Корни и радикалы: задания с ответами

Вычислите значение выражения $\dfrac{\sqrt{18x^3y^2}\cdot\sqrt{8x^2y}}{\sqrt{2xy}}$, если $x=2$, $y=3$.

$36\sqrt2$
$72$
$72\sqrt2$
$144\sqrt2$

Найдите значение выражения: $\sqrt{(3a-2b)^2}$, если $a=-1$, $b=2$.

$-7$
$49$
$7$
$\sqrt{7}$

Найдите значение выражения: $\dfrac{\sqrt{72}+\sqrt{8}}{\sqrt{50}+\sqrt{2}}$.

$\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{8}{6}$
$\dfrac{8}{3}$

Найдите значение выражения $\sqrt{(-5)^2}$.

Найдите значение выражения: $3\sqrt{12}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}$.

Найдите значение выражения: (√72 − √8) · √8.

Вычислите значение выражения: $(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)$.

Найдите значение выражения $\sqrt{36a^2b^4}$, если $a=3$, $b=2$.

Вычислите значение выражения $\sqrt{{(3 a - b)}^{2}}$ , если $a = \frac{1}{2}$ , $b = - 1$ .

$\frac{5}{2}$
$- \frac{5}{2}$
$4$
$\frac{3}{2}$

Найдите значение выражения $\sqrt{m^2+10m+25}$, если $m=-3$.

Вычислите значение выражения при x = 2 и y = -3:

√( (3x - 2y + 1)²)

Вычислите значение выражения $(\sqrt{18}+4)^2-8\sqrt{18}$.

34
18
50
34 + 8\sqrt{18}

Ответы и решения

1. Ответ

$72\sqrt2$

Сначала упростим выражение аккуратно, не подставляя числа слишком рано. Это важный прием на ОГЭ: если сначала работать с буквами, обычно легче увидеть сокращение и не ошибиться в вычислениях.

Дано:

$\dfrac{\sqrt{18x^3y^2}\cdot\sqrt{8x^2y}}{\sqrt{2xy}}$

Используем свойство произведения корней: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$. Тогда числитель можно объединить:

$\sqrt{18x^3y^2}\cdot\sqrt{8x^2y}=\sqrt{18x^3y^2\cdot 8x^2y}=\sqrt{144x^5y^3}.$

Теперь упростим корень по множителям. Разложим подкоренное выражение на полный квадрат и остаток:

$144=12^2,\quad x^5=x^4\cdot x=(x^2)^2\cdot x,\quad y^3=y^2\cdot y.$

Значит,

$\sqrt{144x^5y^3}=12x^2y\sqrt{xy}.$

Теперь подставляем это в исходную дробь:

$\dfrac{12x^2y\sqrt{xy}}{\sqrt{2xy}}.$

Сократим корни. Удобно заметить, что

$\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{2xy}}=\sqrt{\dfrac{xy}{2xy}}=\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{1}{\sqrt2}.$

Тогда выражение равно

$\dfrac{12x^2y}{\sqrt2}.$

Так как в задаче нужны конкретные значения, подставим $x=2$, $y=3$:

$\dfrac{12\cdot 2^2\cdot 3}{\sqrt2}=\dfrac{12\cdot 4\cdot 3}{\sqrt2}=\dfrac{144}{\sqrt2}.$

Рационализуем знаменатель:

$\dfrac{144}{\sqrt2}=\dfrac{144\sqrt2}{2}=72\sqrt2.$

Но здесь есть более короткий путь к полному упрощению, если сначала подставить числа в исходное выражение:

$\sqrt{18\cdot 2^3\cdot 3^2}\cdot\sqrt{8\cdot 2^2\cdot 3}\big/\sqrt{2\cdot 2\cdot 3}.$

Получаем:

$\sqrt{18\cdot 8\cdot 9}\cdot\sqrt{8\cdot 4\cdot 3}\big/\sqrt{12}=\sqrt{1296}\cdot\sqrt{96}/\sqrt{12}.$

Это снова ведет к ответу $72\sqrt2$. Но для ОГЭ надежнее сначала упростить выражение алгебраически, а потом подставлять значения. Это уменьшает риск ошибок.

Проверим, какой ответ должен быть среди вариантов. Правильный результат: $72\sqrt2$.

Частые ошибки:

1) Сразу умножают числа под корнем, но забывают про степени переменных.

