Квадратичные неравенства (метод интервалов и связанные задачи): задания с ответами

Нужно найти квадратное неравенство, у которого нет решений. Для этого удобно вспомнить правило про знак квадратного трёхчлена.

1. Сначала смотрим на вид неравенства.
Если выражение можно записать как ax²+bx+c, то это квадратное неравенство. Его решения удобно анализировать по параболе или через дискриминант.

2. Проверяем каждый вариант.

A) x²-4x+3>0
Разложим: (x-1)(x-3)>0. Произведение положительно вне корней, значит решения есть: x<1 или x>3.

B) x²-6x+9<=0
Это (x-3)²<=0. Квадрат числа не бывает отрицательным, а равен нулю только при x=3. Значит решение есть, но только одно число.

C) x²+2x+5<0
Посчитаем дискриминант: D=2²-4·1·5=4-20=-16. Так как a=1>0, ветви параболы направлены вверх. При D<0 парабола не пересекает ось x, а значит выражение x²+2x+5 всегда положительно. Поэтому условие <0 выполнить невозможно. Решений нет.

D) -x²+4x-4<0
Приведём: -(x-2)²<0. Так как (x-2)²>=0, то левая часть всегда <=0, а при x=2 равна нулю. Значит почти при всех x неравенство верно, то есть решения есть.

Ответ: C.

Как быстро решать такие задачи на ОГЭ:

• если нужно найти неравенство без решений, подумайте: может ли квадратный трёхчлен вообще принимать нужный знак;
• если a>0 и D<0, то выражение всегда положительно;
• если a<0 и D<0, то выражение всегда отрицательно;
• строгое неравенство типа >0 или <0 не выполняется, если выражение всё время имеет противоположный знак или только в одной точке равно нулю.

Частые ошибки:

• не проверяют дискриминант;
• путают случаи D<0 и D=0;
• забывают, что знак a определяет направление ветвей параболы;
• при строгом неравенстве принимают точку, где выражение равно нулю.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Приведём к стандартному виду. Здесь уже стоит квадратный трёхчлен справа от нуля, то есть нужно решить:

x² - 5x + 6 > 0.

2. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения. Сначала решим уравнение:

x² - 5x + 6 = 0.

Разложим на множители:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Тогда корни: x = 2 и x = 3.

3. Определим знаки на промежутках. Корни делят числовую прямую на три интервала:

(-∞; 2), (2; 3), (3; +∞).

У квадратного трёхчлена старший коэффициент положительный (a = 1), значит парабола направлена вверх. Поэтому выражение положительно вне корней и отрицательно между ними:

• на (-∞; 2) — положительно;
• на (2; 3) — отрицательно;
• на (3; +∞) — положительно.

Нам нужно > 0, значит подходят интервалы, где выражение положительно.

Ответ: (-∞; 2) ∪ (3; +∞).

Почему можно не включать 2 и 3? Потому что знак строгий: > 0. В точках корней выражение равно нулю, а ноль не подходит.

Частые ошибки:

• взять средний промежуток вместо внешних;
• по ошибке включить корни в ответ при знаке > или <;
• не проверить знак старшего коэффициента и перепутать, где выражение положительно.

Для ОГЭ удобно помнить: если a > 0, то при неравенстве > 0 берём внешние интервалы, а при < 0 — промежуток между корнями.

Решим неравенство методом интервалов:

(x - 2)(x + 5) > 0.

1) Сначала найдём нули каждого множителя:

x - 2 = 0 → x = 2,

x + 5 = 0 → x = -5.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

(-∞; -5), (-5; 2), (2; +∞).

2) Теперь определим знак произведения на каждом промежутке. Удобно помнить главное правило: произведение двух множителей положительно, если они одного знака (оба положительные или оба отрицательные).

- На промежутке (2; +∞): оба множителя положительны, значит произведение > 0.

- На промежутке (-5; 2): один множитель отрицателен, другой положителен, значит произведение < 0.

- На промежутке (-∞; -5): оба множителя отрицательны, значит произведение снова > 0.

3) Так как в неравенстве стоит знак > 0, нужны те промежутки, где произведение положительно:

(-∞; -5) ∪ (2; +∞).

Важно: при строгом неравенстве точки -5 и 2 не входят в ответ, потому что в этих точках произведение равно нулю, а не больше нуля.

