Обратная пропорциональность: y = k / x: задания с ответами

Решаем задание по шагам, ориентируясь не на «похожесть на глаз», а на признаки графиков.

1. График A

Это парабола, потому что график имеет U-образную форму и ветви направлены вверх. Вершина находится в точке (1; −2). Значит, это график функции вида y = (x − 1)² − 2. Это формула 2.

2. График B

Это прямая. Она проходит через точки (0; 2) и (2; 0). У прямой при увеличении x значение y уменьшается, значит наклон отрицательный. Если подставить точки в формулу y = 2 − x, получим: при x = 0 имеем y = 2, при x = 2 имеем y = 0. Совпадает. Это формула 1.

3. График C

Это гипербола вида y = k/x. Указано, что график расположен в I и III четвертях, значит коэффициент k положительный. Проверим точки: при x = 1 получаем y = 2, при x = 2 получаем y = 1. Это соответствует формуле y = 2/x. Значит, это формула 3.

4. График D

Это график функции квадратного корня: начинается в точке (0; 0), определён только при x ≥ 0 и медленно возрастает. Точки (1; 1) и (4; 2) подходят к формуле y = √x. Это формула 4.

Итак, соответствие такое: A — 2, B — 1, C — 3, D — 4. Правильный ответ — вариант B.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала определяйте вид графика: прямая, парабола, гипербола, корень.

• Потом проверяйте характерные точки: вершину параболы, точки пересечения с осями, опорные точки.

• Не путайте прямую y = 2 − x с параболой: у прямой одна линия, у параболы есть вершина и две ветви.

• Для y = k/x важно помнить: если k > 0, ветви лежат в I и III четвертях; если k < 0 — во II и IV.

Такие задания на графики часто решаются быстро, если сначала узнать тип функции, а потом уже сравнить числа.

Решать такие задания удобно по шагам: сначала определить вид графика, затем проверить опорные точки.

1. График A — прямая через точки (0; 1) и (2; 5).
Найдём наклон: при увеличении x на 2 значение y увеличилось на 4, значит угловой коэффициент равен 2. Это прямая вида y = 2x + b. Так как при x = 0 получаем y = 1, значит b = 1. Поэтому A соответствует формуле 1) y = 2x + 1.

2. График B — парабола с вершиной (1; -2), ветви вверх.
Функция с такой вершиной имеет вид y = (x - 1)² - 2. Действительно, в записи (x - a)² + b вершина находится в точке (a; b). Значит B соответствует 2).

3. График C — гипербола в I и III четвертях, проходит через (2; 2).
Для обратной пропорциональности график имеет вид y = k/x. Если точка (2; 2) лежит на графике, то 2 = k/2, откуда k = 4. Значит C соответствует 3) y = 4/x.

4. График D — убывающая прямая через точки (0; 3) и (3; 0).
Это прямая с отрицательным наклоном. По точкам видно, что при x = 0 y = 3, а при x = 3 y = 0, то есть уравнение y = -x + 3. Значит D соответствует 4).

Итак, верное соответствие: A–1, B–2, C–3, D–4. Это вариант A.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала узнавайте тип графика: прямая, парабола, гипербола;
• для прямой используйте две точки и проверяйте свободный член;
• для параболы запоминайте: y = (x - a)² + b — вершина в точке (a; b);
• для гиперболы проверяйте хотя бы одну точку, чтобы найти коэффициент k;
• не путайте знак: убывающая прямая имеет отрицательный коэффициент при x.

Для функции обратной пропорциональности y = k / x каждая точка графика удовлетворяет этому равенству. Это значит, что если известны координаты любой точки графика, то коэффициент k можно найти по формуле:

k = x · y.

Подставим координаты точки A(4; -3):

k = 4 · (-3) = -12.

Ответ: -12.

Почему именно так? У функции y = k / x произведение x и y для любой точки графика всегда одно и то же и равно k. Поэтому не нужно искать какие-то дополнительные точки или строить график заново — достаточно взять координаты отмеченной точки.

Частые ошибки:

• путают координаты и считают k = x + y вместо k = x · y;
• забывают про знак числа: здесь -3, значит произведение будет отрицательным;
• берут только одну координату и пытаются угадать k без формулы.

Как проверять себя на ОГЭ: если точка действительно лежит на графике y = k / x, то после нахождения k можно быстро проверить: y = -12 / 4 = -3. Всё совпадает, значит ответ верный.

Для функции обратной пропорциональности y = k/x коэффициент k можно найти, если известна любая точка графика. Главная связь такая: для любой точки, лежащей на графике, выполняется равенство k = x · y.

У нас дана точка A(3; -4). Это значит, что x = 3, y = -4. Подставим эти значения в формулу:

k = 3 · (-4) = -12.

Значит, искомый коэффициент равен -12.

Почему так можно делать? Если точка лежит на графике функции y = k/x, то её координаты удовлетворяют уравнению. Поэтому вместо букв x и y можно подставить координаты точки и найти k.

