Тригонометрия в прямоугольном треугольнике: задания с ответами

Используем определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

tan A = противолежащий катет / прилежащий катет.

Рассмотрим угол A. Катет BC лежит напротив угла A, значит это противолежащий катет. Катет AC прилежит к углу A, значит это прилежащий катет.

Подставим данные из условия:

3/4 = BC / AC = 12 / AC.

Теперь выразим неизвестный катет AC. Перемножим крест-накрест:

3 · AC = 4 · 12.

3AC = 48, значит AC = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала обязательно определите, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к данному углу;
• не путайте тангенс с синусом или косинусом: здесь нужна именно формула tan = противолежащий / прилежащий;
• если неизвестен прилежащий катет, то его находят как известный противолежащий ÷ tan;
• проверяйте, что ответ получается положительным и разумным по условию.

В этой задаче удобно видеть, что отношение 3/4 означает: на каждые 4 части прилежащего катета приходится 3 части противолежащего. Если противолежащий катет равен 12, то одна часть равна 4, а прилежащий катет состоит из 4 частей, то есть равен 16.

Используем определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

tan A = противолежащий катет / прилежащий катет.

Для угла A противолежащим катетом является BC, а прилежащим — AC. Значит,

tan A = BC / AC.

Подставим данные из условия:

3/4 = BC / 8.

Теперь выразим неизвестный катет:

BC = 8 · 3/4 = 6.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала определите, какой катет противолежит данному углу, а какой прилежит.
• Не путайте тангенс с синусом и косинусом: здесь нужны только два катета.
• Если в формуле стоит дробь, неизвестную сторону удобно находить умножением: так меньше шансов сделать ошибку.
• После вычисления проверьте, что длина стороны получилась положительной и разумной.

В этой задаче ответ получился целым числом, потому что числа подобраны удобно для устного счета — это типично для заданий ОГЭ.

Для острого угла прямоугольного треугольника синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством:

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Нам дано \(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\), нужно найти \(\cos\alpha\). Подставим значение синуса в тождество:

\(\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\).

Возведём дробь в квадрат:

\(\dfrac{25}{169} + \cos^2\alpha = 1\).

Теперь выразим \(\cos^2\alpha\):

\(\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{169}{169} - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\).

Тогда

\(\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}\).

Почему берём именно положительный корень? Потому что угол в прямоугольном треугольнике острый, а для острого угла косинус положителен. Это важный момент: если забыть про знак, можно ошибочно написать \(-\dfrac{12}{13}\).

Итак, ответ: \(\dfrac{12}{13}\).

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала запомните формулу \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), затем аккуратно найдите \(\cos^2\alpha\), и только после этого извлекайте корень. Для острого угла всегда выбирайте положительное значение.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла находится по формуле:

tg угла = противолежащий катет / прилежащий катет.

Сначала определим, какие стороны относятся к углу A.

• Противолежащая сторона к углу A — это BC.
• Прилежащая катет к углу A — это AC.

По условию BC = 6, AC = 8. Тогда

tg A = BC / AC = 6 / 8 = 3 / 4.

Ответ: 3/4.

Полезно помнить: самая частая ошибка в таких заданиях — перепутать катеты местами. Если взять не тот катет, получится обратное отношение 4/3, а это уже неверно. Ещё одна типичная ошибка — пытаться использовать гипотенузу, хотя для тангенса она не нужна. На ОГЭ в подобных задачах достаточно внимательно посмотреть, какой катет лежит напротив угла, а какой рядом с ним, и затем просто разделить одну длину на другую.

Для острого угла в прямоугольном треугольнике синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством:

sin²α + cos²α = 1.

Это значит, что если известен синус угла, то косинус можно найти по формуле:

cos α = √(1 − sin²α).

Подставим данное значение:

cos α = √(1 − 0,6²) = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

Почему берём именно положительный корень? Потому что угол α острый, а для острого угла в прямоугольном треугольнике и синус, и косинус положительны. Это очень частая ошибка на ОГЭ: ученики иногда пишут −0,8, но отрицательный косинус у острого угла быть не может.

Итак, правильный ответ — 0,8.

Полезный алгоритм для таких заданий:

1. Проверить, что угол острый.
2. Вспомнить тождество sin²α + cos²α = 1.
3. Найти cos α по формуле √(1 − sin²α).
4. Выбрать только положительное значение корня.

Так можно быстро и без ошибок решать типовые задания на тригонометрию в прямоугольном треугольнике.

Вспомним определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

tg угла = противолежащий катет / прилежащий катет.

Найдём, какие стороны относятся к углу A:

• противолежащий катет к углу A — это BC, он равен 8;
• прилежащий катет к углу A — это AC, он равен 6.

Тогда

tg ∠A = BC / AC = 8 / 6 = 4 / 3.

Ответ: 4/3.

Полезно помнить: в таких заданиях чаще всего ошибка возникает не в вычислении, а в выборе сторон. Если перепутать катеты местами, получится обратное число 3/4, а это уже неверно. Поэтому сначала обязательно определяйте: какой катет лежит напротив угла, а какой рядом с ним. Это и есть самый надёжный способ не потерять лёгкий балл на ОГЭ.

Для острого угла в прямоугольном треугольнике удобно использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1.

Нам дано sin α = 3/5, значит нужно подставить это значение в тождество:

(3/5)² + cos²α = 1.

