.

Можно записать это короче с помощью степени числа 2: если нужно сделать 3 разрезания, то получится 2³ = 8 листов.

Ответ: 8.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не складывайте числа листов, а умножайте на 2 после каждого разрезания;
• сначала посчитайте, сколько шагов от одного формата до другого;
• если шагов несколько, удобно сразу использовать формулу 2ⁿ, где n — число разрезаний.

В этой задаче часто ошибаются, если путают количество разрезаний и количество получившихся листов. Например, после 3 разрезаний не 3 и не 6 листов, а 8, потому что каждый раз число листов удваивается.

Разберём задачу по шагам.

При каждом разрезании листа пополам количество листов удваивается. Это главное правило: один лист превращается в 2, затем 2 — в 4, затем 4 — в 8 и так далее.

Нужно понять, сколько раз надо разрезать лист формата A3, чтобы получить формат A5. Переход от A3 к A4 — это одно разрезание пополам, а от A4 к A5 — ещё одно разрезание. Значит, всего разрезаний 2.

Теперь считаем количество листов:

• из 1 листа A3 получаем 2 листа A4;
• каждый лист A4 разрезаем ещё пополам, значит 2 × 2 = 4 листа A5.

Итак, получится 4 листа формата A5.

Почему именно так? Потому что последовательное деление пополам — это не прибавление, а умножение на 2 на каждом шаге. Частая ошибка на ОГЭ — посчитать 1 + 2 = 3 или забыть, что нужен именно переход через два шага.

Полезный приём для экзамена: если нужно перейти на несколько форматов ниже, удобно помнить формулу 2^k, где k — число разрезаний. Здесь k = 2, значит 2^2 = 4.

В задачах на форматы бумаги главное помнить очень простое правило: при каждом разрезании пополам количество листов удваивается.

Рассмотрим последовательность форматов от A₃ до A₆:

• из A₃ получаем A₄ — это 1 разрезание;
• из A₄ получаем A₅ — это ещё 1 разрезание;
• из A₅ получаем A₆ — это ещё 1 разрезание.

Всего нужно 3 шага разрезания. На каждом шаге число листов умножается на 2:

1 → 2 → 4 → 8.

Значит, из одного листа A₃ получится 8 листов A₆.

Ответ: 8.

Полезно запомнить короткий способ: если формат увеличивается на n шагов, то количество листов равно 2ⁿ. В этой задаче разница между A₃ и A₆ равна 3, значит ответ: 2³ = 8.

Частая ошибка: некоторые ученики считают не количество шагов, а называют просто номера форматов. Это неверно. Нужно считать именно, сколько раз лист делится пополам. Ещё одна ошибка — забыть, что при разрезании увеличивается число всех листов, а не только одного.

Рассмотрим, что происходит при каждом разрезании.

Если лист разрезают пополам, то из одного листа получается 2 листа меньшего формата. Значит, число листов на каждом шаге удваивается.

В задаче нужно перейти от формата A3 к формату A6. Это означает три последовательных шага:

• A3 → A4: станет 2 листа;
• A4 → A5: станет 4 листа;
• A5 → A6: станет 8 листов.

Но здесь важно не ошибиться: если считать переходы только как разницу индексов, то A3 до A6 — это 3 шага, а значит число листов равно 2³ только если на каждом шаге исходный набор листов тоже разрезается целиком. Однако в формате бумаги A3 → A4 → A5 → A6 каждый шаг удваивает количество листов, поэтому:

2 · 2 · 2 = 8.

Следовательно, получится 8 листов формата A6.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Определите, на сколько шагов нужно спуститься по форматам.
2. Вспомните правило: при каждом разрезании число листов удваивается.
3. Умножьте 2 на себя столько раз, сколько было переходов.

Частые ошибки:

• считать только количество переходов и забыть про удвоение;
• путать, какой формат больше, а какой меньше;
• думать, что листов станет в 2 раза больше только один раз, а не на каждом шаге.

Правильный ответ: 8.

Серия A устроена так, что каждый следующий формат получается разрезанием предыдущего листа пополам. Поэтому при увеличении номера формата размеры листа уменьшаются: A1 больше, чем A2, A2 больше, чем A3, и так далее.

Нужно сопоставить форматы с размерами:

• A1 — самый большой из перечисленных листов, значит это 594 × 841, то есть строка 2.
• A2 — следующий по размеру после A1, значит это 420 × 594, то есть строка 4.
• A3 — меньше A2, значит это 297 × 420, то есть строка 1.
• A4 — самый маленький из данных листов, значит это 210 × 297, то есть строка 3.

Теперь записываем ответы в порядке возрастания номеров форматов: A1, A2, A3, A4. Получаем последовательность 2134.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — перепутать, что у большего номера формата лист меньше. Ещё одна ошибка — смотреть только на одно число, например на длину, и забывать про ширину. Правильно сравнивать пару размеров целиком или помнить порядок уменьшения форматов серии A.

Ответ: 2134.

Разберём задачу по шагам.

При каждом разрезании листа пополам количество листов удваивается. Это главный факт в задачах на форматы бумаги: один лист превращается в 2, затем в 4, затем в 8 и так далее.

Здесь нужно получить листы A5 из листа A3. Переход от A3 к A5 — это два шага:

• A3 → A4 — после первого разрезания получается 2 листа;
• A4 → A5 — после второго разрезания каждый из этих 2 листов снова делится пополам, получается 4 листа.

