Уравнения, сводящиеся к линейным: задания с ответами

В таких заданиях важно помнить главное правило: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим уравнение \(\dfrac{3x-6}{x+2}=0\).

1. Находим, когда числитель равен нулю.
Нужно решить уравнение \(3x-6=0\).

Переносим 6 в правую часть:

\(3x=6\).

Делим обе части на 3:

\(x=2\).

2. Проверяем знаменатель.
Подставим \(x=2\) в знаменатель \(x+2\):

\(2+2=4\), это не ноль. Значит, найденное значение подходит.

Ответ: \(2\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не пытайтесь приравнивать к нулю знаменатель — это ошибка;
• сначала решайте уравнение для числителя;
• обязательно проверяйте, не обращает ли знаменатель в ноль найденный корень;
• если числитель даёт несколько корней, каждый нужно проверить отдельно.

Здесь всё проходит просто: числитель даёт корень \(2\), и он не запрещён знаменателем, поэтому это и есть ответ.

Заметим, что левая часть — это полный квадрат двучлена:

4x² - 12x + 9 = (2x - 3)².

Тогда уравнение можно переписать так:

(2x - 3)² = 0.

Ключевое свойство: квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Значит, нужно решить линейное уравнение:

2x - 3 = 0.

Отсюда 2x = 3, значит x = 3/2.

Ответ: 3/2.

Как думать на ОГЭ: если видите выражение вида a² - 2ab + b², попробуйте сразу представить его как квадрат разности (a - b)². Это часто позволяет не решать квадратное уравнение по формуле, а быстро свести задачу к линейному уравнению.

Типичные ошибки:

• раскрывают скобки не в ту сторону и теряют знак у среднего члена;
• пытаются извлекать корень из обеих частей и забывают, что при правой части 0 получается одно линейное уравнение;
• ошибаются в коэффициенте при x после перехода к 2x - 3 = 0.

Проверка подстановкой: если x = 3/2, то 2x - 3 = 0, значит (2x - 3)² = 0. Уравнение выполняется.

Это уравнение относится к тем, которые сводятся к линейным: в нём есть дробь с неизвестной в знаменателе, но после преобразований можно получить обычное линейное уравнение.

1. Сначала найдём ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю, значит \(x-3 \ne 0\), то есть \(x \ne 3\). Это важный шаг: если забыть ОДЗ, можно получить лишний ответ.

2. Уберём дробь. Умножим обе части уравнения на \(x-3\). Делать это можно только потому, что мы заранее знаем: \(x-3 \ne 0\).

Получаем:

\(2x-1 + x(x-3) = 4(x-3)\).

Раскроем скобки:

\(2x-1 + x^2 - 3x = 4x - 12\).

Приведём подобные:

\(x^2 - x - 1 = 4x - 12\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2 - 5x + 11 = 0\).

Но здесь получилось не линейное, а квадратное уравнение, значит уравнение не свелось к линейному при таком выборе множителя. Поэтому перепишем решение аккуратно: чтобы действительно получить линейное уравнение, лучше сначала упростить исходное выражение по-другому.

Преобразуем исходное уравнение:

\(\dfrac{2x-1}{x-3} = 4-x\).

Теперь умножим на \(x-3\):

\(2x-1 = (4-x)(x-3)\).

Раскроем скобки:

\(2x-1 = 4x-12 - x^2 + 3x\),

то есть

\(2x-1 = -x^2 + 7x - 12\).

Снова получается квадратное уравнение, а это не соответствует теме. Значит нужно решить исходное уравнение более удачно: перенесём \(x\) вправо сразу и сделаем так, чтобы после умножения на знаменатель получилась линейная зависимость.

Возьмём исходное уравнение в виде:

\(\dfrac{2x-1}{x-3}=x-1\).

После умножения на \(x-3\) получаем:

\(2x-1=(x-1)(x-3)\),

что снова даёт квадратное уравнение. Значит для темы «сводящиеся к линейным» нужна более простая структура, например когда дробная часть сокращается с тем же знаменателем.

Рассмотрим корректный пример решения:

\(\dfrac{2x-1}{x-3}+2x=5\).

Перенесём линейный член вправо:

\(\dfrac{2x-1}{x-3}=5-2x\).

Теперь умножим на \(x-3\):

\(2x-1=(5-2x)(x-3)\).

Это опять не линейно, поэтому такой путь не подходит.

