Отрезки и углы — доказательства: задания с ответами

Разберём задачу по шагам. Здесь нужно использовать два базовых факта:

1. Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
2. Расстояние между параллельными прямыми одинаково в любой точке и равно высоте, опущенной из одной прямой на другую.

Сначала посмотрим на биссектрису угла ∠A. Точка M лежит на биссектрисе, значит, она равноудалена от сторон угла AB и AD. То есть расстояние от M до прямой AB равно расстоянию от M до прямой AD.

Далее используем то, что в параллелограмме AB ∥ CD и AD ∥ BC. Так как точка M лежит на стороне CD, а прямая CD параллельна AB, расстояние от M до прямой AB как раз является высотой параллелограмма к стороне AB. Почему? Потому что высота — это перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми AB и CD, а любая точка на CD находится на одном и том же расстоянии от AB.

По условию это расстояние равно 7 см. Значит, высота параллелограмма, опущенная на сторону AB, тоже равна 7 см.

Ответ: 7 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте расстояние от точки до прямой с длиной отрезка по стороне фигуры.
• Если точка лежит на биссектрисе, сразу вспоминайте: она равноудалена от сторон угла.
• Если речь о двух параллельных сторонах параллелограмма, то расстояние между ними — это высота.

В таких задачах часто не нужно строить сложные вычисления: достаточно правильно увидеть связь между биссектрисой, параллельностью и высотой.

Решим задачу по шагам и покажем, как использовать параллельность и середину стороны.

Шаг 1. Поймём, какие треугольники удобно рассматривать. Так как точка M — середина стороны BC, нам нужно сравнивать отрезки в фигуре, где участвуют точки A, B, C и прямая через M, параллельная AD. В параллелограмме AD ∥ BC, значит, если через M проведена прямая, параллельная AD, то она также параллельна BC.

Шаг 2. Используем свойства параллельных прямых. Поскольку MN ∥ AD и AD ∥ BC, то MN ∥ BC. Отсюда углы, образованные диагональю AC с прямыми MN и BC, равны как соответствующие или накрест лежащие.

Шаг 3. Найдём нужный угол. В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°. Если ∠DAB = 120°, то угол при вершине B равен 60°, то есть ∠ABC = 60°. Так как MN ∥ BC, то угол между AM и MN равен углу между AM и BC, а в этой конфигурации он равен 60°.

Шаг 4. Проверим утверждение о биссектрисе. Чтобы прямая была биссектрисой угла ∠AMC, она должна делить этот угол на два равных угла. Но в условии нигде не получено равенство двух частей угла ∠AMC; мы нашли только, что ∠AMN = 60°. Значит, утверждение 1) неверно, а утверждение 2) верно.

Ответ: только 2.

Почему это типичная задача ОГЭ? Здесь важно не спешить с выводом про биссектрису. Частая ошибка — увидеть середину стороны и параллельную прямую и сразу назвать её биссектрисой. Но для биссектрисы нужно доказать именно равенство двух углов, а не просто наличие параллельных прямых. В таких задачах сначала аккуратно используйте свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны, соседние углы в сумме дают 180°, а затем ищите равные углы при параллельных прямых.

Решение здесь строится на двух главных идеях: параллельные прямые дают равные углы, а из равных углов можно получить подобие треугольников. После этого нужно просто аккуратно записать пропорцию соответствующих сторон.

1. Доказательство подобия

Рассмотрим треугольники AED и CEB.

Так как AD ∥ BC, а прямая AC является секущей, то углы ∠DAE и ∠ECB равны как накрест лежащие (или соответствующие) углы при параллельных прямых.

Аналогично, так как отрезки DE и BE лежат на одной прямой DB, а AD ∥ BC, то углы ∠ADE и ∠CBE равны.

Получили две пары равных углов, значит, ΔAED ∼ ΔCEB по признаку подобия треугольников по двум углам.

2. Нахождение отрезка DE

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Здесь стороне AD соответствует CB, а стороне DE соответствует BE. Поэтому

DE / BE = AD / BC.

Подставим известные значения:

DE / 4 = 18 / 6 = 3.

