Квадратные уравнения и системы уравнений: задания с ответами

Здесь удобно применить метод вычитания: в обоих уравнениях коэффициент при y одинаковый и равен 3. Значит, если вычесть одно уравнение из другого, переменная y исчезнет.

Вычтем первое уравнение из второго:

\((5x+3y)-(2x+3y)=20-11\)

Получаем:

\(3x=9\), значит \(x=3\).

Теперь подставим \(x=3\) в любое исходное уравнение. Возьмём первое:

\(2\cdot 3+3y=11\)

\(6+3y=11\)

\(3y=5\)

\(y=\frac{5}{3}\).

Ответ: \((3;\frac{5}{3})\).

Почему это важно для ОГЭ: при методе вычитания главное — внимательно следить за знаками. Частая ошибка — просто вычесть коэффициенты, забыв, что нужно вычитать всё уравнение целиком: и левую, и правую части. Ещё одна типичная ошибка — после нахождения одной переменной подставить её не в исходное, а в уже преобразованное уравнение, где могли быть потеряны условия. Лучше всегда подставлять найденное значение в одно из исходных уравнений.

Как проверять себя: подставьте найденные значения в оба уравнения. Если обе равенства верны, решение найдено правильно. Это помогает не потерять лёгкие баллы из-за арифметической ошибки.

Решим систему удобным способом — сложением. В таких заданиях важно заметить, какую переменную легче исключить. Здесь в первом уравнении стоит \(y\) со знаком «+», а во втором — со знаком «−». Если сложить уравнения, переменная \(y\) исчезнет.

Дана система:

\(\begin{cases}2x+y=7,\\ x-y=1.\end{cases}\)

Сложим почленно левую и правую части уравнений:

\((2x+y)+(x-y)=7+1\).

Получаем:

\(3x=8\).

Теперь найдём \(x\):

\(x=\dfrac{8}{3}\).

Подставим это значение в любое из уравнений, например во второе:

\(\dfrac{8}{3}-y=1\).

Перенесём \(1\) влево или выразим \(y\):

\(-y=1-\dfrac{8}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{5}{3}\).

Тогда:

\(y=\dfrac{5}{3}\).

Итак, решение системы:

\(x=\dfrac{8}{3},\ y=\dfrac{5}{3}\).

Правильный ответ: \(\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}\right)\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• При сложении или вычитании уравнений обязательно складывайте одноимённые члены и следите за знаками.
• Не теряйте минус при переносе через знак равенства.
• После нахождения одной переменной обязательно подставьте её во второе уравнение, чтобы проверить себя.

Типичная ошибка: некоторые ученики сначала находят \(x\), но потом неверно вычисляют \(y\), забывая, что \(x-y=1\), а не \(x+y=1\). Поэтому полезно после ответа быстро проверить подстановкой: \(2\cdot\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{5}{3}=7\), \(\dfrac{8}{3}-\dfrac{5}{3}=1\). Всё верно.

Решим систему удобным способом — методом сложения. Он особенно полезен в ОГЭ, когда коэффициенты при одной из переменных легко сделать противоположными.

Дана система:

\(\begin{cases}2x+y=7,\\ x-y=1.\end{cases}\)

Складываем уравнения почленно:

\((2x+y)+(x-y)=7+1\).

Слева получаем \(2x+x=3x\), а \(y\) и \(-y\) взаимно уничтожаются. Тогда:

\(3x=8\), значит \(x=\dfrac{8}{3}\).

Теперь подставим найденное значение в любое из уравнений. Возьмём второе:

\(x-y=1\).

Подставляем \(x=\dfrac{8}{3}\):

\(\dfrac{8}{3}-y=1\).

Переносим \(\dfrac{8}{3}\) вправо или сначала вычитаем 1 из \(\dfrac{8}{3}\):

\(-y=1-\dfrac{8}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{5}{3}\).

Значит, \(y=\dfrac{5}{3}\).

Ответ: \(x=\dfrac{8}{3},\ y=\dfrac{5}{3}\).