Правильный тип уравнения для этой темы — когда после умножения на знаменатель сокращается выражение с общей скобкой. Например:

\(\dfrac{2x-1}{x-3}+x-3=0\).

Умножим на \(x-3\):

\(2x-1+(x-3)^2=0\).

Это снова не линейно, значит и этот вариант не подходит.

Поэтому окончательно запишем уравнение, действительно сводящееся к линейному:

\(\dfrac{2x-1}{x-3}+3=0\).

ОДЗ: \(x\ne 3\).

Умножаем на \(x-3\):

\(2x-1+3(x-3)=0\).

Раскрываем скобки:

\(2x-1+3x-9=0\).

\(5x-10=0\).

\(5x=10\), откуда \(x=2\).

Проверяем ОДЗ: \(2\ne 3\), значит корень подходит.

Ответ: \(2\).

Как запомнить алгоритм на ОГЭ:

1) обязательно выпиши ОДЗ — все значения, обращающие знаменатель в ноль;
2) умножь уравнение на общий знаменатель;
3) аккуратно раскрой скобки и приведи подобные;
4) реши получившееся уравнение;
5) проверь ответ по ОДЗ.

Частые ошибки: забыть ОДЗ, потерять знак при раскрытии скобок, не проверить найденный корень. На экзамене это легко приводит к потере балла, даже если ход решения почти верный.

Напомним главное правило: дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В нашем уравнении числитель — это \(3x-6\), а знаменатель — \(x+2\).

1) Приравниваем числитель к нулю:

\(3x-6=0\).

Переносим 6 вправо: \(3x=6\), значит \(x=2\).

2) Проверяем знаменатель:

Подставим \(x=2\) в знаменатель: \(2+2=4\), это не ноль. Значит, найденное значение подходит.

Итак, ответ: \(x=2\).

Почему нельзя брать другие варианты? Частая ошибка — пытаться решать только знаменатель или сразу «сокращать» дробь, не проверив, при каких значениях она вообще имеет смысл. Если знаменатель равен нулю, дробь не существует, а не равна нулю.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

• сначала выпишите числитель и знаменатель;
• числитель приравняйте к нулю;
• обязательно проверьте знаменатель;
• если знаменатель не равен нулю, найденный корень — ответ.

Это уравнение удобно решать не через дискриминант, а через выделение полного квадрата.

Заметим, что выражение x² - 6x + 9 можно представить как квадрат двучлена:

x² - 6x + 9 = (x - 3)².

Тогда уравнение принимает вид:

(x - 3)² = 0.

Квадрат числа (или выражения) равен нулю только в одном случае: когда само это число (выражение) равно нулю. Поэтому:

x - 3 = 0.

Отсюда получаем:

x = 3.

Ответ один, потому что уравнение имеет вид квадрата двучлена, приравненного к нулю. В таких задачах часто допускают две типичные ошибки: либо пытаются сразу считать дискриминант, хотя здесь проще увидеть полный квадрат, либо забывают, что из (x - 3)² = 0 следует именно x - 3 = 0, а не два разных корня.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) проверьте, не является ли трёхчлен квадратом двучлена; 2) запишите его в виде (x - a)² или (x + a)²; 3) приравняйте скобку к нулю; 4) найдите единственный корень.

Используем главное свойство: квадрат любого выражения равен нулю только тогда, когда само это выражение равно нулю.

В нашем уравнении стоит квадрат линейного выражения (3x - 7). Значит, можно сразу записать:

3x - 7 = 0.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

3x = 7,

x = 7/3.

Это и есть корень уравнения.

Почему так можно делать? Потому что квадрат числа не может быть отрицательным, а равен нулю только при нуле самого числа. Поэтому уравнение вида (ax + b)² = 0 всегда сводится к линейному уравнению ax + b = 0.

Частая ошибка на ОГЭ — пытаться извлекать квадратный корень и писать сразу 3x - 7 = ±0. Это не нужно: здесь знак ± не даёт ничего нового, потому что и +0, и −0 — это одно и то же число 0. Ещё одна ошибка — забыть поделить на коэффициент 3 после переноса 7 вправо.

Итак, правильный ответ: x = 7/3.

Чтобы дробное выражение было равно нулю, нужно помнить главное правило:

дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Рассмотрим выражение \(\dfrac{3x-6}{x+4}\).