Частые ошибки:

• забывают найти нули множителей;

• путают, где произведение положительно, а где отрицательно;

• включают корни в ответ при знаках > или <;

• пишут только один промежуток, хотя подходит два.

Итак, правильный ответ: (-∞; -5) ∪ (2; +∞).

Решим неравенство (x - 2)(x + 3) <= 0 методом интервалов.

1. Находим нули каждого множителя.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• x - 2 = 0, значит x = 2;
• x + 3 = 0, значит x = -3.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: (-∞; -3), (-3; 2), (2; +∞).

2. Определяем знак произведения на каждом промежутке.
Можно подставить по одному числу из каждого интервала или вспомнить правило для произведения двух линейных множителей:

• при x < -3 оба множителя отрицательны, значит произведение положительно;
• при -3 < x < 2 один множитель отрицателен, другой положителен, значит произведение отрицательно;
• при x > 2 оба множителя положительны, значит произведение положительно.

3. Выбираем те промежутки, где произведение не больше нуля.
Нам нужно <= 0, то есть отрицательные значения и ноль.

Значит, подходит промежуток [-3; 2]. Точки -3 и 2 тоже входят в ответ, потому что знак нестрогий: при этих значениях произведение равно нулю.

Ответ: [-3; 2].

Важно помнить:

• при знаках < и > корни обычно не включаются;
• при знаках <= и >= корни включаются в ответ;
• частая ошибка — перепутать промежутки, где произведение положительно и отрицательно;
• ещё одна ошибка — забыть упорядочить корни по возрастанию: сначала -3, потом 2.

На ОГЭ удобно сначала найти корни, затем быстро отметить знак на каждом интервале и только после этого записать ответ. Это помогает не потерять лёгкие баллы на знаках и границах промежутка.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдём нули выражения. Произведение (x-1)(x+3) равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

x-1=0 → x=1,

x+3=0 → x=-3.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: (-∞; -3), (-3; 1), (1; +∞).

2. Определим знак произведения на каждом промежутке.

Если взять точку слева, например x=-4, то (-4-1)(-4+3)=(-5)(-1)=5>0.

Если взять точку между корнями, например x=0, то (0-1)(0+3)=(-1)·3=-3<0.

Если взять точку справа, например x=2, то (2-1)(2+3)=1·5=5>0.

Значит, выражение отрицательно только на промежутке (-3; 1), а так как стоит знак ≤ 0, нужно ещё включить корни -3 и 1.

Ответ: [ -3; 1 ].

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала всегда находите корни;
• отмечайте их на прямой по возрастанию: сначала -3, потом 1;
• не забывайте, что при знаке ≤ или ≥ границы входят в ответ;
• для произведения двух линейных множителей знак меняется при переходе через каждый корень.

Типичная ошибка — выбрать только один промежуток или перепутать знак и взять внешние интервалы вместо внутреннего.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдём нули выражения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x-1=0$ или $x-5=0$. Получаем корни $x=1$ и $x=5$.

2. Отметим корни на числовой прямой. Они делят прямую на три промежутка: $(-\infty,1)$, $(1,5)$, $(5,+\infty)$.

3. Определим знак произведения на каждом промежутке. Удобно помнить правило: для произведения двух линейных множителей знак меняется при переходе через каждый корень. Можно также проверить любой точкой из промежутка.

Возьмём, например, точку $x=0$ на промежутке $(-\infty,1)$: $(0-1)(0-5)=(-1)\cdot(-5)=5>0$, значит там выражение положительно.

Тогда на среднем промежутке $(1,5)$ знак будет отрицательным, а на $(5,+\infty)$ снова положительным.

4. Выбираем нужные промежутки. По условию требуется $(x-1)(x-5)\le 0$, то есть нужно взять те значения $x$, при которых выражение отрицательно или равно нулю. Это средний промежуток и сами корни:

$x\in[1,5]$.

Ответ: $[1,5]$.

Как не ошибиться на ОГЭ: если стоит знак $\le$ или $\ge$, обязательно включайте корни в ответ; если знак строгий $<$ или $>$, корни не включаются. Ещё одна частая ошибка — перепутать, где знак «плюс», а где «минус». Для произведения двух линейных множителей при положительном старшем коэффициенте вне корней обычно знак «плюс», между корнями — «минус».

Решим неравенство по шагам, как это удобно делать на ОГЭ.