Проверка: подставим в первое уравнение: \(2\cdot\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{21}{3}=7\). Подходит. Во втором: \(\dfrac{8}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{3}=1\). Тоже верно.

Как не потерять баллы:

1. Не забывайте, что ответ нужно указать для обеих переменных.

2. При сложении внимательно следите за знаками: \(+y\) и \(-y\) должны сократиться.

3. После нахождения одной переменной обязательно найдите вторую подстановкой.

4. Полезно в конце сделать быструю проверку — это помогает заметить арифметическую ошибку.

В этой задаче нужно найти все пары значений (x, y), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы одновременно. Если в каждом уравнении уже выражена одна и та же переменная y, самый удобный способ — приравнять правые части.

Имеем систему:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4,\\ y = 2x - 2. \end{cases} \]

Так как обе формулы равны одному и тому же y, получаем:

\[ x^2 - 5x + 4 = 2x - 2. \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x^2 - 5x - 2x + 4 + 2 = 0, \]

\[ x^2 - 7x + 6 = 0. \]

Теперь решаем квадратное уравнение. Подберём числа, произведение которых равно 6, а сумма — 7. Это 1 и 6, значит:

\[ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) = 0. \]

Отсюда:

\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 6. \]

Дальше находим y по любой формуле, например по более простой линейной:

\[ y = 2x - 2. \]

Если x = 1, то

\[ y = 2\cdot 1 - 2 = 0. \]

Получаем первую пару: (1; 0).

Если x = 6, то

\[ y = 2\cdot 6 - 2 = 10. \]

Получаем вторую пару: (6; 10).

Значит, система имеет две пары решений: (1; 0) и (6; 10).

Почему это верно? Потому что решение системы — это точка, которая лежит сразу на двух графиках. Мы нашли значения x, при которых правая часть параболы и правая часть прямой дают одинаковый y, а затем проверили каждую точку подстановкой.

Частые ошибки:

• находят только один корень квадратного уравнения и забывают про второй;
• после нахождения x ошибаются при вычислении y;
• подставляют найденное x не в то уравнение и теряют время;
• записывают только числа x, хотя в ответе нужны именно пары (x, y).

Итог: все решения системы — (1; 0) и (6; 10).

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. В таких заданиях на ОГЭ удобно использовать способ сложения, потому что коэффициенты при одной из переменных уже противоположны: в первом уравнении стоит +y, во втором — −y.

1. Складываем уравнения:

\((x+y)+(x-y)=11+3\)

Слева переменная y исчезает, потому что y и −y дают 0. Получаем:

\(2x=14\)

Отсюда:

\(x=7\)

2. Подставляем найденное значение в любое уравнение. Например, в первое:

\(7+y=11\)

Тогда:

\(y=4\)

Значит, \(x=7\), \(y=4\).

Проверка:

\(7+4=11\) — верно,

\(7-4=3\) — тоже верно.

Ответ: \(x=7\), \(y=4\).

Как не потерять балл: внимательно следите за знаками при сложении уравнений. Частая ошибка — написать, что \(x=4\) и \(y=7\), то есть перепутать переменные местами. Ещё одна типичная ошибка — неверно решить простое уравнение после исключения переменной. Всегда полезно сделать короткую проверку подстановкой: это помогает быстро заметить ошибку до того, как вы запишете ответ.

Решим уравнение заменой переменной. Такие задания в ОГЭ часто сводятся к квадратному уравнению относительно t = x².

Тогда исходное уравнение

x⁴ - 5x² + 4 = 0

превращается в

t² - 5t + 4 = 0.

Теперь решаем квадратное уравнение. Подберём множители:

t² - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4).

Отсюда

t = 1 или t = 4.

Возвращаемся к переменной x, то есть решаем:

x² = 1 и x² = 4.

Из первого уравнения получаем x = -1 и x = 1.

Из второго — x = -2 и x = 2.

Значит, все действительные корни исходного уравнения:

-2, -1, 1, 2.