Вычислим квадрат синуса:

9/25 + cos²α = 1.

Теперь перенесём дробь в правую часть:

cos²α = 1 - 9/25 = 16/25.

Осталось извлечь корень:

cos α = √(16/25) = 4/5.

Почему берём именно положительный корень? Потому что угол α острый, а у острого угла в прямоугольном треугольнике и синус, и косинус положительны. Это важный экзаменационный момент: если взять отрицательный корень, ответ будет неверным.

Ответ: 4/5.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте формулу sin²α + cos²α = 1 с другими тождествами;
• сначала возводите в квадрат именно sin α, а не саму дробь “на глаз”;
• после извлечения корня выбирайте плюс, если угол острый;
• проверяйте, что ответ получился меньше 1 и больше 0 — для косинуса острого угла это обязательно.

Используем определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

tg A = противолежащий катет / прилежащий катет.

Рассмотрим угол A. Ему противолежит сторона BC, а прилежит катет AC. Значит, можно записать:

tg A = BC / AC.

По условию tg A = 2/3 и AC = 9. Подставим эти значения:

2/3 = BC / 9.

Теперь выразим BC. Удобно умножить обе части равенства на 9:

BC = 9 · 2/3 = 6.

Итак, длина искомого катета BC = 6.

Почему это типовая задача ОГЭ? Здесь не нужно находить синус или косинус и не требуется теорема Пифагора. Достаточно вспомнить только определение тангенса и правильно определить, какой катет лежит напротив выбранного угла, а какой к нему прилежит.

Частые ошибки:

• путают противолежащий и прилежащий катеты;
• подставляют в формулу не тот угол;
• делят 9 на 2/3 вместо того, чтобы умножить 9 на 2/3;
• по привычке используют синус или косинус, хотя в задаче дан именно тангенс.

Как быстро решать такие задания на экзамене: 1) отметьте угол; 2) подпишите, где противолежащий катет, а где прилежащий; 3) запишите формулу tg; 4) подставьте числа и аккуратно вычислите. Если делать так каждый раз, вероятность ошибки будет минимальной.

Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

sin угла = противолежащий катет / гипотенуза.

1) Сначала определим гипотенузу. В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла. Так как ∠C = 90°, то гипотенуза — это сторона AB.

2) Для угла A противолежащая сторона — это BC, потому что она лежит напротив вершины A.

3) Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

AB = √(AC² + BC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

4) Теперь вычислим синус угла A:

sin A = BC / AB = 8 / 10 = 4 / 5.

Ответ: 4/5.

Полезно помнить: часто ошибки возникают из-за путаницы между противолежащим и прилежащим катетом. Для синуса нужен именно противолежащий катет. Ещё одна типичная ошибка — взять в качестве гипотенузы не ту сторону. Всегда сначала найдите прямой угол: сторона напротив него и есть гипотенуза.

Используем определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

tg A = противолежащий катет / прилежащий катет.

Разберёмся, какие стороны относятся к углу A. Противолежащий катет к углу A — это сторона BC, а прилежащий катет — сторона AC.

По условию:

tg A = 3/4, значит

BC / AC = 3/4.

Подставляем известное значение BC = 12:

12 / AC = 3/4.

Теперь выразим неизвестную сторону. Умножим обе части на AC и затем на 4:

48 = 3AC.

Отсюда

AC = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала обязательно определяйте, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к данному углу.
• Не путайте тангенс с синусом и косинусом: здесь нужны только два катета, без гипотенузы.
• Если записали отношение верно, дальше задача сводится к обычному уравнению.

В таких задачах главное — правильно «увидеть» стороны относительно угла. После этого вычисления обычно очень простые.

Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

sin A = противолежащий катет / гипотенуза.

В нашем треугольнике угол A расположен так, что противолежащий ему катет — это BC, а гипотенуза — AB. Поэтому можно записать:

sin A = BC / AB.

Подставляем данные из условия:

3/5 = BC / 20.

Теперь найдём BC. Для этого умножим обе части равенства на 20:

BC = 20 · 3/5 = 12.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала определите, какой катет лежит напротив заданного угла.
• Не перепутайте синус с косинусом: sin всегда связан с противолежащим катетом.
• Если синус задан дробью, обычно нужно умножить гипотенузу на эту дробь, а не делить наоборот.

Полезный приём: если в ответе должен получиться целый катет, это хороший способ проверить себя. Здесь 20 · 3/5 действительно даёт целое число, значит вычисление выполнено верно.

Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

sin A = противолежащий катет / гипотенуза.

В треугольнике ABC угол C прямой, значит гипотенуза — это сторона AB. Для угла A противолежащий катет — это сторона BC. Поэтому можно записать:

sin A = BC / AB.

Подставим известные данные:

0{,}6 = BC / 15.

Теперь найдём BC. Для этого умножим обе части равенства на 15:

BC = 15 · 0{,}6 = 9.

Ответ: 9.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала обязательно определите, какая сторона лежит напротив данного угла.
• Не путайте синус с косинусом: sin связан с противолежащим катетом, а cos — с прилежащим.
• Если в формуле стоит дробь, чтобы найти катет, обычно нужно умножить синус на гипотенузу, а не делить.

Полезный алгоритм для таких задач: найти гипотенузу → определить противолежащий катет → записать формулу синуса → подставить числа → вычислить. Так вы быстро и без лишних ошибок решите типовое задание.