2) Неправильно сокращают корни: например, считают, что $\sqrt{xy}/\sqrt{2xy}=1/2$, хотя это неверно.

3) Ошибаются при извлечении квадратов из-под корня: например, $\sqrt{x^5}$ пишут как $x^{5/2}$ и дальше теряются.

4) Подставляют числа раньше времени и получают громоздкие вычисления.

Для экзамена полезно помнить алгоритм: объединить корни → выделить полные квадраты → сократить → только потом подставить числа.

2. Ответ

$7$

Используем главное свойство квадратного корня: $\sqrt{u^2}=|u|$. Это очень важный момент в заданиях ОГЭ: под корнем стоит квадрат выражения, значит после извлечения корня нужно взять модуль, а не просто записать выражение без квадрата.

Сначала подставим значения переменных в выражение внутри скобок:

$3a-2b=3\cdot(-1)-2\cdot2=-3-4=-7$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{(3a-2b)^2}=\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$.

Можно было сразу заметить по формуле: $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$. Ответ всегда неотрицательный, потому что квадратный корень по определению не может быть отрицательным.

Почему часто ошибаются: некоторые ученики пишут $-7$, забывая про модуль. Это неверно, потому что $\sqrt{u^2}$ не равно просто $u$; правильно $|u|$. Еще одна типичная ошибка — сначала возвести в квадрат «не то» число или неверно вычислить выражение в скобках.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) аккуратно подставить числа; 2) вычислить выражение в скобках; 3) применить правило $\sqrt{u^2}=|u|$; 4) проверить, что ответ неотрицательный.

3. Ответ

$\dfrac{4}{3}$

Сначала внимательно посмотрим на корни. В таких задачах на ОГЭ почти всегда нужно вынести полный квадрат из-под корня, чтобы увидеть одинаковые множители.

Упростим числитель:

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$,

$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.

Тогда числитель равен

$6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$.

Упростим знаменатель:

$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$,

$\sqrt{2}=1\sqrt{2}$.

Тогда знаменатель равен

$5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Теперь дробь принимает вид

$\dfrac{8\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$.

Здесь есть общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе, его можно сократить:

$\dfrac{8\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$.

Ответ: $\dfrac{4}{3}$.

Почему это важно: многие школьники ошибаются, если пытаются складывать числа под корнем напрямую, например думают, что $\sqrt{72}+\sqrt{8}=\sqrt{80}$. Это неверно. Складывать можно только одинаковые корни, то есть после преобразования к виду $a\sqrt{m}+b\sqrt{m}$.

Как действовать на экзамене:

Разложить каждое подкоренное число на произведение полного квадрата и остатка.
Вынести полный квадрат из-под корня.
Сложить одинаковые корни.
Сократить общий корневой множитель в дроби.

Правильный вариант ответа: $\dfrac{4}{3}$.

4. Ответ

Используем главное свойство квадратного корня: $\sqrt{a^2}=|a|$ для любого действительного числа $a$. Это очень важно: квадратный корень из квадрата не равен просто $a$, потому что корень по определению берётся неотрицательным.

В нашей задаче под корнем стоит число $-5$ в квадрате. Значит, сначала можно вспомнить правило:

$\sqrt{(-5)^2}=|-5|$.

Теперь находим модуль числа $-5$. Модуль показывает расстояние до нуля на числовой прямой, поэтому $|-5|=5$.

Следовательно, значение выражения равно $5$.

Ответ: 5.

Частая ошибка на ОГЭ — написать $-5$, забыв про модуль. Это неверно, потому что квадратный корень всегда неотрицателен. Если под корнем находится чётная степень отрицательного числа, то после извлечения корня знак «минус» исчезает. Полезный приём для самопроверки: ответ к выражению с квадратным корнем не может быть отрицательным.

5. Ответ

Сначала нужно упростить каждый корень, потому что в таких заданиях нельзя сразу складывать или вычитать корни с разными подкоренными числами. Сначала ищем в подкоренном числе квадратный множитель.

Разложим корни:

$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, значит $3\sqrt{12}=3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$, значит $-2\sqrt{27}=-2\cdot 3\sqrt{3}=-6\sqrt{3}$.

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные выражения:

$3\sqrt{12}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}$.

Собираем подобные слагаемые:

$6\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}=5\sqrt{3}$.

Но в данном выражении уже после упрощения видно, что первые два слагаемых взаимно уничтожаются, и остаётся $5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$.

