Определение радиуса скругления (элементарная геометрия): задания с ответами

Рассмотрим ситуацию геометрически. Центр окружности лежит на оси симметрии, а дуга соединяет левую и правую стороны конструкции. Если опустить из центра перпендикуляр на основание, то конструкция распадается на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В одном таком треугольнике:

• гипотенуза — это радиус дуги, то есть 13 см;
• один катет — это высота центра над основанием, то есть 5 см;
• второй катет — это половина ширины конструкции.

Обозначим половину ширины через x. Тогда по теореме Пифагора получаем:

x² + 5² = 13².

Вычислим:

x² = 169 - 25 = 144, значит x = 12 см.

Это только половина ширины, поэтому полная ширина равна:

W = 2x = 2 · 12 = 24 см.

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте радиус с диаметром и не забывайте, что найденное по Пифагору значение — это именно половина ширины, а не вся ширина. Частая ошибка — остановиться на числе 12, хотя нужно ещё умножить на 2.

Обозначим половину ширины конструкции через 8 см, потому что центр окружности находится посередине основания, а значит, от центра до каждой вертикальной стороны расстояние одинаковое. При ширине 16 см это расстояние равно 16 : 2 = 8 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который получается из центра окружности, середины верхней дуги и точки на верхней точке дуги. Один катет этого треугольника равен 8 см, второй катет — 9 см. Гипотенуза этого треугольника и есть радиус окружности, потому что она соединяет центр с точкой дуги.

Применим теорему Пифагора:

r² = 8² + 9² = 64 + 81 = 145.

Значит, r = √145 см.

Ответ: √145 см.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

• сначала найдите половину ширины, а не используйте всю ширину целиком;
• поймите, где находится центр окружности;
• постройте прямоугольный треугольник;
• используйте теорему Пифагора, если нужно найти радиус.

Частая ошибка — принять 16 см за радиус или за диаметр. Здесь 16 см — это вся ширина, а радиус нужно искать через половину ширины и высоту.

Обозначим ширину арки через хорду 10 см. Тогда половина хорды равна 5 см. Если провести радиус к середине хорды, то он будет перпендикулярен хорде, а значит, в половине фигуры получится прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• гипотенуза — радиус окружности, то есть 13 см;
• один катет — половина хорды, то есть 5 см;
• другой катет — расстояние от центра окружности до хорды.

Найдём этот катет по теореме Пифагора:

13² = 5² + x²

169 = 25 + x²

x² = 144, значит x = 12.

Это расстояние от центра окружности до хорды. Но нам нужна высота арки, то есть расстояние от хорды до верхней точки дуги. Она равна разности между радиусом и найденным расстоянием:

H = 13 - 12 = 1 см.

Итак, правильный ответ: 1 см.

Почему часто ошибаются: некоторые сразу берут половину ширины и думают, что это высота, но это не так. Другие путают, что надо вычитать из радиуса, а не складывать. Полезный алгоритм на ОГЭ такой: сначала делим ширину пополам, потом применяем теорему Пифагора, и только в конце находим высоту как разность.

Обозначим половину ширины арки через x. Тогда от центра окружности до одного края арки получается отрезок длиной 13 см — это радиус, то есть гипотенуза прямоугольного треугольника. Один катет равен высоте центра над основанием: 5 см. Второй катет — это как раз половина ширины, то есть x.

Теперь применим теорему Пифагора:

x² + 5² = 13²

x² + 25 = 169

x² = 144

x = 12 (берём только положительное значение, потому что длина не может быть отрицательной).

Это ещё половина ширины арки. Тогда вся ширина:

W = 2x = 2·12 = 24 см.

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают радиус и диаметр или забывают, что сначала нужно найти именно половину ширины. Удобный алгоритм такой: 1) мысленно выделить прямоугольный треугольник; 2) записать теорему Пифагора; 3) найти половину ширины; 4) умножить результат на 2. Если ответ получается нецелым, это нормально: в таких задачах возможны и дробные значения.

Рассмотрим половину детали. Так удобнее, потому что центр окружности расположен в середине основания, а значит от центра до левого и правого края основания получаются одинаковые отрезки.

Полная ширина основания равна 10 см, значит половина ширины равна 5 см. Теперь можно выделить прямоугольный треугольник: его гипотенуза — радиус окружности 13 см, один катет — 5 см, а второй катет — это расстояние от центра окружности до верхней точки дуги по вертикали.

По теореме Пифагора находим этот вертикальный отрезок:

13² = 5² + x²,

откуда

x = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Это расстояние от центра до дуги по вертикали. Но высота детали — это расстояние от нижнего основания до верхней точки дуги. Центр окружности лежит на середине основания, то есть он находится на высоте 0, а верхняя точка дуги выше центра на 12 см. Значит, высота детали равна 12 см.

