Свойства степеней и степенные выражения: задания с ответами

Сначала упростим числитель: это разность однородных степенных выражений.

\(5x^4 - 3x^4 = (5-3)x^4 = 2x^4\)

Теперь выражение принимает вид:

\(\dfrac{2x^4}{x^2}\)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\(\dfrac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2\)

Значит, всё выражение равно:

\(2x^2\)

Но в подобных заданиях обычно нужно получить значение выражения без переменной. Здесь важно заметить, что после сокращения остаётся переменная, значит данное выражение в таком виде не подходит под типовую конструкцию с конечным числовым ответом. Чтобы задание было корректным для ОГЭ-формата, нужно, чтобы степени полностью сократились. Поэтому рассмотрим именно правило решения: сначала объединяем одинаковые степени в числителе, затем сокращаем степени при делении.

Итог по данному выражению: \(2x^2\).

Как не ошибиться:

• Не забывайте сначала выполнить вычитание коэффициентов, а не показателей.
• При делении степеней одинаковое основание сохраняется, а показатели вычитаются.
• Условие x \neq 0 нужно, чтобы можно было делить на \(x^2\).

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней показатели складываются.

Имеем:

a⁵ · a⁻² · a⁻³ = a^{5 + ( −2 ) + ( −3 )}.

Складываем показатели:

5 − 2 − 3 = 0.

Значит, выражение равно a⁰.

По свойству степеней, для любого ненулевого числа a выполняется a⁰ = 1. Именно поэтому в условии обязательно пишут a ≠ 0: нулевое основание при отрицательных показателях вообще недопустимо, а степень 0 для ненулевого основания всегда равна 1.

Ответ: 1.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перемножайте показатели степеней вместо сложения;
• не забывайте, что отрицательный показатель тоже входит в сумму со своим знаком;
• если после сложения получилось 0, сразу вспоминайте правило a⁰ = 1 при a ≠ 0.

Приведём все числа к одному основанию — к основанию 2. Это самый удобный способ в заданиях на свойства степеней.

Сначала преобразуем каждую часть выражения:

• \((2^3)^2 = 2^{3\cdot 2} = 2^6\) — здесь используется правило степени степени: показатели перемножаются.
• 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}\) — потому что 8 = 2^3, а отрицательная степень означает обратное число.
• 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2\cdot 3} = 2^6\).

Теперь подставим всё обратно:

2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 2^6.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

2^{6 + (-3) + 6} = 2^9.

Вычислим:

2^9 = 512.

Ответ: 512.

Полезно помнить для ОГЭ: если в выражении есть разные основания, попробуйте записать их через одну и ту же степень. Частые ошибки здесь такие: забывают, что \((a^m)^n = a^{mn}\); неверно обращаются с отрицательной степенью; или складывают показатели не у одинаковых оснований. Проверяйте каждый шаг: сначала привести к одному основанию, потом применить свойства степеней, и только затем считать число.

Рассмотрим выражение \(\dfrac{(2^3)^2}{2^5}\). Здесь нужно применить два свойства степеней:

• при возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n=a^{mn}\);
• при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\), где \(a\neq 0\).

Сначала упрощаем числитель:

\((2^3)^2=2^{3\cdot 2}=2^6\).

Теперь у нас получилось:

\(\dfrac{2^6}{2^5}\).

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\(\dfrac{2^6}{2^5}=2^{6-5}=2^1=2\).

Итак, значение выражения равно 2.

Почему важно делать именно так? Если сразу попытаться «сокращать» показатели без преобразования степени степени, легко ошибиться. Сначала нужно раскрыть \((2^3)^2\), а уже потом делить степени с одним и тем же основанием.

Частые ошибки:

• складывают показатели при делении вместо вычитания;
• забывают, что при возведении степени в степень показатели нужно умножать;
• не доводят ответ до конца и оставляют выражение в виде \(2^1\) вместо числа 2.

На ОГЭ удобно идти по короткому алгоритму: сначала степень степени, потом деление, затем вычисление конечного значения. Это помогает не терять лёгкие баллы.

Решим задачу по шагам, используя свойства степеней. Здесь важно сначала упростить выражение, а уже потом подставлять числа: так вычисления получаются короче и меньше риск ошибиться.

Дано выражение:

\(\dfrac{(a^2b)^3}{a^4b^2}\).

Шаг 1. Возводим произведение в степень. По свойству \((xy)^n=x^n y^n\) имеем:

\((a^2b)^3=(a^2)^3\cdot b^3\).

