Длины отрезков: секущие, касательные, хордовые отрезки и теорема о мощности точки: задания с ответами

Используем теорему о мощности точки для двух секущих, проведённых из одной внешней точки P.

Для любой секущей из внешней точки произведение внешней части секущей на всю секущую одинаково:

PA · PB = PC · PD.

Сначала найдём полную длину первой секущей:

PB = PA + AB = 4 + 6 = 10 см.

Теперь подставим в равенство:

PA · PB = PC · PD

4 · 10 = 3 · PD

40 = 3 · PD, значит PD = 40/3 см.

Но требуется найти CD, а это разность между полной длиной второй секущей и её внешней частью:

CD = PD - PC = 40/3 - 3 = 40/3 - 9/3 = 31/3 см.

Ответ: 31/3.

Как решать такие задачи на ОГЭ: 1) всегда сначала находите полную длину секущей, если дана только её часть; 2) записывайте произведение внешней части и всей секущей; 3) после нахождения полной длины не забудьте вычесть внешнюю часть, если спрашивают внутренний отрезок между точками окружности.

Частые ошибки: путают AB с PB; складывают длины вместо умножения; находят PD, хотя в вопросе нужен именно CD.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезки AB и AC — это касательные, проведённые из одной точки A к окружности, значит они равны: AB = AC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, а его вершина находится в точке A.

Дано, что ∠BAC = 60°. В равнобедренном треугольнике удобно найти основание через боковую сторону и угол при вершине. Проведём мысленно высоту из вершины A к основанию BC. В равнобедренном треугольнике она одновременно является медианой и биссектрисой. Значит, угол 60° делится пополам, и получаются два прямоугольных треугольника с углом 30° при вершине A.

Теперь используем тригонометрию или известное свойство треугольника 30°–60°–90°. В половине треугольника катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Здесь гипотенуза — это AB = 8, значит половина основания BC равна 4. Тогда весь отрезок BC = 4 + 4 = 8.

Можно решить и по формуле для равнобедренного треугольника: если боковые стороны равны a, а угол между ними равен α, то основание равно 2a·sin(α/2). Подставляем a = 8, α = 60°: BC = 2·8·sin 30° = 16·0.5 = 8.

Ответ: 8.

Частая ошибка: некоторые ученики забывают, что касательные из одной точки равны, и пытаются сразу использовать радиус. Для этой задачи радиус не нужен. Достаточно увидеть равнобедренный треугольник и правильно связать угол при вершине с основанием.

Здесь нужно применить теорему о мощности точки для двух секущих, проведённых из одной внешней точки.

Если из точки K проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках A, B и C, D, то выполняется равенство:

KA · KB = KC · KD,

где KA и KC — это внешние части секущих, а KB и KD — весь отрезок секущей от внешней точки до второй точки пересечения с окружностью.

Подставим известные значения:

6 · 18 = 9 · KD

Вычислим произведение слева:

108 = 9 · KD

Теперь найдём KD:

KD = 108 / 9 = 12.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте внешнюю часть секущей и всю секущую;
• в формуле всегда берутся произведения отрезков одной и той же секущей;
• если неизвестен один из отрезков, его удобно сразу выразить из равенства произведений.

В таких задачах обычно достаточно 2–3 шагов: записать теорему, подставить числа, выполнить деление. Это типичный и очень важный приём для задач на мощность точки.

Используем теорему о мощности точки для двух секущих, проведённых из одной внешней точки K. Она говорит, что произведение внешней части секущей на всю секущую одинаково для обеих секущих:

KA · KB = KC · KD.

Сначала найдём полную длину первой секущей. По условию KA = 4 см, AB = 12 см, значит

KB = KA + AB = 4 + 12 = 16 см.

Теперь подставим в равенство мощностей точки:

4 · 16 = 6 · KD.

Получаем:

64 = 6 · KD,

KD = 64/6 = 32/3 см.

Но требуется найти именно отрезок CD, а он равен разности между полной секущей и внешней частью:

CD = KD - KC = 32/3 - 6 = 32/3 - 18/3 = 14/3 см.

Итак, правильный ответ: 14/3 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте внешнюю часть секущей и всю секущую;
• в теореме о мощности точки всегда перемножаются именно внешняя часть и вся секущая;
• если нужно найти внутренний отрезок между точками окружности, сначала находят полную длину секущей, а потом вычитают внешнюю часть.