Тогда

DE = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала обязательно укажите, почему углы равны: из-за параллельности оснований трапеции.
• Не перепутайте соответствующие стороны в подобии. Удобно сначала подписать, какой угол с каким равен, а потом уже составлять пропорцию.
• Если получилась дробь, проверьте, не перепутали ли вы местами отношение сторон. В подобных задачах ответ часто получается целым числом, если данные подобраны аккуратно.

Запомните общий алгоритм: параллельность → равные углы → подобие → пропорция → ответ. Это типовой путь для задач ОГЭ на трапецию с диагональю.

Решим задачу по шагам. Здесь важно не торопиться: сначала доказать геометрический факт, а уже потом использовать число.

1. Почему точка K — середина стороны CD?

Рассмотрим параллелограмм ABCD. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Точка K лежит на стороне CD, а отрезки AK и BK — биссектрисы углов ∠A и ∠B. Это означает:

• ∠DAK = ∠KAB,
• ∠ABK = ∠KBC.

Теперь используем параллельность сторон параллелограмма. Так как AB ∥ CD, а точка K лежит на CD, то прямая CK лежит на той же прямой, что и CD. Поэтому угол между AK и CD можно сравнивать с углом между AK и AB.

Из свойства биссектрисы и параллельности получается, что треугольники, в которые входят эти углы, оказываются равными по соответствующим углам. Отсюда следует равенство отрезков CK и KD. Значит, точка K делит сторону CD пополам, то есть является её серединой.

Что важно понимать для ОГЭ: в таких задачах чаще всего используют не длинные вычисления, а свойства углов в параллелограмме и биссектрис. Если точка пересечения биссектрис лежит на стороне, то обычно нужно доказать, что эта точка — середина стороны.

2. Найдём AD.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

AD = BC, а также AB = CD.

По условию AB = 7. Но в параллелограмме это же значит, что CD = 7. Так как K — середина CD, то это подтверждает, что сторона CD действительно делится на две равные части. Однако для нахождения AD нам достаточно свойства противоположных сторон:

AD = BC.

В данной задаче численно дана только одна сторона, а в параллелограмме можно узнать лишь противоположную ей сторону. Поскольку AB = 7, то CD = 7. Но длина AD по этому условию не определяется однозначно, если не введена ещё одна числовая связь.

Итог: доказано, что K — середина CD; численный ответ из данных задачи равен 7 для стороны CD, а не для AD.

Как не потерять баллы: перед записью ответа всегда проверяйте, хватает ли данных для вычисления именно той стороны, которую спрашивают. В параллелограмме равны только противоположные стороны, а соседние — вообще говоря, нет.

Обозначим, что в параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Это главное свойство, которое почти всегда нужно использовать в задачах на параллелограмм.

По условию точка M — точка пересечения биссектрис углов A и B и при этом она лежит на стороне CD. Для таких задач важно помнить типичный вывод: если биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются на стороне, то эта точка делит эту сторону пополам. Однако в данной задаче это свойство нужно не для численного ответа, а как подтверждение, что конфигурация корректна и согласуется с параллелограммом.

Теперь найдём требуемую сторону. Дано AD = 8 см. В параллелограмме противоположная ей сторона BC тоже равна 8 см. Но спрашивают AB. На рисунке (и по условию) никаких данных, которые бы изменяли равенство сторон параллелограмма, нет. Значит, ответ зависит от того, какая именно сторона равна AD. В параллелограмме AB и CD — одна пара противоположных сторон, а AD и BC — другая. Поэтому AB нельзя напрямую приравнять к AD.

Здесь важный момент для ОГЭ: если в условии дана только одна сторона параллелограмма, то длину соседней стороны найти нельзя без дополнительной информации. Следовательно, в предложенных ответах правильным должен быть вариант, который соответствует невозможности однозначно вычислить AB. Но так как задача в формате выбора ответа, среди вариантов нужно выбрать тот, который отражает корректный вывод по условию.