Частые ошибки:

• путают координаты местами и считают k = y · x не так, как нужно по знакам; на самом деле порядок не важен, потому что x · y = y · x, но важно правильно взять именно координаты точки;
• забывают про минус: 3 · (-4) = -12, а не 12;
• пытаются сразу угадать k по рисунку, не используя формулу.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: 1) прочитать координаты отмеченной точки; 2) умножить x на y; 3) аккуратно записать ответ с учётом знака. Это самый надёжный способ не потерять лёгкий балл.

Для функции вида \(y = \dfrac{k}{x}\) знак коэффициента \(k\) можно определить по тому, в каких четвертях расположен график.

Если \(k > 0\), то значения \(x\) и \(y\) имеют один и тот же знак: при \(x > 0\) получаем \(y > 0\) (первая четверть), а при \(x < 0\) получаем \(y < 0\) (третья четверть). Значит, при положительном \(k\) ветви гиперболы лежат в первой и третьей четвертях.

Если же \(k < 0\), то \(x\) и \(y\) имеют разные знаки: при \(x > 0\) будет \(y < 0\) (четвёртая четверть), а при \(x < 0\) будет \(y > 0\) (вторая четверть). Значит, при отрицательном \(k\) ветви расположены во второй и четвёртой четвертях.

В задаче график расположен именно во второй и четвёртой четвертях, значит \(k < 0\).

Ответ: коэффициент \(k\) отрицательный.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

• запомните два стандартных случая: \(k > 0\) — I и III четверти, \(k < 0\) — II и IV четверти;
• не пытайтесь искать координаты точек, если вопрос только о знаке параметра;
• сначала определите, в каких четвертях лежат ветви, а потом сразу сопоставьте с правилом.

Частые ошибки:

• путать I и IV четверти или II и III четверти;
• считать, что если график “сверху и снизу”, то знак можно угадать без проверки четвертей;
• забывать, что у гиперболы ветви всегда находятся в противоположных по диагонали четвертях.

Это типовое задание, где достаточно одного правильного наблюдения: расположение ветвей полностью определяет знак \(k\).

Нужно узнать обратную пропорциональность по виду графика. Для функции вида y = k/x график — это гипербола.

Главный признак здесь такой: если k > 0, то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях; если k < 0, то в II и IV четвертях.

В условии у графика A ветви находятся в I и III четвертях, значит коэффициент k положительный. Из предложенных формул этому соответствует y = 2/x.

Почему не подходят другие варианты:

• y = 3x — это линейная функция, её график прямая, а не гипербола;
• y = x^2 — это парабола, она выглядит совсем иначе;
• y = -2/x — тоже гипербола, но её ветви были бы во II и IV четвертях из-за отрицательного коэффициента.

Как решать такие задания на ОГЭ быстро:

1. Сначала определите тип графика: прямая, парабола или гипербола.
2. Если это гипербола, посмотрите, в каких четвертях лежат ветви.
3. Сразу определите знак k: в I и III четвертях — положительный, во II и IV — отрицательный.
4. Потом выберите формулу вида y = k/x с нужным знаком.

Частая ошибка — перепутать знак коэффициента или принять гиперболу за параболу. На экзамене достаточно посмотреть на форму графика и расположение ветвей, точные вычисления здесь не нужны.

Функция обратной пропорциональности имеет вид y = \frac{k}{x}, где k \neq 0. Её график — гипербола. Главное, что нужно помнить для ОГЭ: по виду графика можно определить не точное значение k, а тип функции и знак коэффициента.

Если k > 0, то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Это связано с тем, что при положительном k числа x и y имеют одинаковые знаки: при положительном x значение y тоже положительное, а при отрицательном x значение y отрицательное.

Кроме расположения ветвей, у такой функции есть ещё два важных признака:

• график не пересекает оси координат;
• оси являются асимптотами: при приближении x к нулю модуль y очень возрастает, а при больших по модулю x график приближается к оси Ox.

Поэтому правильный ответ — тот рисунок, где изображена гипербола с ветвями в I и III четвертях. Остальные варианты можно отсеять по форме: прямая — это линейная функция, парабола — квадратичная функция, а гипербола с ветвями во II и IV четвертях соответствует случаю k < 0.

Как не ошибиться на экзамене: сначала смотрите не на числа, а на форму графика и на то, в каких четвертях лежат ветви. Если это две отдельные ветви, которые приближаются к осям, то почти наверняка перед вами функция вида y = \frac{k}{x}. Затем определяйте знак k по четвертям.

Функция вида y = k/x называется функцией обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Чтобы распознать такую функцию по рисунку, нужно смотреть не на точные значения, а на характерные признаки графика.

В нашей задаче дана функция y = -3/x. Здесь коэффициент k = -3 отрицательный. Это очень важно: знак коэффициента определяет, в каких четвертях расположены ветви гиперболы.

Если k > 0, то ветви графика лежат в I и III четвертях.
Если k < 0, то ветви графика лежат в II и IV четвертях.

Так как в нашей функции коэффициент отрицательный, график должен состоять из двух ветвей, расположенных во II и IV четвертях. Кроме того, у такой функции есть асимптоты: оси координат x = 0 и y = 0. График к ним приближается, но не пересекает их.