Можно записать это и через степень двойки: количество листов равно 2² = 4, потому что разрезание выполняется 2 раза.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не складывайте номера форматов, а считайте число переходов между ними;
• не забывайте, что каждый шаг даёт удвоение, а не прибавление 1;
• если формат изменяется на 2 уровня, ответ всегда будет 2², если на 3 уровня — 2³ и т. д.

Такой способ помогает быстро решать типовые задания и не терять лёгкие баллы.

Нужно найти отношение меньшей стороны к большей для листа формата A6. Это типичная задача на пропорции: у подобных прямоугольников отношение сторон постоянно.

Для A6 размеры равны 105 мм и 148 мм. Сначала определяем, какая сторона меньшая, а какая большая:

• меньшая сторона — 105 мм;
• большая сторона — 148 мм.

Теперь находим отношение:

105 / 148 ≈ 0,709...

Округляем до десятых: 0,7.

Почему именно так? В задачах на форматы бумаги часто просят не сами размеры, а именно отношение сторон. Если перепутать порядок и разделить большую сторону на меньшую, получится число больше 1, а по условию нужно отношение меньшей стороны к большей, то есть число меньше 1.

Частые ошибки:

• путают, что нужно делить: правильно меньшая / большая;
• берут не тот формат из таблицы;
• забывают округлить до десятых;
• не проверяют, что ответ должен быть меньше 1.

Итак, правильный ответ: 0,7.

В таких задачах главное правило очень простое: при каждом разрезании пополам количество листов удваивается.

Разберём последовательность форматов:

• из A2 получаем A3 — это 2 листа;
• из каждого листа A3 получаем по 2 листа A4, значит всего 4 листа A4;
• из каждого листа A4 получаем по 2 листа A5, значит всего 8 листов A5;
• из каждого листа A5 получаем по 2 листа A6, значит всего 16 листов A6.

Можно было считать и короче: от A2 до A6 — 4 шага разрезания, значит нужно умножить на 2 четыре раза: 2⁴ = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ОГЭ: не перепутайте количество шагов и количество листов. Если формат уменьшается на несколько ступеней, то каждый шаг даёт удвоение. Иногда ученики ошибочно считают, что нужно просто прибавить номера форматов или что листов станет в 4 раза больше. На самом деле работает именно правило степеней двойки: число листов = 2ⁿ, где n — сколько раз лист разрезали пополам.

Здесь используется важная идея: если листы подобны, то отношение их сторон одинаково для всех форматов. Значит, нам не нужно сравнивать все строки таблицы — достаточно взять любой один лист и найти отношение меньшей стороны к большей.

Возьмём, например, формат 21 × 30. Меньшая сторона — 21 см, большая — 30 см. Тогда искомое отношение равно

21 / 30 = 0,7.

Теперь проверим, нужно ли округление. В условии сказано: округлите до десятых. Число 0,7 уже записано до десятых, так что ответ не меняется.

Ответ: 0,7.

Как действовать на ОГЭ:

1. Сначала определите, какая сторона меньшая, а какая большая.
2. Запишите именно отношение меньшей к большей, то есть дробь вида меньшая / большая.
3. Если в таблице несколько подобных листов, можно брать любой формат — отношение будет одинаковым.
4. Не забудьте про округление, если оно требуется в условии.

Частая ошибка: ученики иногда находят наоборот 30 / 21. Это уже отношение большей стороны к меньшей, а в задаче просят обратное. В таких заданиях всегда внимательно читайте, какое именно отношение требуется.

Нужно найти отношение меньшей стороны к большей. Это значит, что мы делим меньшую сторону на большую:

176 : 250 = 176 / 250.

Выполним деление:

176 / 250 = 0,704.

В задачах ОГЭ, если в ответах или в условии ожидается округление, обычно значение записывают с точностью до сотых. Тогда получаем:

0,704 ≈ 0,70.

Значит, правильный ответ — 0,70.

Почему важно именно так считать? Вопрос просит отношение меньшей стороны к большей, то есть дробь должна быть меньше 1. Если случайно разделить большую сторону на меньшую, получится число больше 1, и это уже будет неверное отношение для данной формулировки.

Частые ошибки:

• путают порядок и считают 250 / 176 вместо 176 / 250;
• забывают округлить до нужного вида;
• выбирают вариант, который выглядит «похожим», не проверяя, что он меньше 1.

Как быстро проверять себя на экзамене: если вы ищете отношение меньшей стороны к большей, ответ должен быть меньше 1. Это простая проверка, которая помогает не потерять балл из-за невнимательности.

Поскольку все листы одного семейства подобны, у них сохраняется одно и то же отношение большей стороны к меньшей. Это главное свойство таких задач: не нужно искать новые размеры всех листов, достаточно взять любой известный формат.

Для формата Q3 большая сторона равна 594 мм, меньшая — 420 мм. Ищем отношение:

594 : 420 или 594 / 420.

Вычислим:

594 / 420 = 1.414285...

По условию нужно округлить до десятых. Число 1.414... округляется до 1.4.

Ответ: 1,4.

Как действовать на ОГЭ:

• сначала найдите большую и меньшую сторону;
• затем разделите большую на меньшую;
• не перепутайте направление деления: если разделить меньшую на большую, получится число меньше 1, а в ответе нужно отношение большей стороны к меньшей;
• после вычисления обязательно округлите так, как сказано в условии.

Частая ошибка: ученики иногда считают не отношение сторон, а пытаются использовать правило разрезания. Но здесь разрезание нужно только для понимания, что форматы подобны и отношение сторон у них одинаковое.