Повторные испытания (комбинаторика вероятностей): задания с ответами

Рассмотрим классическую схему: у каждого кубика по 6 равновозможных результатов, а броски независимы. Значит, все упорядоченные пары результатов можно считать равновероятными.

1. Найдём общее число исходов. У первого кубика 6 вариантов и у второго 6 вариантов. Тогда всего исходов:

6 · 6 = 36.

2. Перечислим благоприятные исходы. Нужно, чтобы сумма была равна 8. Подходящие упорядоченные пары:

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

Всего таких пар 5.

3. Найдём вероятность. По формуле классической вероятности:

P = 5/36.

В десятичной дроби это примерно 0,138888..., то есть с округлением до сотых:

0,14.

Почему важно считать именно упорядоченные пары? Потому что (2, 6) и (6, 2) — это разные исходы: на первом кубике выпало 2, на втором 6, и наоборот. Частая ошибка на ОГЭ — считать их одной парой и получить неверный ответ.

Как не потерять балл: сначала всегда находите общее число исходов, затем выписывайте все пары, дающие нужную сумму, и только после этого делите. Если в ответе требуется десятичная дробь, не забудьте округление.

Здесь нужно найти вероятность того, что одно и то же условие выполнится во всех повторных испытаниях. Это типичная задача на независимые испытания.

Шаг 1. Найдём вероятность успеха в одном испытании. Успехом считаем вытаскивание синего жетона. Всего жетонов 5, из них 2 синих, значит

P(синий в одном вытаскивании) = 2/5.

Шаг 2. Учтём, что испытания независимы. В условии сказано «с возвращением», значит после каждого вытаскивания жетон возвращают обратно. Поэтому состав жетонов не меняется, и вероятность в каждом испытании остаётся одинаковой.

Шаг 3. Перемножим вероятности. Чтобы все три раза выпал синий жетон, нужно, чтобы это событие произошло в 1-м, 2-м и 3-м испытании. Для независимых испытаний вероятности перемножаются:

P = (2/5) · (2/5) · (2/5) = (2/5)^3 = 8/125.

Ответ: 8/125.

Почему это важно для ОГЭ? В таких задачах часто путают умножение и сложение. Если событие должно произойти во всех испытаниях, вероятность нужно умножать, а не складывать. Ещё одна частая ошибка — забыть, что при вытаскивании с возвращением вероятность каждый раз одна и та же. Именно поэтому здесь можно использовать формулу p^n, где p — вероятность успеха в одном испытании, а n — число испытаний.

Здесь нужно найти вероятность одного и того же исхода в нескольких независимых испытаниях. Ключевые слова — «с возвращением» и «трижды подряд». Это означает, что после каждого вытаскивания шар возвращают обратно, поэтому состав урны не меняется, а значит, все испытания независимы.

Сначала найдём вероятность вытащить красный шар в одном испытании:

P(красный) = 3/8.

Теперь нужно, чтобы красный шар выпал три раза подряд. Для независимых событий вероятности перемножаются:

P = (3/8) · (3/8) · (3/8) = (3/8)³ = 27/512.

Вычислим десятичную дробь:

27/512 = 0,052734375.

По условию надо округлить до тысячных. Смотрим на четвёртую цифру после запятой: это 7, значит округляем вверх.

Ответ: 0,053.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• если сказано «с возвращением», то испытания обычно независимы;
• если событие должно произойти во всех испытаниях, вероятность нужно умножать, а не складывать;
• не забудьте выполнить округление именно до той точности, которая указана в задаче.

Типичная ошибка — написать 3/8 + 3/8 + 3/8. Так делать нельзя, потому что это не «одно из событий», а все три раза подряд.

Рассмотрим два независимых броска обычного кубика. У каждого броска 6 равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1. Сколько всего исходов эксперимента?
Так как бросков два и они независимы, общее число упорядоченных пар равно:

6 · 6 = 36.