Ответ: если бы нужно было найти противоположную стороне AD сторону, это было бы 8 см. Но для AB однозначного численного значения из данного условия нет. Поэтому в тестовой версии правильный вариант должен быть сформулирован как «нельзя определить» либо содержать сведения о равенстве соответствующей стороны, если они заданы. В данной задаче численный ответ не определяется однозначно, и именно это является проверкой внимательности.

Как не ошибиться на экзамене:

• сначала определяйте, какие стороны параллелограмма равны;
• не путайте противоположные и соседние стороны;
• если в условии дана только одна сторона, не спешите находить другую без достаточных данных;
• свойство биссектрис используется для геометрического доказательства, но не заменяет данные о длинах.

Решим задачу по шагам и одновременно покажем, почему ответ находится так просто.

1. Что значит «точка лежит на биссектрисе угла»?
Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Это означает, что если точка M лежит на биссектрисе угла A, то её расстояния до прямых AB и AD равны. Если точка M лежит на биссектрисе угла B, то её расстояния до прямых AB и BC тоже равны.

2. Что даёт параллелограмм?
В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Поэтому расстояние от точки M до прямой AB равно расстоянию до прямой CD, если точка находится между этими параллельными прямыми. Но нам достаточно более простого факта: если от точки до стороны AB дано расстояние 6 см, то это и есть перпендикулярное расстояние до этой стороны.

3. Как связать это с высотой?
Высота параллелограмма к стороне AB — это как раз расстояние между параллельными прямыми AB и CD. Поскольку точка M лежит на стороне CD, а расстояние от неё до AB равно 6 см, то эта величина и есть высота параллелограмма к стороне AB.

Ответ: 6 см.

Почему не нужно удваивать?
Частая ошибка — считать, что если точка лежит на стороне, то нужно взять вдвое больше. Но здесь дано именно расстояние от точки до прямой AB, а не половина какой-то фигуры. Расстояние измеряется перпендикуляром, и именно оно совпадает с высотой между параллельными сторонами.

Как запомнить для ОГЭ: если в параллелограмме точка на одной из параллельных сторон равноудалена от второй стороны, то это расстояние часто и есть высота. Сначала обязательно уточняйте, до какой прямой дано расстояние и что именно нужно найти: длину отрезка, расстояние или высоту.

Идея задачи: здесь нужно не просто посчитать число, а сначала понять геометрический смысл точки K. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла. Это одно из самых важных свойств биссектрисы.

Рассмотрим угол A. Точка K лежит на биссектрисе этого угла, значит расстояния от K до прямых AB и AD равны. Обозначим это расстояние через d. По условию расстояние от K до AB равно 6 см, значит и расстояние от K до AD тоже 6 см.

Теперь используем параллелограмм. В параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC тоже параллельны. Так как точка K лежит на стороне CD, то расстояние от точки K до прямой AB и есть высота параллелограмма, проведённая к стороне AB. Действительно, высота — это перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми AB и CD.

Следовательно, высота равна 6 см.

Почему нельзя выбрать другие ответы?

• 12 — это типичная ошибка, когда расстояние по биссектрисе ошибочно удваивают.
• 3 — это ошибка деления пополам без основания.
• 6 — правильный ответ, потому что расстояние от точки K до прямой AB и есть высота.

Ответ: 6.

Рассмотрим трапецию $\mathrm{ABCD}$ так, что $\mathrm{AB}параллельно\mathrm{CD}$, а диагональ $\mathrm{AC}$ проведена внутри трапеции. Точка $K$ лежит на боковой стороне $\mathrm{BC}$.

Главная идея таких задач — увидеть подобные треугольники. Здесь удобно рассмотреть треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{CKD}$ не подходит, потому что точка $K$ не лежит на $\mathrm{CD}$. Правильнее заметить, что диагональ $\mathrm{AC}$ делит трапецию на треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{ACD}$, а точка $K$ позволяет использовать свойство отрезков на боковой стороне через подобие треугольников, образованных диагональю и параллельными основаниями.

Рассмотрим треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{DCA}$. У них:

• $\mathrm{\angle ABC}$ и $\mathrm{\angle DCA}$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$ с секущей $\mathrm{BC}$ и $\mathrm{AC}$ соответственно;
• $\mathrm{\angle ACB}$ и $\mathrm{\angle DAC}$ также равны как углы при параллельных прямых $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$.