Теперь применяем ещё одно свойство: \((a^m)^n=a^{mn}\). Тогда

\((a^2)^3=a^6\),

значит числитель равен \(a^6b^3\).

Шаг 2. Делим степени с одинаковыми основаниями. Получаем:

\(\dfrac{a^6b^3}{a^4b^2}=a^{6-4}b^{3-2}=a^2b\).

Это и есть упрощённый вид выражения.

Шаг 3. Подставляем значения. Теперь вместо \(a\) и \(b\) подставляем числа:

\(a^2b=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12\).

Ответ: \(12\).

Почему это правильно? При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, а при возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень отдельно. Эти правила позволяют быстро сокращать выражения без лишних вычислений.

Частые ошибки:

1) Возводят в куб только \(a^2\), забывая про \(b\).
2) Сразу подставляют числа и потом пытаются считать громоздкие степени.
3) При сокращении забывают, что показатели при делении нужно вычитать, а не делить.

На ОГЭ полезно делать именно так: сначала привести выражение к простому виду по свойствам степеней, затем подставить числа. Это экономит время и снижает вероятность арифметической ошибки.

Сначала упростим выражение по свойствам степеней, а уже потом подставим значения. Это самый надежный способ на ОГЭ: так меньше шансов ошибиться в вычислениях.

Имеем:

\(\dfrac{(a^2b)^2}{a^3b}\)

Раскроем степень произведения в числителе:

\((a^2b)^2=(a^2)^2\cdot b^2=a^4b^2\)

Тогда выражение становится таким:

\(\dfrac{a^4b^2}{a^3b}\)

Теперь сократим одинаковые основания в числителе и знаменателе. Для степеней с одинаковым основанием при делении показатели вычитаются:

\(\dfrac{a^4}{a^3}=a^{4-3}=a\), \(\dfrac{b^2}{b}=b^{2-1}=b\)

Значит, всё выражение равно:

\(ab\)

Подставляем a=2, b=3:

\(ab=2\cdot 3=6\)

Ответ: 6.

Частые ошибки на такой теме:

• возводят в квадрат только a^2, забывая про b;
• не применяют правило \((ab)^n=a^n b^n\);
• пытаются сразу подставить числа и затем громоздко считать, хотя проще сначала сократить степени;
• при делении степеней забывают вычитать показатели.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) раскрыть скобки в степени; 2) привести одинаковые основания к делению; 3) сократить; 4) только потом подставить числа и посчитать.

Решим задачу по шагам, используя свойства степеней.

1. Сначала применяем правило степени степени: \((a^3)^2 = a^{3\cdot 2} = a^6\).

Это важный шаг: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а не складываются.

2. Подставляем это в дробь:

\(\dfrac{(a^3)^2}{a^4} = \dfrac{a^6}{a^4}\)

3. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \(a^m : a^n = a^{m-n}\).

Получаем:

\(\dfrac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2\)

4. Подставляем значение \(a = 2\):

\(a^2 = 2^2 = 4\)

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала упрощайте степени, а уже потом подставляйте число. Частая ошибка — сразу подставить \(a = 2\) и начать считать большие степени в дроби, хотя задача решается гораздо быстрее через свойства степеней. Ещё одна типичная ошибка — при делении степеней складывать показатели вместо вычитания. Запомните: при делении одинаковых оснований показатели вычитаются.

Сначала нужно упростить выражение, а уже потом подставлять значение переменной. Это важное правило для заданий ОГЭ: так меньше риска ошибиться в вычислениях.

Рассмотрим выражение:

\(\dfrac{a^7 \cdot a^3}{a^4}\).

1) В числителе степени с одинаковым основанием перемножаются, значит показатели складываются:

\(a^7 \cdot a^3 = a^{7+3} = a^{10}\).

Тогда выражение становится:

\(\dfrac{a^{10}}{a^4}\).

2) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\(\dfrac{a^{10}}{a^4} = a^{10-4} = a^6\).

3) Теперь подставляем \(a=2\):

\(a^6 = 2^6 = 64\).

Ответ: 64.

Почему важно идти именно так? Если подставить число раньше, тоже можно получить правильный ответ, но в таких заданиях часто удобнее сначала сократить выражение. Это помогает быстрее считать и меньше ошибаться. Например, многие по ошибке складывают показатели при делении: думают, что \(a^{10}/a^4 = a^{14}\). Это неверно. При делении показатели вычитаются.

Как проверить себя на экзамене: если в выражении есть умножение одинаковых оснований — показатели складываются; если деление — вычитаются; если степень степени — показатели перемножаются. Если запомнить эти три правила, такие задания решаются быстро и без лишних ошибок.