Как не потерять баллы на ОГЭ:

не пытайтесь складывать $\sqrt{12}$, $\sqrt{27}$, $\sqrt{75}$ как обычные числа до упрощения;
обязательно выносите полный квадрат из-под корня: 4, 9, 25 и т. д.;
после упрощения внимательно сравнивайте именно радикальную часть: здесь все корни стали вида $\sqrt{3}$, поэтому их можно объединять.

6. Ответ

Решим выражение по шагам.

Сначала упростим корни. Число 72 можно представить как 36·2, а число 8 — как 4·2. Тогда:

√72 = √(36·2) = 6√2,

√8 = √(4·2) = 2√2.

Теперь подставим это в выражение:

(√72 − √8) · √8 = (6√2 − 2√2) · 2√2.

Сначала выполним вычитание в скобках:

6√2 − 2√2 = 4√2.

Получаем:

4√2 · 2√2.

Теперь перемножим коэффициенты и корни отдельно:

4 · 2 = 8,

√2 · √2 = 2.

Тогда:

8 · 2 = 16.

Ответ: 16.

Полезно помнить: при решении таких примеров сначала удобно вынести из-под корня полный квадрат, а уже потом выполнять действия. Частая ошибка — пытаться сразу вычитать числа под корнем, например думать, что √72 − √8 = √64. Так делать нельзя: сначала нужно упростить каждый корень отдельно. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что √2 · √2 = 2, а не √4. В ОГЭ такие задания часто проверяют именно умение аккуратно упрощать выражение, поэтому важно не спешить и следить за каждым шагом.

7. Ответ

Здесь удобно использовать формулу разности квадратов:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

В нашем выражении роль $a$ играет $\sqrt{13}$, а роль $b$ — число 2. Тогда

$(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)=(\sqrt{13})^2-2^2$.

Теперь считаем по шагам:

$(\sqrt{13})^2=13$, потому что квадрат и корень взаимно уничтожают друг друга.

2^2=4.

Значит,

13-4=9.

Ответ: 9.

На ОГЭ в таких заданиях важно не раскрывать скобки «в лоб», а сразу замечать сопряжённые множители: одно выражение отличается от другого только знаком. Это позволяет быстро сократить вычисления и уменьшить риск ошибки. Частая ошибка — забыть возвести в квадрат число вне корня, например написать 13-2 вместо 13-4. Ещё одна ошибка — считать, что $(\sqrt{13})^2=\sqrt{169}; на самом деле результат просто 13. Если видеть формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2$, такие задания решаются за несколько секунд.

8. Ответ

Сначала упростим выражение под корнем. Важно помнить правило: $\sqrt{x^2}=x$ для неотрицательных $x$, а также $\sqrt{uv}=\sqrt u\cdot\sqrt v$, если оба множителя неотрицательны.

Имеем:

$\sqrt{36a^2b^4}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^4}$.

Теперь извлекаем корни:

$\sqrt{36}=6$, $\sqrt{a^2}=a$, $\sqrt{b^4}=b^2$.

Значит, выражение упрощается до $6ab^2$.

Подставляем значения $a=3$, $b=2$:

$6\cdot 3\cdot 2^2=6\cdot 3\cdot 4=72$.

Ответ: 72.

Частая ошибка на ОГЭ — сразу подставить числа в корень и считать без упрощения. Так тоже можно, но при вычислениях легко ошибиться. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что $b^4$ под корнем даёт $b^2$, а не $b^4$. Полезный алгоритм такой: 1) выделить внутри корня полные квадраты; 2) вынести их наружу; 3) только потом подставить значения. Это экономит время и снижает риск ошибки.

9. Ответ

$\frac{5}{2}$

Используем главное свойство квадратного корня: $\sqrt{x^{2}} = | x |$ . Это очень важно помнить в заданиях ОГЭ: корень из квадрата числа не равен просто самому числу, если оно может быть отрицательным. Всегда получается модуль.

Сначала подставим значения переменных в выражение внутри скобок:

$3 a - b = 3 \cdot \frac{1}{2} - (- 1)$ .

Вычислим по шагам:

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ , а вычитание отрицательного числа превращается в сложение:

$\frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$ .

Теперь выражение имеет вид:

$\sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2}}$ .

По свойству корня:

$\sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2}} = | \frac{5}{2} | = \frac{5}{2}$ .