Это очень важный момент: пары считаются упорядоченными, то есть (2, 6) и (6, 2) — это разные исходы.

2. Какие пары дают сумму 8?
Перечислим все подходящие пары:

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

Всего таких пар 5.

3. Находим вероятность
По классическому определению вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов:

P = 5/36.

Вычислим десятичную дробь:

5/36 = 0,138888...

Округляем до тысячных:

0,139.

Ответ: 0,139.

Как не потерять баллы на ОГЭ:

1) Сначала всегда находите общее число исходов: для двух кубиков это 6 · 6.
2) Потом перечисляйте только те пары, которые дают нужную сумму.
3) Не забывайте, что порядок важен.
4) Если в ответе требуется округление, обязательно округляйте по правилам, а не просто обрывайте дробь.

Такие задачи решаются быстро, если сразу записать все пары, дающие нужную сумму, и не пытаться считать «на глаз».

Решим задачу по шагам. Здесь важно понять, что вытаскивание с возвращением означает: после первого опыта шар возвращают обратно, поэтому вероятность каждого вытаскивания не меняется. Испытания независимы.

1. Найдём вероятность успеха в одном испытании. Успехом считаем выпадение красного шара. Всего шаров 5, из них 1 красный, значит

P(красный) = 1/5, а P(не красный) = 4/5.

2. Поймём, что значит «ровно один раз». За два вытаскивания красный шар должен появиться либо:

• сначала красный, потом не красный;
• сначала не красный, потом красный.

Таких случаев 2, и каждый из них имеет вероятность (1/5)·(4/5).

Тогда общая вероятность:

P = 2 · (1/5) · (4/5) = 8/25 = 0.32.

3. Округление. Число уже записано с точностью до сотых, поэтому ответ:

0.32.

Как можно быстро решать такие задачи на ОГЭ:

1. Найти вероятность «успеха» в одном испытании.
2. Определить, сколько испытаний всего.
3. Для «ровно один успех» умножить число возможных позиций успеха на вероятность одной подходящей последовательности.

Частые ошибки:

• забывают, что испытания независимы только при вытаскивании с возвращением;
• считают только один случай, например «красный, потом не красный», и забывают про второй порядок;
• не округляют ответ так, как требуется в условии.

Рассмотрим задачу по шагам. При каждом подбрасывании монеты есть два равновероятных исхода: орёл или решка. Значит, вероятность орла в одном испытании равна 1/2, и все 4 подбрасывания независимы.

Нам нужно найти вероятность события «ровно 3 орла из 4». Это значит, что подходит не один-единственный вариант, а несколько последовательностей. Например:

• ОООР
• ООРО
• ОРОО
• РООО

Здесь буква О означает орёл, а Р — решка. Таких последовательностей 4, потому что нужно выбрать, в каком именно из 4 бросков окажется решка. Это можно сделать 4 способами.

Общее число всех возможных исходов при 4 подбрасываниях равно 2⁴ = 16, потому что в каждом броске по 2 варианта.

Тогда вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

4/16 = 1/4.

Ответ: 1/4.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте «ровно 3» и «не менее 3». Здесь нужны только случаи с тремя орлами, а не с тремя или четырьмя.
• Не забывайте считать все подходящие последовательности, а не только одну.
• Если испытания независимы и исходов по 2 в каждом испытании, удобно сначала найти общее число исходов как 2ⁿ.

В таких задачах всегда полезно действовать по одному и тому же алгоритму: сначала общее число исходов, потом число благоприятных, затем деление.

Решаем задачу по классической схеме для двух независимых испытаний.

1. Сколько всего равновозможных исходов?
У каждого кубика 6 вариантов. Так как кубики бросают независимо, общее число упорядоченных пар равно:

6 · 6 = 36.

Важно не забыть, что исходы вида (2;5) и (5;2) — это разные исходы, потому что у первого кубика выпало 2, а у второго 5, и наоборот.