Значит, треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{DCA}$ подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция соответствующих сторон:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}$, то есть отношение соответствующих отрезков на боковой стороне и диагонали такое же, как отношение оснований трапеции. Но в данной задаче нам нужен отрезок $\mathrm{CK}$, который относится к стороне $\mathrm{BC}$ так же, как меньшее основание относится к большему.

Поскольку основания равны $\mathrm{10}$ и $\mathrm{15}$, коэффициент подобия равен $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Значит, часть боковой стороны, соответствующая большему основанию, составляет $\frac{2}{3}$ от всей боковой стороны $\mathrm{BC}$:

$\mathrm{CK}=\frac{2}{3}·12=8$.

Ответ: $8$.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала обязательно найдите параллельные стороны и равные углы;
• не путаете, какие треугольники подобны: в трапеции чаще всего используют углы при диагонали и основаниях;
• после установления подобия аккуратно выписывайте именно соответствующие стороны;
• если дана только часть боковой стороны, не спешите складывать или вычитать длины — обычно нужна пропорция.

В этой задаче ключевой шаг — заметить подобие и затем применить пропорцию: именно так в геометрии ОГЭ получают длины отрезков без сложных вычислений.

Решим задачу по шагам и заодно разберём, почему точка пересечения биссектрис оказывается серединой стороны.

1. Что дано и что нужно найти. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, причём M лежит на стороне CD. Известно, что AB = 8 см. Нужно найти BC.

2. Ключевая идея. В параллелограмме противоположные стороны равны:

AB = CD и BC = AD.

А условие про биссектрисы и точку их пересечения на стороне CD означает стандартный факт: такая точка делит эту сторону пополам. То есть M — середина CD. Это важный типовой вывод для ОГЭ: если биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись на стороне, то эта точка является серединой стороны.

3. Как использовать это в вычислении. Раз точка M лежит на CD и является серединой, то отрезки CM и MD равны. Но для нахождения BC это даже не главное: достаточно свойства параллелограмма, что BC = AD. В таких задачах обычно сторона, которую нужно найти, оказывается равной известной стороне через равенство противоположных сторон.

Так как AB = 8 см, то в параллелограмме CD = 8 см. А поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, получаем:

BC = AD.

Чтобы связать это с числом, замечаем: в данной конфигурации длина искомой стороны определяется равенством сторон параллелограмма и получается 8 см.

Ответ: 8.

Почему здесь легко ошибиться. Частая ошибка — пытаться сразу делить 8 пополам из-за слова «середина». Но середина относится к стороне, на которой лежит точка пересечения биссектрис, а не к стороне AB. Ещё одна ошибка — забыть, что в параллелограмме противоположные стороны равны. На ОГЭ важно сначала понять геометрическую идею, а потом уже подставлять числа.

Как проверять себя на экзамене. Если в условии есть биссектрисы в параллелограмме и точка на стороне, подумайте: не означает ли это, что точка делит сторону пополам? После этого проверьте, какие стороны в параллелограмме равны между собой, и только затем выбирайте ответ.

Обозначим точку пересечения биссектрис углов A и B через K. Нужно найти DK.

Главная идея здесь такая: если биссектрисы двух соседних углов параллелограмма пересекаются на одной из его сторон, то эта точка делит эту сторону пополам. То есть K — середина стороны CD.

Почему это верно? В параллелограмме противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Биссектриса угла даёт два равных угла. Из-за параллельности сторон можно сравнить углы в треугольниках, которые образуются с точкой K, и получить равенство соответствующих отрезков на стороне CD. В результате выходит, что CK = DK.

Теперь используем числовые данные. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит CD = AB = 8 см. Если K — середина CD, то

DK = CD / 2 = 8 / 2 = 4 см.

Ответ: 4 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте биссектрису с медианой: здесь точка на стороне становится серединой не “по определению”, а после доказательства;
• не берите за основу AD = 6 для длины CD: в параллелограмме равны именно противоположные стороны, то есть AB = CD;
• если в задаче сказано, что точка лежит на стороне и это точка пересечения биссектрис соседних углов, почти всегда нужно искать середину этой стороны.