Частая ошибка — написать KA · AB = KC · CD. Это неверно, потому что в теореме участвует не хорда внутри окружности, а вся секущая.

Здесь нужно применить теорему о мощности точки для двух секущих, выходящих из одной внешней точки P.

Для секущей PAB произведение внешнего отрезка на весь отрезок секущей равно аналогичному произведению для другой секущей PCD:

PA · PB = PD · PC.

Подставим известные значения:

4 · 12 = 6 · PC.

Получаем:

48 = 6 · PC, значит PC = 48 / 6 = 8.

Ответ: 8 см.

Почему именно так? В задачах на мощность точки важно правильно определить, какие отрезки являются внешними, а какие — полными секущими. Здесь точка P лежит вне окружности, поэтому для каждой секущей берётся произведение двух отрезков от точки P до точек пересечения с окружностью.

Частые ошибки:

• путают внешний отрезок с полным и пишут, например, PA · PC = PB · PD без оснований;
• делят вместо умножения;
• не замечают, что из точки P выходят именно две секущие, а не касательная и секущая.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Найдите внешнюю точку, из которой проведены секущие.
2. Запишите равенство произведений для двух секущих.
3. Подставьте числа и выразите неизвестный отрезок.
4. Проверьте, что ответ положительный и разумный по величине.

Для таких задач используется теорема о мощности точки: если из одной внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.

В нашем случае внешняя часть секущей — это AC = 5 см, а вся секущая — AD = 20 см. Значит, можно записать:

AB² = AC · AD = 5 · 20 = 100.

Теперь находим длину касательной:

AB = √100 = 10 см.

Итак, правильный ответ — 10 см.

Как думать на ОГЭ: сначала всегда определяйте, где внешняя часть секущей, а где вся секущая. Частая ошибка — перемножить не те отрезки или забыть, что длина касательной находится не напрямую, а через квадрат. Ещё одна типичная ошибка — взять AC + CD вместо всей секущей AD. Если аккуратно подставить данные в формулу, задача решается за 1–2 шага.

Для таких задач нужно вспомнить теорему о мощности точки: если из одной внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

В нашей задаче внешняя точка — это A. Касательная — это отрезок AB. Секущая пересекает окружность в точках C и D. По условию AC = 6 см — это внешняя часть секущей, а AD = 24 см — вся секущая целиком.

Запишем формулу:

AB² = AC · AD.

Подставляем числа:

AB² = 6 · 24 = 144.

Теперь находим сам отрезок AB как квадратный корень:

AB = √144 = 12 см.

Ответ: 12.

Частая ошибка в таких заданиях — перепутать внешнюю часть секущей с всей секущей. В формуле обязательно должны стоять именно внешняя часть и вся секущая. Ещё одна ошибка — забыть, что длина касательной находится из квадрата, поэтому в конце нужно не перемножить ещё раз, а извлечь корень. Чтобы не потерять балл на ОГЭ, всегда сначала подписывайте: что является касательной, что — внешней частью секущей, а что — всей секущей.

Используем два важных факта.

1. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Если окружность касается сторон треугольника, то от одной и той же вершины до точек касания на соседних сторонах отрезки равны. Обозначим:

\(CK=7\) и \(KA=5\). Тогда от вершины \(C\) до точки касания на другой боковой стороне тоже будет \(7\), а от вершины \(A\) до точки касания на основании — тоже \(5\).

2. Треугольник равнобедренный. Значит, его боковые стороны равны. Если одна боковая сторона \(AC\) состоит из отрезков \(7\) и \(5\), то

\(AC=7+5=12\).

Так как треугольник равнобедренный, другая боковая сторона \(BC\) тоже равна \(12\).

Теперь найдём основание \(AB\). На основании от вершины \(A\) до точки касания идёт отрезок длины \(5\), а от вершины \(B\) до точки касания — тоже \(7\) (по равенству касательных из вершины \(C\) и симметрии равнобедренного треугольника). Значит,

\(AB=5+7=12\).

Получаем, что все стороны равны 12, значит периметр:

\(P=12+12+12=36\).

Ответ: 36.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте порядок отрезков: в условии сказано, что они даны от вершины к основанию;
• не забывайте, что из одной вершины к окружности касательные равны;
• сначала восстановите длины сторон, и только потом находите периметр.

Здесь используется теорема о мощности точки для внешней точки: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

Обозначим длину касательной AB через x.