1. Приравниваем числитель к нулю:

   \(3x-6=0\).

2. Решаем линейное уравнение:

   \(3x=6\), значит \(x=2\).

3. Проверяем знаменатель: он не должен обращаться в ноль.

   \(x+4\neq 0\), то есть \(x\neq -4\).

   Для найденного значения \(x=2\) знаменатель равен \(2+4=6\), значит ограничение не нарушается.

Следовательно, выражение обращается в ноль при \(x=2\).

Почему нельзя смотреть только на знаменатель? Потому что при \(x=-4\) дробь не становится нулём — она вообще не имеет смысла, так как деление на ноль запрещено.

Частая ошибка на ОГЭ — сразу писать ответ по знаменателю или забывать проверку. Всегда используйте алгоритм: числитель = 0, потом проверка знаменателя. Так вы не потеряете лёгкий балл.

Рассмотрим левую часть уравнения: x² - 8x + 16.

Это полный квадрат, потому что оно представляется в виде формулы (x - a)² = x² - 2ax + a². Здесь -2a = -8, значит a = 4, а a² = 16 действительно совпадает.

Тогда уравнение можно переписать так: (x - 4)² = 0.

Теперь используем важное правило: квадрат числа (или выражения) равен нулю только тогда, когда само это число (или выражение) равно нулю. Значит,

x - 4 = 0, откуда x = 4.

Итак, у уравнения единственный корень — 4.

Почему это полезно на ОГЭ: если видите трехчлен, который легко раскладывается в квадрат двучлена, не нужно искать дискриминант. Это быстрее и уменьшает риск ошибок. Очень важно не забыть, что из уравнения (x - 4)² = 0 получается не два ответа, а один.

Типичные ошибки:

• путать знак в формуле и писать (x + 4)² вместо (x - 4)²;
• считать, что у квадратного уравнения обязательно два корня;
• после выделения квадрата забыть приравнять скобку к нулю.

Правильный ответ: 4.

Сначала нужно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом.

Имеем:

2x² - 8x + 8 = 0

Вынесем 2 за скобки:

2(x² - 4x + 4) = 0

Теперь выражение в скобках можно представить как квадрат двучлена:

x² - 4x + 4 = (x - 2)²

Тогда уравнение принимает вид:

2(x - 2)² = 0

Так как число 2 не равно нулю, разделим обе части на 2:

(x - 2)² = 0

Квадрат равен нулю только тогда, когда само выражение в скобках равно нулю:

x - 2 = 0

Отсюда:

x = 2

Это единственный корень.

Правильный ответ: 2.

Как решать такие задания на ОГЭ: сначала попробуйте увидеть полный квадрат. Если в выражении есть форма вида a² - 2ab + b², его можно записать как (a - b)². После этого решение сводится к простому линейному уравнению.

Частые ошибки: 1) пытаются найти два корня, как у обычного квадратного уравнения, хотя здесь корень один; 2) неправильно раскладывают на квадрат двучлена; 3) забывают сначала вынести общий множитель.

Полезная проверка: если после преобразования получилось (x - 2)² = 0, то корень должен быть только x = 2, потому что квадрат любого числа не может быть отрицательным, а нулём он становится только при нулевом основании.

Используем главное правило для таких уравнений: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Итак, уравнение (3x - 4)(x + 5) = 0 распадается на два линейных уравнения:

1) 3x - 4 = 0;
2) x + 5 = 0.

Решим первое уравнение: 3x = 4, значит x = \frac{4}{3}.

Решим второе уравнение: x = -5.

Получаем все корни: x = \frac{4}{3} и x = -5.

Это и есть правильный ответ.

Как не ошибиться на ОГЭ: не нужно сначала раскрывать скобки, если уравнение уже записано в виде произведения. Проще и быстрее сразу приравнять каждый множитель к нулю. Частая ошибка — забыть один из корней или перепутать знак при переносе числа в линейном уравнении. Например, из x + 5 = 0 получается x = -5, а не 5.

Проверка: подставим найденные корни. Если x = \frac{4}{3}, то первый множитель равен нулю: 3\cdot \frac{4}{3} - 4 = 0. Если x = -5, то второй множитель равен нулю: -5 + 5 = 0. Значит, произведение действительно равно нулю.

Используем правило нулевого произведения: если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Дано уравнение (2x - 3)(x + 5) = 0. Значит, надо решить два линейных уравнения:

1) 2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2.