Ответ: 12 см.

Частые ошибки в таких задачах:

• делят ширину пополам слишком поздно или вообще используют всю ширину вместо половины;
• путают радиус и высоту;
• забывают, что в прямоугольном треугольнике радиус — это гипотенуза;
• подставляют в формулу неверные числа, из-за чего получают неправильный корень.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала найдите половину ширины, затем составьте прямоугольный треугольник, потом примените теорему Пифагора и аккуратно вычислите высоту.

Здесь нужно найти радиус окружности, если известны ширина дуги и высота дуги.

Обозначим концы дуги через точки A и B. По условию расстояние между ними равно 10 см, значит половина этого расстояния равна 5 см. Это важный шаг: в таких задачах удобно рассматривать половину конструкции, потому что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AB, а значит всё делится на две равные части.

Высота дуги равна 3 см. Это означает, что если от середины хорды подняться вверх до самой верхней точки дуги, то получится 3 см. Теперь рассмотрим треугольник, в котором:

• один катет равен 5 см — это половина ширины;
• второй катет равен r - 3 см — это расстояние от центра окружности до хорды;
• гипотенуза равна r — это радиус.

Но можно рассуждать и проще: расстояние от центра до хорды равно r - 3, а половина хорды равна 5. Тогда по теореме Пифагора:

5² + (r - 3)² = r²

Раскроем скобки:

25 + r² - 6r + 9 = r²

34 - 6r = 0

6r = 34

r = 34 / 6 = 17 / 3 ≈ 5.666...

Однако это значение меньше половины ширины, а для дуги с шириной 10 см радиус должен быть больше 5 см, но здесь ещё важно проверить геометрическую корректность: при высоте 3 см и хорде 10 см правильная формула для сегмента даёт радиус около 5.8 см. Давайте запишем её аккуратно через перпендикуляр от центра к хорде. Пусть расстояние от центра до хорды равно d. Тогда

r² = 5² + d², а также d = r - 3.

Подставим:

r² = 25 + (r - 3)²

r² = 25 + r² - 6r + 9

6r = 34

r = 17/3

Численно это 5.666..., то есть примерно 5.7.

Ответ: 5.7.

Полезно помнить для ОГЭ: в задачах на радиус по ширине и высоте чаще всего нужно:

1. разделить ширину пополам;
2. обозначить радиус через r;
3. составить прямоугольный треугольник;
4. применить теорему Пифагора.

Частые ошибки: брать всю ширину вместо половины, путать высоту дуги с расстоянием от центра до хорды, а также забывать, что радиус — это от центра до любой точки окружности.

Рассмотрим, что дано в задаче. Расстояние между вертикальными стойками равно 16, значит половина этого расстояния — 8. Так как центр окружности расположен на середине нижнего основания, то если провести от центра к одному из концов дуги и опустить перпендикуляр к основанию, получится прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике один катет равен 8, второй катет равен 6? Нет, здесь важно не перепутать: по условию расстояние от центра до верхней точки дуги равно 10. Это и есть радиус, потому что любая точка окружности находится на одинаковом расстоянии от центра. Значит, искомый радиус сразу равен 10.

Почему задача может сбить с толку? Частая ошибка — начать применять теорему Пифагора там, где радиус уже указан напрямую. Если в условии говорится именно о расстоянии от центра до дуги, то это и есть радиус окружности. Теорема Пифагора нужна только тогда, когда радиус не дан напрямую, а известны, например, ширина конструкции и высота дуги.

Итак, правильный ответ: 10.

Рассмотрим рисунок как задачу на прямоугольный треугольник. Так как центр окружности расположен посередине между стойками, то от центра до каждой стойки по горизонтали будет половина ширины конструкции:

10 : 2 = 5 см.

По условию центр находится на 6 см ниже концов дуги, значит от центра до точки дуги по вертикали тоже 6 см. Теперь мы видим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 5 см и 6 см, а гипотенуза — это радиус окружности.

Применим теорему Пифагора:

r² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61.

Следовательно,

r = √61 см.

Это и есть радиус дуги.

Почему важно не ошибиться: многие ученики берут за катет всю ширину 10 см, но это неправильно. В треугольнике нужен именно полуразмер, потому что центр находится в середине. Ещё одна частая ошибка — перепутать радиус с диаметром. Здесь радиус — это расстояние от центра до дуги, а не вся ширина конструкции.

Ответ: √61 см.

Рассмотрим геометрию задачи. Если провести вертикаль через центр окружности и опустить перпендикуляр к основанию, то получится прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза равна радиусу дуги, то есть 13 см;
• один катет — это высота центра над основанием, то есть 5 см;
• второй катет — это половина ширины конструкции.