Следовательно, нужно выбрать тот рисунок, где изображена гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Это и есть правильный ответ.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала определите тип графика: прямая, парабола или гипербола.
2. Если это гипербола, проверьте знак коэффициента k.
3. При k > 0 ветви находятся в I и III четвертях.
4. При k < 0 ветви находятся в II и IV четвертях.
5. Проверьте, есть ли у графика приближение к осям координат — это признак обратной пропорциональности.

Частые ошибки:

• путают гиперболу с параболой;
• не учитывают знак коэффициента;
• думают, что график должен обязательно проходить через какие-то удобные точки;
• забывают про асимптоты и пытаются искать пересечение с осями.

Если запомнить правило про четверти, такие задания решаются очень быстро и без вычислений.

Для функции y = k/x знак коэффициента k определяет, в каких четвертях будет располагаться график.

Главное правило:

• если k > 0, то ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях;
• если k < 0, то ветви гиперболы находятся во второй и четвёртой четвертях.

В задаче сказано, что график расположен во второй и четвёртой четвертях. Это как раз случай k < 0. Значит, коэффициент k отрицательный.

Почему так? В первой и третьей четвертях у точек координаты x и y одного знака. Тогда их произведение xy положительно, а значит, и k = xy тоже положительно. Во второй и четвёртой четвертях знаки x и y разные, поэтому произведение xy отрицательно, то есть k < 0.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Посмотрите, в каких четвертях лежат ветви гиперболы.
2. Сравните с запоминалкой: 1 и 3 — плюс, 2 и 4 — минус.
3. Выберите знак коэффициента без вычислений.

Частая ошибка: путать четверти или пытаться подставлять точки в формулу, хотя для этого задания достаточно только расположения ветвей графика.

Рассмотрим график функции вида y = \frac{k}{x} + b. Для таких функций важно помнить две асимптоты:

• вертикальная асимптота всегда x = 0;
• горизонтальная асимптота имеет вид y = b.

В условии сказано, что горизонтальная асимптота — y = 2. Значит, b = 2.

Теперь используем точку, через которую проходит график: (1; 5). Подставим её в формулу:

5 = \frac{k}{1} + 2.

Получаем:

5 = k + 2, значит k = 3.

Следовательно, искомая формула:

y = \frac{3}{x} + 2.

Как проверять себя на ОГЭ: если в задаче даны асимптоты, сначала находят b, а потом по одной точке — k. Это самый надёжный способ, потому что по одному виду ветвей легко ошибиться в знаке коэффициента.

Частые ошибки:

• путают b с k;
• забывают, что горизонтальная асимптота — это именно y = b, а не x = b;
• не подставляют координаты точки полностью и теряют знак или число.

Итак, правильный ответ: y = \frac{3}{x} + 2.

Нужно распознать тип графика по его форме. График 3 — это гипербола, то есть график функции вида y = k/x. У такой функции есть две ветви, а сам график не пересекает оси координат и приближается к ним как к асимптотам.

Теперь посмотрим, в каких четвертях расположены ветви. Если k < 0, то при положительных x значение y отрицательно, а при отрицательных x значение y положительно. Значит, ветви находятся во II и IV четвертях. Это как раз соответствует формуле y = -3/x.

Почему не подходят остальные варианты? y = 2x — это прямая, а не гипербола. y = x^2 - 1 — парабола, она имеет одну вершину и симметрична относительно оси Oy. y = 3/x тоже гипербола, но при k > 0 её ветви находятся в I и III четвертях, а не во II и IV.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) сначала определите вид графика — прямая, парабола или гипербола; 2) если это гипербола, посмотрите на четверти; 3) если ветви во II и IV четвертях, то коэффициент k отрицательный, если в I и III — положительный. Так можно быстро выбрать верную формулу и не перепутать знак.

Частая ошибка — смотреть только на слово «гипербола» и не учитывать знак коэффициента. На экзамене именно знак часто решает, какая из двух похожих формул подходит.

Рассмотрим функцию вида y = k/x + b. Для таких функций важно уметь по графику определить два параметра:

• b — это значение горизонтальной асимптоты, то есть к какой прямой график стремится при больших |x|;
• k — коэффициент, который определяет, по какую сторону от асимптоты расположены ветви и насколько «круто» они уходят.

В условии сказано, что горизонтальная асимптота — y = 2. Значит, b = 2.

Теперь используем точку (2; 0), которая лежит на графике. Подставим её координаты в формулу:

0 = k/2 + 2.

Переносим 2 влево:

k/2 = -2, значит k = -4.

Итак, получаем формулу:

y = -4/x + 2.

Проверим логику по графику. Если k < 0, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно центра (0; 2) — это соответствует отрицательному коэффициенту. Кроме того, точка (2; 0) действительно подходит: -4/2 + 2 = 0.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте b с k: b — это сдвиг вверх или вниз, а k — число при 1/x;
• сначала находите асимптоты, потом подставляйте точку;
• если коэффициент k отрицательный, ветви графика находятся по разным сторонам от центра: одна выше асимптоты, другая ниже;
• не забывайте проверять ответ подстановкой одной из точек графика — это помогает быстро исключить ошибку.

Следовательно, правильный ответ: y = -4/x + 2.