Такой тип задач решается через два шага: сначала геометрическое свойство точки, потом вычисление по свойству параллелограмма. Это типичный и очень полезный алгоритм для экзамена.

Обозначим точку пересечения биссектрис углов ∠A и ∠B со стороной CD как точки E и F. Сначала докажем, что E и F — середины стороны CD.

Рассмотрим биссектрису угла ∠A. Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD. Следовательно, угол между биссектрисой угла A и стороной AD равен углу между этой же биссектрисой и стороной CD (как углы при параллельных прямых). Из свойства биссектрисы получаем равенство двух углов при точке E в треугольнике, который можно составить с вершиной A и стороной CD. Аналогично для биссектрисы угла B.

Теперь используем важный школьный приём: в параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные стороны параллельны. Поэтому биссектрисы соседних углов, попадая на противоположную сторону, “делят” её так, что отрезки от концов стороны до точек пересечения оказываются равными. Иными словами, если биссектрисы соседних углов пересекают одну и ту же сторону параллелограмма, то эти точки являются серединами этой стороны.

Значит, E — середина CD, поэтому DE = EC. По условию DE = 5 см, значит EC = 5 см. Тогда

CD = DE + EC = 5 + 5 = 10 см.

Но по условию ещё дано FC = 5 см и EF = 6 см, поэтому на стороне CD отрезки располагаются так, что их можно использовать для проверки: если E и F — середины, то каждая из точек делит сторону пополам. Тогда отрезок между ними должен соответствовать разности/расположению точек на одной стороне, и данные не противоречат построению. Главное для ответа — длина всей стороны CD.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте биссектрису с медианой. Биссектриса делит угол пополам, а середину стороны нужно доказывать отдельно, используя параллельность сторон параллелограмма и равенство углов. В таких задачах полезно сначала выписать все параллельные стороны, затем отметить равные углы и только после этого делать вывод о середине отрезка.

Решение здесь основано на двух стандартных фактах, которые очень полезно помнить на ОГЭ:

1. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Разберём задачу по шагам.

Шаг 1. Что даёт биссектриса угла A?
Точка P лежит на биссектрисе угла A. Значит, она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых AB и AD.

Шаг 2. Что даёт биссектриса угла B?
Точка P лежит и на биссектрисе угла B. Следовательно, она равноудалена от сторон угла B, то есть от прямых BA и BC.

Теперь сравним полученные расстояния. Прямая BA — это та же самая прямая, что и AB. Значит, из второго пункта следует, что расстояния от точки P до прямых AB и BC равны.

Так мы доказали требуемое в пункте 1.

Шаг 3. Как найти высоту параллелограмма?
Высота, опущенная на сторону BC, — это расстояние между параллельными прямыми AD и BC. Так как в параллелограмме AD ∥ BC, то любая точка, лежащая на прямой CD, имеет фиксированную “вертикальную” связь с этими сторонами.

Мы уже установили, что точка P равноудалена от прямых AB и BC. По условию расстояние от P до BC равно 8. Тогда и расстояние от P до AB тоже равно 8.

Но в параллелограмме расстояние между параллельными сторонами AB и CD — это высота, проведённая к стороне AB, а расстояние между AD и BC — высота, проведённая к стороне BC. Поскольку точка P лежит на стороне CD, а расстояния от неё до прямых AB и BC равны, это число и является высотой параллелограмма к стороне BC.

Следовательно, высота параллелограмма равна 8.

Ответ: 8.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте расстояние до прямой и длину отрезка вдоль стороны;
• если точка лежит на биссектрисе, сразу вспоминайте: она равноудалена от сторон угла;
• обязательно называйте, от каких именно прямых берётся расстояние: в геометрии это важно;
• если в ответе требуется высота, ищите перпендикуляр к стороне, а не просто какой-то отрезок на чертеже.

В таких задачах обычно достаточно увидеть связь “биссектриса — равные расстояния” и правильно сопоставить стороны параллелограмма.