1. Приводим к виду, где справа стоит 0. Здесь неравенство уже записано в нужном виде: x^2 - 5x + 6 < 0.

2. Находим корни квадратного трёхчлена. Решим уравнение x^2 - 5x + 6 = 0. Разложим на множители:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Отсюда корни: x = 2 и x = 3.

3. Определяем знак выражения на промежутках. Корни делят числовую прямую на три интервала:

(-∞; 2), (2; 3), (3; +∞).

Коэффициент при x^2 положительный (a = 1), значит парабола направлена ветвями вверх. Это важный факт: между корнями квадратный трёхчлен принимает отрицательные значения, а вне корней — положительные.

Поскольку нужно решить неравенство < 0, берём промежуток (2; 3).

4. Учитываем строгий знак. Знак строгости означает, что сами корни 2 и 3 в ответ не входят, так как в этих точках выражение равно нулю, а не меньше нуля.

Ответ: (2; 3).

Как не потерять баллы: 1) не забудьте найти именно корни уравнения, а не просто угадать интервал; 2) обязательно смотрите на знак перед x^2; 3) при строгих неравенствах < и > скобки круглые, при нестрогих ≤ и ≥ — обычно ставят квадратные скобки и включают корни.

Нужно найти неравенство, которое выполняется при всех значениях переменной, то есть его решением является множество всех действительных чисел.

Для этого удобно помнить важное правило про квадратный трёхчлен:

• если дискриминант меньше нуля, то корней нет;
• знак выражения тогда не меняется и совпадает со знаком коэффициента при \(x^2\).

Проверим варианты.

1) \(x^2-6x+13\ge 0\). Здесь \(a=1>0\). Найдём дискриминант:

\(D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 13=36-52=-16<0\).

Значит, трёхчлен всегда положителен. Тогда неравенство \(\ge 0\) действительно верно при всех \(x\). На первый взгляд это кажется правильным ответом, и его действительно важно проверить внимательно.

Теперь посмотрим остальные варианты.

2) \(x^2-6x+13\le 0\). Но выражение всегда положительно, значит оно никогда не будет меньше или равно нулю. Решений нет.

3) \(-x^2+4x-5\ge 0\). Здесь \(a=-1<0\). Дискриминант:

\(D=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=16-20=-4<0\).

Следовательно, трёхчлен всегда отрицателен. А неравенство требует \(\ge 0\), значит решений нет.

4) \(-x^2+4x-5\le 0\). Здесь трёхчлен всегда отрицателен, а значит он действительно всегда меньше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном \(x\).

Ответ: 4.

Как решать такие задания на ОГЭ быстро:

1. Сначала смотрите на знак коэффициента при \(x^2\).
2. Потом проверяете дискриминант: если он отрицательный, корней нет, знак не меняется.
3. Сравниваете постоянный знак трёхчлена со знаком неравенства.

Частая ошибка: думать, что если \(D<0\), то подходит любое неравенство. Это не так: если выражение всегда положительно, то подходит только \(\ge 0\) или \(>0\), а если всегда отрицательно — только \(\le 0\) или \(<0\).

Решим неравенство методом интервалов.

1. Приведём неравенство к удобному виду. Здесь оно уже записано как x² - 5x + 6 ≤ 0. Нужно понять, при каких значениях x квадратный трёхчлен не положителен.

2. Найдём корни соответствующего уравнения. Решаем уравнение x² - 5x + 6 = 0. Разложим на множители:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Тогда корни: x = 2 и x = 3.

3. Определим знаки на промежутках. Произведение (x - 2)(x - 3) меняет знак в точках 2 и 3. Так как коэффициент при x² положительный, ветви параболы направлены вверх, значит выражение не положительно между корнями и равно нулю в самих корнях.

Получаем промежуток решений: [2; 3].

4. Почему именно так? Знак ≤ 0 означает, что подходят не только отрицательные значения, но и ноль. Поэтому корни обязательно включаются в ответ, то есть скобки должны быть квадратные.

Частые ошибки:

— записать (2; 3) вместо [2; 3] и потерять корни;

— выбрать внешние промежутки, перепутав знак неравенства;

— забыть, что при a > 0 парабола направлена вверх, и тогда отрицательные значения находятся между корнями.

Ответ: [2; 3].

Решим неравенство методом интервалов:

(x - 4)(x + 1) ≤ 0.