Ответ: $\frac{5}{2}$ .

Как не потерять балл: 1) сначала аккуратно подставьте числа; 2) не забудьте, что $- (- 1)$ даёт плюс; 3) помните, что $\sqrt{x^{2}}$ равно $| x |$ , а не просто $x$ . Частая ошибка на ОГЭ — забыть модуль и записать отрицательный ответ, хотя корень квадратный всегда неотрицателен.

10. Ответ

Сначала посмотрим на подкоренное выражение:

$m^2+10m+25$.

Это квадратный трёхчлен, и его удобно распознать как полный квадрат по формуле

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Сравним:

$m^2$ — это $m^2$,
$25$ — это $5^2$,
$10m$ — это удвоенное произведение $2\cdot m\cdot 5$.

Значит,

$m^2+10m+25=(m+5)^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать так:

$\sqrt{m^2+10m+25}=\sqrt{(m+5)^2}$.

Квадратный корень из квадрата даёт модуль: $\sqrt{(m+5)^2}=|m+5|$. Но в этом задании достаточно подставить значение $m=-3$:

$|-3+5|=|2|=2$.

Ответ: $2$.

Почему важно так делать на ОГЭ: если сразу подставить число в трёхчлен и потом извлекать корень, можно запутаться. Гораздо надёжнее сначала заметить полный квадрат. Тогда вычисления становятся короткими и без лишних ошибок.

Частые ошибки:

ошибочно считать, что $m^2+10m+25=(m+10)^2$;
забывать, что $\sqrt{x^2}=|x|$, а не просто $x$;
ошибаться при подстановке отрицательного числа: $-3+5$, а не $-3-5$.

Полезный алгоритм для таких задач: 1) узнайте полный квадрат; 2) перепишите выражение как квадрат двучлена; 3) извлеките корень; 4) подставьте значение переменной и найдите ответ.

11. Ответ

Используем главное свойство: √(a²) = |a|. Это очень важный приём для ОГЭ: если под корнем стоит квадрат выражения, то корень из квадрата не равен просто самому выражению, а даёт модуль этого выражения.

Сначала найдём выражение внутри квадрата:

3x - 2y + 1 = 3·2 - 2·(-3) + 1.

Вычисляем по порядку:

3·2 = 6, -2·(-3) = 6.

Тогда

6 + 6 + 1 = 13.

Теперь берём модуль:

|13| = 13.

Значит, значение всего выражения равно 13.

Почему это важно? Частая ошибка — после подстановки сразу написать ответ 13 или -13, не заметив, что под корнем стоит квадрат. Но если бы внутри получилось отрицательное число, модуль всё равно сделал бы результат неотрицательным. Поэтому алгоритм такой: 1) раскрыть смысл корня из квадрата; 2) подставить значения; 3) вычислить модуль.

Как не потерять балл: внимательно следите за знаком при умножении на отрицательное число. Здесь, например, -2·-3 = +6, а не -6. Именно такие мелочи чаще всего приводят к ошибке в ответе.

12. Ответ

Здесь удобно заметить формулу квадрата суммы:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

В нашем выражении $(\sqrt{18}+4)^2-8\sqrt{18}$ роль $x$ играет $\sqrt{18}$, а роль $y$ — число 4. Тогда сначала раскроем квадрат суммы:

$(\sqrt{18}+4)^2=(\sqrt{18})^2+2\cdot\sqrt{18}\cdot 4+4^2$.

Вычисляем по частям:

\((\sqrt{18})^2=18, 2\cdot\sqrt{18}\cdot 4=8\sqrt{18}, 4^2=16.

Значит,

\((\sqrt{18}+4)^2=18+8\sqrt{18}+16.

Теперь подставим это в исходное выражение:

18+8\sqrt{18}+16-8\sqrt{18}.

Слагаемые с корнем \(+8\sqrt{18} и -8\sqrt{18} сокращаются:

18+16=34.

Итак, значение выражения равно 34.

Почему важно действовать именно так? В заданиях ОГЭ часто специально подбирают выражение, где после раскрытия скобок корни сокращаются. Если забыть формулу квадрата суммы или неверно умножить коэффициент на корень, легко потерять балл. Полезный прием: сначала внимательно распознайте формулу, затем отдельно посчитайте квадрат числа и удвоенное произведение, а в конце проверьте, какие одинаковые слагаемые можно сократить.