2. Какие исходы подходят под условие «сумма больше 8»?
Нужно перечислить пары, у которых сумма равна 9, 10, 11 или 12:

• 9: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) — 4 исхода;
• 10: (4;6), (5;5), (6;4) — 3 исхода;
• 11: (5;6), (6;5) — 2 исхода;
• 12: (6;6) — 1 исход.

Всего благоприятных исходов: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

3. Находим вероятность.
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов:

P = 10/36 = 5/18 ≈ 0,2777...

Округляем до сотых: 0,28.

Ответ: 0,28.

Как избежать ошибок на ОГЭ:

• сначала находите общее число исходов, а не только подходящие;
• не забывайте считать пары как упорядоченные;
• проверяйте, что условие «больше 8» означает именно 9, 10, 11, 12;
• после вычислений обязательно округляйте по требованию.

Здесь важно узнать, что испытания независимы: после каждого вытаскивания жетон возвращают обратно, значит состав набора не меняется. Поэтому вероятность вытянуть синий жетон в каждом испытании одна и та же.

Шаг 1. Найдём вероятность одного удачного исхода. Синих жетонов 3, всего жетонов 8. Значит, в одном испытании

P(синий) = 3/8.

Шаг 2. Используем правило для независимых событий. Если одно и то же событие должно произойти во всех 4 испытаниях, вероятности перемножаются:

P = (3/8) · (3/8) · (3/8) · (3/8) = (3/8)⁴.

Считаем:

(3/8)⁴ = 81/4096 = 0.019775390625.

Шаг 3. Округлим до тысячных. Получаем 0.020.

Ответ: 0.020.

Как не потерять баллы на ОГЭ: если испытания повторяются и каждый раз нужно одно и то же событие, почти всегда нужно умножать вероятности, а не складывать. Сложение используют для событий типа «или», а здесь нужно «и во всех испытаниях». Ещё одна частая ошибка — забыть про возвращение жетона и начать менять вероятность после каждого шага. В этой задаче этого делать нельзя: из-за возвращения вероятность каждый раз остаётся 3/8.

Нужно найти вероятность того, что в каждом из трёх независимых бросков выполнится одно и то же свойство: выпадет число, кратное 3.

На обычной игральной кости числа, кратные 3, — это 3 и 6. Значит, в одном броске благоприятных исходов 2, а всего исходов 6.

Вероятность такого события в одном броске:

P = 2/6 = 1/3.

Теперь используем главное правило для независимых повторных испытаний: вероятности перемножаются. Если событие должно произойти 3 раза подряд, то:

(1/3) · (1/3) · (1/3) = (1/3)³ = 1/27.

Итак, искомая вероятность равна 1/27.

Почему нельзя складывать? Сложение вероятностей используют, когда нужно событие или другое. А здесь требуется, чтобы событие произошло во всех бросках сразу, поэтому нужно умножение.

Частая ошибка — взять только вероятность одного броска, то есть 1/3. Но это вероятность лишь для одного испытания, а не для трёх подряд.

Ещё один удобный способ проверки: можно мыслить так: каждый бросок имеет 2 подходящих исхода из 6, значит для трёх бросков благоприятных исходов будет 2·2·2 = 8, а всего исходов 6·6·6 = 216. Тогда

8/216 = 1/27.

Оба способа дают один и тот же ответ.

Сначала найдём, сколько шаров всего в мешке:

3 + 4 + 5 = 12.

Так как шар возвращают обратно, оба вытягивания независимы: после первого опыта состав мешка не меняется. Это очень важная подсказка, потому что тогда вероятность каждого события считается отдельно и затем перемножается.

Вероятность того, что первым будет красный шар:

P(красный) = 3/12 = 1/4.

Вероятность того, что вторым будет синий шар:

P(синий) = 4/12 = 1/3.