1) Сначала находим нули каждого множителя. Они получаются, когда каждый множитель равен нулю:

• x - 4 = 0 → x = 4,
• x + 1 = 0 → x = -1.

Значит, на числовой прямой отмечаем точки -1 и 4. Они разбивают прямую на три промежутка:

• (-∞, -1),
• (-1, 4),
• (4, +∞).

2) Определим знак произведения на каждом промежутке. Удобно помнить: произведение двух линейных множителей меняет знак при переходе через каждый корень. Можно также проверить подстановкой любой точки:

• если x = -2, то (-2 - 4)(-2 + 1) = (-6)(-1) = 6, то есть знак +;
• если x = 0, то (0 - 4)(0 + 1) = (-4)(1) = -4, то есть знак -;
• если x = 5, то (5 - 4)(5 + 1) = (1)(6) = 6, то есть знак +.

Получаем схему знаков: + на (-∞, -1), затем - на (-1, 4), затем снова + на (4, +∞).

3) Нам нужно, чтобы произведение было ≤ 0, то есть отрицательным или равным нулю. Значит, берем тот промежуток, где знак минус, и обязательно включаем корни, потому что стоит нестрогое неравенство ≤.

Ответ: [-1; 4].

Частая ошибка на ОГЭ — забыть про корни в ответе при знаках ≤ или ≥. Еще одна ошибка — взять внешние промежутки, хотя для ≤ 0 нужен именно средний промежуток, где произведение отрицательно. Всегда сначала находите корни, затем смотрите, где выражение имеет нужный знак, и только после этого записывайте ответ.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Приведём неравенство к стандартному виду. Оно уже записано как сравнение квадратного трёхчлена с нулём:

x² - 5x + 6 < 0.

2. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения. Для этого решим уравнение:

x² - 5x + 6 = 0.

Разложим на множители:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Значит, корни: x = 2 и x = 3.

3. Определим знак выражения на промежутках. Числовая прямая разбивается точками 2 и 3 на три интервала:

(-∞; 2), (2; 3), (3; +∞).

У трёхчлена x² - 5x + 6 старший коэффициент положительный, значит ветви параболы направлены вверх. Поэтому знак выражения между корнями будет отрицательным, а вне корней — положительным.

Нам нужно < 0, то есть отрицательные значения. Это выполняется на промежутке:

(2; 3).

4. Запишем ответ. Так как неравенство строгое, сами корни 2 и 3 не включаются в ответ.

Правильный ответ: x ∈ (2; 3).

Как не потерять баллы на ОГЭ:

• сначала обязательно перенесите всё в одну часть и получите вид «квадратичный трёхчлен ⟂ 0»;
• не забывайте находить именно корни уравнения, а не самого неравенства;
• при знаке < или > концы промежутков не входят в ответ;
• если коэффициент при x² положительный, то при < 0 берётся промежуток между корнями.

Это типичный и очень важный приём: сначала находят нули трёхчлена, затем по знакам на интервалах выбирают нужные промежутки.

Решим неравенство (x - 1)(x - 5) ≤ 0 методом интервалов.

1. Найдём нули выражения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

x - 1 = 0 → x = 1,

x - 5 = 0 → x = 5.

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: (-∞, 1), (1, 5), (5, +∞).

2. Определим знак на каждом промежутке. Удобно помнить правило для произведения двух линейных множителей: если коэффициент при x² положительный, то на крайних промежутках знак будет плюс, а между корнями — минус. Здесь старший коэффициент равен 1, значит схема знаков такая:

+ на (-∞, 1), - на (1, 5), + на (5, +∞).

3. Выбираем промежутки, где выражение ≤ 0. Это значит, что нам нужны отрицательные значения и ноль. Ноль достигается в точках x = 1 и x = 5, поэтому корни нужно включить.

Подходит промежуток [1, 5].

Ответ: [1; 5].

Почему часто ошибаются:

1) забывают включить корни при знаках ≤ или ≥;

2) берут внешние промежутки, не проверив знак неравенства;

3) путают правило знаков для параболы: при положительном коэффициенте при x² «плюс» стоит снаружи, «минус» — между корнями.

На ОГЭ удобно сначала находить корни, потом сразу отмечать, где должно быть < 0, ≤ 0, > 0 или ≥ 0. Это помогает не потерять лёгкие баллы.