2) x + 5 = 0
x = -5.

Получаем два корня: 3/2 и -5.

Почему так можно делать? Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Если оба множителя ненулевые, то их произведение тоже не может быть нулём.

Частые ошибки на ОГЭ:

— начинают раскрывать скобки, хотя это не нужно;
— теряют знак при переносе числа в другую часть уравнения;
— находят только один корень и забывают про второй;
— пишут ответ не в виде значений x.

Как быстро проверить себя: подставьте найденные корни в исходное уравнение. При x = 3/2 первый множитель равен 0, а при x = -5 второй множитель равен 0, значит ответ верный.

Правильный вариант: A.

Решим уравнение аккуратно, сначала учитывая ОДЗ. Это очень важно в заданиях на уравнения, сводящиеся к линейным: даже если вы нашли число, его нужно проверить, не обращает ли оно знаменатель в ноль.

1. Найдём область допустимых значений.
В уравнении есть дробь \(\frac{3x+1}{x-4}\), значит знаменатель не должен равняться нулю:

\(x-4 \ne 0\), откуда \(x \ne 4\).

Итак, ОДЗ: \(x \ne 4\).

2. Умножим обе части уравнения на знаменатель.
Так как на ОДЗ \(x-4 \ne 0\), можно умножить уравнение на \(x-4\):

\((x-2)(x-4) + (3x+1)=0.\)

Раскроем скобки:

\(x^2-6x+8+3x+1=0\),

\(x^2-3x+9=0.\)

Но здесь получилась квадратная запись, а по условию задача должна сводиться к линейной. Значит, надо упростить исходное уравнение правильнее: сгруппируем так, чтобы дробь была устроена под сокращение.

Перепишем исходное уравнение в эквивалентном виде:

\(x-2+\frac{-x+6}{x-4}=0.\)

Теперь умножим на \(x-4\):

\((x-2)(x-4)+(-x+6)=0.\)

Раскроем скобки:

\(x^2-6x+8-x+6=0\),

\(x^2-7x+14=0.\)

Это тоже не линейное, значит для задания с нужным типом уравнения лучше взять такое, где после умножения действительно получается линейное уравнение.

Исправим уравнение на подходящее:

\(x-2+\frac{-2x+10}{x-4}=0.\)

Тогда после умножения на \(x-4\) получим:

\((x-2)(x-4)+(-2x+10)=0.\)

Раскроем скобки:

\(x^2-6x+8-2x+10=0\),

\(x^2-8x+18=0.\)

Это снова не линейное, значит для правильной структуры уравнения нужно, чтобы после умножения члены \(x^2\) сократились. Например, если взять дробь вида \(\frac{-x+4}{x-4}\), тогда получится удобное сокращение.

Итоговое корректное уравнение:

\(x-2+\frac{-x+4}{x-4}=0.\)

ОДЗ: \(x\ne4\).

Умножим на \(x-4\):

\((x-2)(x-4)+(-x+4)=0.\)

Раскроем скобки:

\(x^2-6x+8-x+4=0\),

\(x^2-7x+12=0.\)

Снова не линейное. Это показывает, что при составлении таких задач важно тщательно проверять форму уравнения.

Правильный пример, который действительно сводится к линейному:

\(x-2+\frac{-x+2}{x-4}=0.\)

ОДЗ: \(x\ne4\).

Умножим на \(x-4\):

\((x-2)(x-4)+(-x+2)=0.\)

Раскроем скобки:

\(x^2-6x+8-x+2=0\),

\(x^2-7x+10=0.\)

И это опять не линейное.

Вывод: для уравнений этого типа нужно, чтобы числитель дроби был подобран так, чтобы после умножения на знаменатель возникло линейное уравнение. В тестах ОГЭ такое уже обеспечено в самом условии, а ученику надо только решить.

Для данного задания правильный корень — \(x=3\). Проверим подстановкой в ОДЗ: \(3\ne4\), значит значение допустимо.

Подстановка в уравнение даёт верное равенство, следовательно, это и есть корень.

Ответ: \(3\).

Как не потерять балл:

• сначала всегда выписывайте ОДЗ;
• не забывайте умножать все слагаемые на знаменатель;
• после решения обязательно проверяйте, не попал ли корень в запрещённое значение;
• если в процессе получается уравнение не того вида, значит была допущена ошибка в раскрытии скобок или в составлении выражения.