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

\( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), где \(a > 1\).

В нашем выражении основания одинаковые: и в числителе, и в знаменателе стоит число 2. Значит, показатели надо вычесть, а не разделить и не сложить:

\( \dfrac{2^9}{2^3} = 2^{9-3} = 2^6 \).

Теперь вычислим степень:

\( 2^6 = 64 \).

Ответ: \(64\).

Частая ошибка: некоторые ученики пытаются делить показатели, например писать \(2^{9:3}\), или складывать их. Это неверно. При делении степеней с одинаковым основанием показатели именно вычитаются. Ещё одна ошибка — забыть, что сначала нужно привести выражение к одной и той же основе. Здесь это уже сделано, поэтому решение получается очень коротким.

Полезный приём для ОГЭ: если видите дробь из степеней с одинаковым основанием, сразу ищите разность показателей. Это экономит время и помогает не потерять лёгкие баллы.

Сначала нужно привести все основания к одному виду. Это главный приём в заданиях на сокращение степеней: если в основании стоят разные числа, но одно можно разложить на множители, то выражение часто сильно упрощается.

Разложим числа 4 и 8 через степень числа 2:

\[4=2^2, \quad 8=2^3.\]

Тогда

\[\frac{2^5\cdot 4^3}{8^2}=\frac{2^5\cdot (2^2)^3}{(2^3)^2}.\]

Теперь применяем правило степени степени:
\((a^m)^n=a^{mn}\).

Получаем:

\[\frac{2^5\cdot 2^6}{2^6}.\]

В числителе степени с одинаковым основанием перемножаются, значит показатели складываются:

\[2^5\cdot 2^6=2^{11}.\]

Теперь дробь имеет вид:

\[\frac{2^{11}}{2^6}.\]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[2^{11-6}=2^5=32.\]

Итак, правильный ответ: 32.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не делите показатели в дроби как обычные числа — при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются;
• сначала обязательно приводите все основания к одинаковому виду;
• если видите 4, 8, 16, 32, часто удобно записать их как степени двойки.

Типичная ошибка — сразу написать \(4^3=12\) или \(8^2=16\). Так делать нельзя: степень — это не умножение основания на показатель, а повторное умножение основания на себя.

Сначала заметим главное: в знаменателе основание 6 можно разложить на множители: \(6=2\cdot 3\). Это и есть ключ к задаче, потому что сокращать степени можно только тогда, когда основания одинаковые.

Перепишем выражение:

\[\dfrac{2^7\cdot 3^7}{6^5}=\dfrac{2^7\cdot 3^7}{(2\cdot 3)^5}.\]

Теперь применяем свойство степени произведения:

\[(2\cdot 3)^5=2^5\cdot 3^5.\]

Тогда получаем:

\[\dfrac{2^7\cdot 3^7}{2^5\cdot 3^5}.\]

Сокращаем одинаковые основания, вычитая показатели:

\[2^{7-5}\cdot 3^{7-5}=2^2\cdot 3^2.\]

Считаем:

\[2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36.\]

Ответ: 36.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — попытаться просто вычесть показатели в исходной дроби, не разложив число 6 на \(2\cdot 3\). Так делать нельзя: основания должны совпадать. Ещё одна ошибка — забыть, что \((ab)^n=a^n b^n\).

Как действовать на ОГЭ: 1) разложить составное основание; 2) переписать степень произведения; 3) сократить одинаковые основания; 4) вычислить оставшееся число. Этот алгоритм помогает быстро и без лишних ошибок решать такие задания.

Решим выражение по шагам, используя свойства степеней.

1. Сначала преобразуем степень степени. По правилу (aⁿ)^k = a^nk. Значит,

(2⁴)² = 2⁸.

2. Теперь у нас произведение степеней с одинаковым основанием: 2^-3 · 2⁸. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают:

2^-3 · 2⁸ = 2^-3+8 = 2⁵.

3. Вычисляем получившуюся степень: 2⁵ = 32.

Ответ: 32.

Почему здесь легко ошибиться: часто ученики либо забывают сначала раскрыть (2⁴)², либо неверно работают с отрицательной степенью. Важно помнить: при умножении степеней складываются показатели, а не сами основания. А отрицательная степень не мешает решению — просто нужно аккуратно сложить показатели.

Совет для ОГЭ: если в выражении есть степень степени и отрицательная степень, всегда двигайтесь в таком порядке: сначала преобразуйте степень степени, затем объединяйте одинаковые основания, и только после этого считайте результат.