Нужна именно пара результатов в заданном порядке: сначала красный, потом синий. Поэтому перемножаем вероятности:

P = 1/4 · 1/3 = 1/12.

Теперь переведём дробь в десятичную дробь:

1/12 = 0,08333...

Округляем до сотых:

0,08.

Ответ: 0,08.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Если сказано «с возвращением», вероятность во втором испытании не меняется.
• Если требуется пара результатов, обязательно учитывайте порядок: «сначала... затем...» — это не то же самое, что «оба этих шара в любом порядке».
• Не забывайте округлять ответ по условию.

Частая ошибка: некоторые ученики складывают вероятности вместо умножения или берут вероятность только одного из событий. Для последовательных независимых испытаний нужно использовать правило: вероятность совместного события равна произведению вероятностей.

Рассмотрим задачу по шагам. В каждом броске четырёхгранного кубика возможны 4 равновозможных результата: 1, 2, 3, 4. Броски независимы, значит, каждый результат первого броска можно сочетать с каждым результатом второго броска.

1. Найдём общее число исходов.
Всего пар результатов будет:

4 × 4 = 16.

Это все упорядоченные пары вида (первый бросок, второй бросок).

2. Выпишем пары, в которых сумма больше 5.
Нас интересуют суммы 6, 7 и 8.

• Сумма 6: (2,4), (3,3), (4,2) — 3 исхода.
• Сумма 7: (3,4), (4,3) — 2 исхода.
• Сумма 8: (4,4) — 1 исход.

Всего благоприятных исходов:

3 + 2 + 1 = 6.

3. Найдём вероятность.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех исходов:

6/16 = 3/8 = 0,375.

По условию нужно округлить до сотых:

0,375 ≈ 0,38.

Ответ: 0,38.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не забывайте, что пары (2,4) и (4,2) — это разные исходы, потому что броски различаются по порядку.
• Если в задаче сказано «больше 5», нужно учитывать только суммы 6, 7, 8, а не 5 и не меньше.
• Сначала всегда находите общее число исходов, а потом — благоприятные.
• В конце обязательно проверяйте округление: 0,375 округляется до 0,38, а не до 0,37.

Такой способ решения типичен для задач на повторные испытания: составить все равновозможные пары, выбрать подходящие и разделить их число на общее количество пар.

Это задача на повторные независимые испытания: каждый бросок монеты не зависит от остальных, а у каждого броска два равновозможных исхода — орёл или решка. Нас спрашивают вероятность того, что ровно 2 раза выпадет орёл из 5 бросков.

Шаг 1. Найдём общее число всех возможных последовательностей.
У каждого броска 2 варианта, значит всего последовательностей:

2⁵ = 32.

Шаг 2. Посчитаем число благоприятных исходов.
Нужно выбрать, в каких именно 2 из 5 бросков выпадет орёл. Количество таких способов равно числу сочетаний:

C₅² = 10.

Шаг 3. Составим вероятность.
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех исходов:

P = C₅² / 2⁵ = 10 / 32 = 5 / 16.

Ответ: 5/16.

Почему именно так?
В задачах на «ровно k успехов» важно не просто знать, сколько раз успех произошёл, а ещё учитывать, на каких местах он произошёл. Именно поэтому появляется сочетание C_n^k: оно считает способы выбрать позиции успехов среди всех испытаний.

Частые ошибки:

• путают число благоприятных исходов с вероятностью;
• забывают, что нужно выбрать именно позиции успехов;
• делят на 5 вместо 2⁵, хотя всего последовательностей 32;
• считают только один конкретный вариант, например «ООРРР», и забывают про все перестановки.

Как быстро решать такие задачи на ОГЭ:

1. Определи число испытаний n.
2. Найди, сколько раз должен случиться успех k.
3. Вычисли C_n^k.
4. Раздели на 2ⁿ.

В этой задаче получилось C₅²/2⁵ = 5/16.