Обозначим половину ширины через x. Тогда по теореме Пифагора:

x² + 5² = 13²

x² + 25 = 169

x² = 144

x = 12

Но нужна полная ширина, а не половина. Поэтому умножаем на 2:

W = 2·12 = 24

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда выясняйте, что именно нужно найти — половину ширины или всю ширину. В таких задачах очень часто по Пифагору находят только один катет и забывают удвоить его. Ещё одна типичная ошибка — перепутать радиус с диаметром. Здесь радиус — это именно гипотенуза прямоугольного треугольника.

Полезный алгоритм: 1) выделить прямоугольный треугольник; 2) записать теорему Пифагора; 3) найти половину ширины; 4) удвоить результат. Если следовать этому плану, такие задачи решаются быстро и без лишних ошибок.

Рассмотрим задачу как обычную геометрическую ситуацию с окружностью. Если центр окружности находится на середине нижнего основания, то удобно мысленно провести высоту из центра к верхней точке дуги и посмотреть на половину детали.

Ширина детали равна 24 см, значит половина ширины равна 12 см. Это очень важный шаг: в таких задачах нужно работать именно с половиной ширины, потому что от центра окружности до края основания получается прямоугольный треугольник.

Теперь обозначим:

• радиус окружности R = 13 см;
• половину ширины 12 см;
• расстояние от центра окружности до нижнего основания по вертикали — это неизвестная часть, которую можно найти по теореме Пифагора.

Получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза — радиус 13, один катет — 12, а второй катет равен:

\(\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\) см.

Это расстояние показывает, насколько центр окружности находится выше уровня краёв основания. Но нужна высота всей детали, то есть от нижнего основания до самой верхней точки дуги. Она состоит из двух частей:

• от основания до центра — 5 см;
• от центра до верхней точки дуги — ещё один радиус, то есть 13 см.

Значит, высота детали:

5 + 13 = 18 см.

Ответ: 18 см.

Как не ошибиться в таких заданиях на ОГЭ:

• не забудьте разделить ширину пополам;
• не подставляйте в теорему Пифагора полную ширину 24 вместо 12;
• сначала находите внутренний вертикальный отрезок по Пифагору, а потом прибавляйте радиус;
• проверяйте, что ширина меньше удвоенного радиуса: здесь 24 меньше 26, значит геометрическая модель возможна.

Рассмотрим задачу как типичную геометрическую ситуацию с дугой окружности. Дано: радиус окружности R = 13 см, ширина арки — это хорда длиной W = 10 см. Нужно найти высоту арки — то есть расстояние от хорды до верхней точки дуги.

Главная идея: если провести из центра окружности перпендикуляр к хорде, то он разделит хорду пополам. Поэтому можно рассмотреть половину арки и получить прямоугольный треугольник.

Половина хорды равна 10 / 2 = 5 см. В прямоугольном треугольнике один катет — это 5 см, гипотенуза — радиус 13 см, а второй катет — расстояние от центра окружности до хорды. Обозначим его d. По теореме Пифагора:

d² + 5² = 13²

d² = 169 - 25 = 144, значит d = 12.

Теперь найдём высоту арки. Она равна разности между радиусом и расстоянием от центра до хорды:

H = 13 - 12 = 1 см.

Ответ: 1.

Почему так удобно решать? В задачах на арки часто ищут не сам радиус, а вертикальный размер. Если ширина задана как расстояние между концами дуги, это хорда, а не диаметр. Ошибка многих учеников — сразу принимать ширину за диаметр и получать неверный ответ. Ещё одна частая ошибка — забыть разделить ширину пополам перед применением теоремы Пифагора.

Как не потерять баллы на ОГЭ:

• сначала определите, что именно дано: радиус, хорда, высота;
• ширину хорды всегда делите пополам;
• составляйте прямоугольный треугольник;
• после нахождения расстояния от центра до хорды не забудьте вычесть его из радиуса.

Рассмотрим половину конструкции. Если провести из центра окружности радиусы к двум концам дуги, а затем опустить из центра перпендикуляр на основание, получится прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус окружности, то есть 13 см;
• один катет — это высота от основания до центра, то есть 5 см;
• второй катет — это половина ширины конструкции.

Обозначим половину ширины через x. Тогда по теореме Пифагора:

x² + 5² = 13²

x² = 169 - 25 = 144

x = 12

Это только половина ширины, значит полная ширина равна:

2 · 12 = 24 см

Ответ: 24 см.

Типичная ошибка в таких задачах — забыть, что найденная величина относится только к половине конструкции. Ещё одна частая ошибка — перепутать радиус с диаметром или просто вычесть 13 − 5, хотя здесь нужно использовать именно теорему Пифагора. Чтобы не потерять баллы на ОГЭ, сначала всегда выделяйте прямоугольный треугольник и подписывайте, где гипотенуза, а где катеты.