Правильный ответ: −2, −1, 1, 2.

Важно помнить: после замены t = x² нельзя забывать, что t ≥ 0. В этой задаче оба корня t = 1 и t = 4 подходят. Если бы получилось отрицательное значение t, его нужно было бы отбросить, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

Частая ошибка: назвать только корни для t (например, 1 и 4) вместо корней для x. Ещё одна ошибка — записать только положительные корни и забыть отрицательные. В биквадратных уравнениях при переходе от x² = a всегда появляются два корня: x = ±√a.

Это биквадратное уравнение, то есть уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0. Такие уравнения удобно решать заменой переменной.

1. Введём замену: пусть t = x². Тогда уравнение примет вид:

t² - 5t + 4 = 0.

2. Решим квадратное уравнение. Разложим на множители:

(t - 1)(t - 4) = 0.

Отсюда получаем два значения:

t = 1 и t = 4.

3. Возвращаемся к переменной x. Так как t = x², то нужно решить два уравнения:

x² = 1 → x = -1 или x = 1,

x² = 4 → x = -2 или x = 2.

Ответ: все действительные корни уравнения: -2, -1, 1, 2.

Почему важно проверять значения t? В задачах такого типа t обязательно должно быть неотрицательным, потому что x² ≥ 0 при любом действительном x. Если бы при решении квадратного уравнения получились отрицательные значения t, их нельзя было бы превращать в корни исходного уравнения.

Частые ошибки:

• забывают сделать замену и сразу пытаются решать уравнение как обычное четвёртой степени;
• находят только корни для t и не возвращаются к x;
• указывают только положительные корни, забывая про отрицательные;
• не проверяют, что найденные значения t подходят по смыслу.

Для ОГЭ полезно запомнить алгоритм: замена переменной → решение квадратного уравнения → возврат к исходной переменной. Тогда такие задания решаются быстро и без ошибок.

Здесь удобно заметить, что уравнение содержит не просто степень \((x-2)\), а повторяющееся выражение \((x-2)^2\). Такие уравнения решают заменой переменной: это один из самых типичных приёмов на ОГЭ.

1. Вводим новую переменную. Обозначим \(t=(x-2)^2\). Тогда \(t\ge 0\), потому что квадрат любого числа неотрицателен. После замены уравнение превращается в квадратное:

\(t^2-5t+4=0\).

2. Решаем квадратное уравнение. Разложим на множители:

\(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0\).

Значит, \(t=1\) или \(t=4\).

3. Возвращаемся к исходной переменной. Так как \(t=(x-2)^2\), получаем два уравнения:

\((x-2)^2=1\) и \((x-2)^2=4\).

Из первого: \(x-2=\pm 1\), значит \(x=1\) или \(x=3\).

Из второго: \(x-2=\pm 2\), значит \(x=0\) или \(x=4\).

Итак, корни уравнения: \(0, 1, 3, 4\).

Почему важно не ошибиться? Частая ошибка — после замены найти только значения \(t\) и забыть вернуться к \(x\). Ещё одна ошибка — не учитывать, что \(t\) должно быть неотрицательным. В этой задаче оба корня \(t=1\) и \(t=4\) подходят, поэтому у исходного уравнения получается четыре действительных корня.

Ответ: \(0, 1, 3, 4\).

Это биквадратное уравнение, то есть уравнение вида x⁴ + ax² + b = 0. Такие уравнения удобно решать заменой переменной.

1. Выполним замену: пусть t = x². Тогда x⁴ = t², и уравнение превращается в квадратное:

t² - 5t + 4 = 0.

2. Решим полученное квадратное уравнение. Разложим на множители:

t² - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0.

Отсюда t = 1 или t = 4.

3. Вернёмся к переменной x. Так как t = x², получаем:

x² = 1 → x = -1, 1,

x² = 4 → x = -2, 2.

4. Запишем все действительные корни по возрастанию: -2, -1, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 1, 2.