Сначала найдём длину всей секущей AD. Она состоит из двух частей:

AD = AC + CD = 4 + 5 = 9 (см).

Теперь применяем формулу:

AB² = AC · AD.

Подставляем известные значения:

x² = 4 · 9 = 36.

Тогда

x = 6 (см), потому что длина отрезка не может быть отрицательной.

Ответ: 6 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте внешнюю часть секущей и всю секущую;
• в формуле используется произведение, а не сумма;
• после нахождения квадрата длины не забудьте извлечь корень;
• если получается два корня, берут только положительный, так как речь идёт о длине.

Такой тип задач решается быстро, если помнить короткий алгоритм: сложить части секущей, затем применить формулу, затем извлечь корень.

Используем важное свойство вписанной окружности: от одной и той же вершины треугольника к точкам касания проведённые отрезки равны. Это значит, что если окружность касается сторон AC и BC, то от вершины C до точек касания на этих сторонах отрезки одинаковы.

Обозначим через x искомую длину CP. Тогда на стороне AC отрезок от вершины A до точки касания тоже будет равен некоторому отрезку касания от вершины A. Аналогично на стороне BC отрезок от вершины B до точки касания равен соответствующему отрезку от вершины B. В задачах на вписанную окружность удобно помнить, что каждая сторона треугольника разбивается на два отрезка касания, а их суммы по полупериметру связаны очень просто.

Найдём полупериметр треугольника:

s = (13 + 13 + 10) / 2 = 18.

Для стороны AC отрезок от вершины C до точки касания равен s - AB только если рассматривать соответствие с противоположной стороной, но в равнобедренном треугольнике проще действовать по формуле касательных: отрезок касания от вершины C на каждой боковой стороне равен s - AB? Здесь легко ошибиться, поэтому лучше проверить через стандартную запись:

Если на стороне AC точка касания делит её на AP и CP, то AP = отрезку касания от вершины A, а CP = отрезку касания от вершины C. Для треугольника со сторонами 13, 13, 10 отрезок у вершины C равен

CP = s - AB = 18 - 10 = 8.

Значит, искомая длина отрезка CP равна 8.

Частая ошибка на ОГЭ — перепутать, какой именно отрезок равен s - стороне. Нужно запомнить правило: в треугольнике с вписанной окружностью длина отрезка касания от вершины до точки касания на стороне равна s минус длина противоположной стороны. В таких задачах это самый быстрый путь к ответу.

Для пересекающихся хорд используется теорема о мощности точки: если две хорды AC и BD пересекаются в точке P, то выполняется равенство

AP · PC = BP · PD.

Это главное правило в таких задачах: перемножаются отрезки одной хорды, а затем — отрезки другой хорды. Очень важно не перепутать пары: нельзя умножать, например, AP на BP или PC на PD. Нужно брать именно части каждой хорды.

Подставим известные значения:

3 · 8 = 4 · PD.

Получаем:

24 = 4 · PD,

откуда

PD = 24 / 4 = 6.

Ответ: 6.

Как проверить себя на экзамене: если одна из частей хорды в 2 раза больше, а произведение должно сохраниться, то неизвестный отрезок часто получается в 2 раза меньше. Здесь это действительно так: 3 · 8 = 24, а при делении на 4 получаем 6.

Частая ошибка — забыть, что точка P лежит внутри окружности. Именно тогда можно применять теорему о пересекающихся хордах. Ещё одна типичная ошибка — неверно читать рисунок и путать, какой отрезок относится к какой хорде. Чтобы не ошибиться, сначала выпишите на черновике две хорды отдельно и только потом составьте равенство произведений.

Используем теорему о пересекающихся хордах: если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков одной хорды равны произведениям отрезков другой хорды:

AP · PC = BP · PD.

Это ключевая формула для таких задач. Важно правильно определить, какие отрезки лежат на одной и той же хорде. Здесь на первой хорде находятся отрезки AP и PC, а на второй — BP и PD.

Подставим известные значения:

3 · 12 = 4 · PD.

Получаем:

36 = 4 · PD,

PD = 36 / 4 = 9.

Ответ: 9.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перемножайте отрезки, которые не лежат на одной хорде;
• не путайте эту теорему с теоремой о касательной: здесь касательная не нужна;
• после составления уравнения проверьте, что неизвестный отрезок получается положительным числом.

Если в задаче даны три отрезка и нужно найти четвёртый, почти всегда достаточно одного равенства по теореме о пересекающихся хордах и простого уравнения.