Как не потерять баллы на ОГЭ: после замены переменной обязательно помните, что t = x² ≥ 0. В этой задаче оба найденных значения подходят, потому что они неотрицательные. Ещё одна частая ошибка — написать только положительные корни или забыть про знак ± при извлечении квадратного корня. Чтобы избежать ошибок, действуйте по алгоритму: замена → решение квадратного уравнения → отбор допустимых значений → возврат к исходной переменной.

Чтобы правильно выполнить сложение двух уравнений системы, нужно складывать левые части с левыми, а правые части с правыми. Это важное правило: нельзя складывать только числа справа или только коэффициенты при одной переменной — уравнение должно сохранять равенство.

Сложим уравнения поэтапно:

\((3x-2y)+(-x+5y)=7+1\)

Теперь приведём подобные слагаемые:

\(3x-x=2x\),
\(-2y+5y=3y\),
\(7+1=8\).

Получаем новое уравнение:

\(2x+3y=8\).

Почему это верно? Потому что мы заменили две части системы их суммой. Если к обеим сторонам равенства прибавить равные выражения, равенство не нарушится. Это обычное алгебраическое преобразование.

Частые ошибки на ОГЭ:

• складывают только правые части и забывают про левые;
• ошибаются со знаком при сложении отрицательных чисел;
• не приводят подобные слагаемые после сложения;
• пишут ответ без равенства, например 2x+3y вместо 2x+3y=8.

Значит, правильный ответ: \(2x+3y=8\).

Идея метода исключения состоит в том, чтобы после преобразования одно из уравнений «исчезло» для одной переменной. Здесь удобно убрать y, потому что коэффициенты при ней: 3 и -3. Если первое уравнение умножить на 2, получим:

\(4x+6y=26\).

Теперь складывать это уравнение со вторым в обычном виде не нужно, потому что по условию сказано именно сложить со вторым, а значит:

\((4x+6y)+(4x-3y)=26+5\),

то есть

\(8x+3y=31\).

Но это не убирает переменную, значит, здесь легко допустить ошибку, если не заметить важный момент: для исключения нужно подбирать преобразование так, чтобы коэффициенты были противоположными. В исходной системе это уже так и есть для y: если первое уравнение умножить на 1, а затем сложить его со вторым, то \(3y\) и \(-3y\) взаимно уничтожатся:

\((2x+3y)+(4x-3y)=13+5\)

\(6x=18\)

\(x=3\).

Теперь подставим найденное значение в любое исходное уравнение, например в первое:

\(2\cdot 3+3y=13\)

\(6+3y=13\)

\(3y=7\)

\(y=\dfrac{7}{3}\).

Ответ: \(x=3\), \(y=\dfrac{7}{3}\).

Как не потерять баллы на ОГЭ:

• внимательно следите за знаками при сложении и вычитании уравнений;
• сначала проверяйте, какая переменная исчезает при выбранном действии;
• после нахождения одной переменной обязательно подставляйте её в исходное уравнение, а не в преобразованное наугад;
• если получилась дробь, это нормально — не нужно округлять ответ.

Нужно вычесть первое уравнение из второго. Это значит, что мы отдельно вычитаем левые части и отдельно правые части:

\((3x - 5y) - (3x + 2y) = -10 - 11\).

Теперь приведём подобные слагаемые слева:

\(3x - 3x = 0\),

\(-5y - 2y = -7y\).

Справа получаем:

\(-10 - 11 = -21\).

Итак, после упрощения получаем уравнение:

\(-7y = -21\).

Почему именно так? При вычитании одного уравнения из другого нужно вычитать соответствующие части целиком. Если в скобках стоит \((3x + 2y)\), то при вычитании меняются знаки у всех слагаемых внутри скобок: \(-(3x + 2y) = -3x - 2y\). Это частая причина ошибок.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала запишите выражение для вычитания в скобках;
• не забывайте поменять знаки у всех слагаемых второго уравнения;
• после этого обязательно приведите подобные слагаемые.

Правильный ответ: \(-7y = -21\).