Пробег и путь автомобиля (задачи на расстояние): задания с ответами

Решение таких задач строится на одной идее: за один полный оборот колесо проходит длину своей окружности. Поэтому сначала нужно найти диаметр колеса, а затем вычислить длину окружности по формуле L = πD.

1. Найдём высоту боковины шины.
В маркировке 205/55 R16 число 205 — это ширина шины в миллиметрах, а 55% — это отношение высоты боковины к ширине. Значит, высота боковины равна:

H = 205 · 55 / 100 = 112,75 мм.

2. Переведём диаметр диска в миллиметры.
Диаметр диска равен 16 дюймам. Так как 1 дюйм = 25,4 мм, получаем:

d = 16 · 25,4 = 406,4 мм.

3. Найдём полный диаметр колеса.
Колесо состоит из диска и двух боковин: сверху и снизу. Поэтому к диаметру диска нужно прибавить две высоты боковины:

D = 406,4 + 2 · 112,75 = 406,4 + 225,5 = 631,9 мм.

4. Найдём длину окружности.
За один оборот колесо проходит путь, равный длине окружности:

L = πD ≈ 3,14 · 631,9 = 1984,466 мм.

Округляем до десятых:

1984,5 мм.

Ответ: 1984,5 мм.

Почему здесь легко ошибиться?

• Часто забывают умножить высоту боковины на 2. Но боковина есть и сверху, и снизу колеса.
• Иногда не переводят дюймы в миллиметры. В таких задачах все величины нужно привести к одним единицам.
• Ещё одна типичная ошибка — использовать радиус вместо диаметра. Здесь удобнее сразу находить диаметр и подставлять его в формулу L = πD.

Если на ОГЭ встретится похожая задача, действуйте по короткому алгоритму: высота боковины → диаметр диска в мм → полный диаметр колеса → длина окружности. Это помогает не терять баллы на вычислениях.

Путь автомобиля за один оборот колеса равен длине окружности колеса. Длина окружности вычисляется по формуле L = π·D, где D — диаметр. Значит, если меняется диаметр колеса, то во столько же раз меняется и путь за один оборот, потому что число π в формуле одинаковое и сокращается при сравнении.

Сравним новый диаметр с исходным:

63 / 60 = 1,05.

Это значит, что новый путь за один оборот стал в 1,05 раза больше, чем был раньше. Переведём это в проценты:

(1,05 − 1) · 100% = 5%.

Значит, путь за один оборот увеличится на 5%.

Почему так удобно решать? В таких задачах не нужно находить саму длину окружности в сантиметрах: достаточно сравнить диаметры. Это экономит время и уменьшает риск ошибки.

Частые ошибки:

• считать разность диаметров: 63 − 60 = 3, а потом ошибочно считать, что это и есть процент;
• забывать, что нужно не просто сравнить числа, а найти относительное изменение;
• перепутать увеличение и уменьшение;
• делить меньшее число на большее и получать неправильный вывод.

Алгоритм для ОГЭ:

1. Запомнить: путь за один оборот = длина окружности.
2. Использовать формулу L = π·D.
3. Сравнить новые и старые диаметры как отношение новый / старый.
4. Найти, на сколько процентов это отличается от 100%.

В этой задаче ответ получается положительным, потому что диаметр увеличился.

Путь автомобиля за один оборот колеса равен длине окружности колеса. А длина окружности вычисляется по формуле L = πD, где D — диаметр. Значит, если диаметр меняется, то путь за один оборот меняется в той же пропорции.

Найдём, во сколько раз увеличился диаметр:

66 / 60 = 1,1.

Это значит, что новая длина окружности тоже стала в 1,1 раза больше. Следовательно, путь за один оборот увеличился на 10%.

Можно проверить и через проценты: увеличение диаметра составило 66 - 60 = 6 см. Относительно исходного значения это

6 / 60 = 0,1 = 10%.

Ответ: 10%.

Как не ошибиться в ОГЭ: не нужно считать саму длину окружности полностью — число π всё равно сократится, если сравнивать старое и новое значения. Важно брать новое значение и сравнивать его с исходным. Частая ошибка — найти только разность диаметров и забыть разделить на исходный диаметр. Ещё одна ошибка — перепутать, что считать за 100%: 100% — это старый диаметр (или старый путь), а не прибавка.

В таких задачах главное понять: пробег за один оборот колеса равен длине окружности колеса. Значит, если меняется диаметр колеса, то в той же пропорции меняется и пробег за один оборот.

Разберём шину по маркировке.

1. Найдём высоту боковины для каждой шины.

Для шины 205/55 R16 ширина равна 205 мм, профиль 55%, значит высота боковины:

H₁ = 205 · 0,55 = 112,75 мм.

Для шины 205/60 R16:

H₂ = 205 · 0,60 = 123 мм.

2. Переведём диаметр диска в миллиметры.

1 дюйм = 25,4 мм, значит для R16:

d = 16 · 25,4 = 406,4 мм.

3. Найдём полный диаметр колеса.

Полный диаметр равен диаметру диска плюс две высоты боковины:

D₁ = 406,4 + 2 · 112,75 = 631,9 мм.

D₂ = 406,4 + 2 · 123 = 652,4 мм.

4. Сравним пробег за один оборот.

Длина окружности пропорциональна диаметру, поэтому процент увеличения равен:

((D₂ / D₁) - 1) · 100%.

Подставим значения:

((652,4 / 631,9) - 1) · 100% ≈ 3,24%.

Поэтому пробег за один оборот увеличится примерно на 3,2%.

Ответ: 3,2%.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте ширину шины и высоту боковины: высота боковины — это процент от ширины;
• обязательно переводите дюймы в миллиметры;
• сравнивать нужно не диаметры сами по себе, а длины окружностей, то есть пробег за один оборот;
• если второй диаметр больше первого, то изменение должно быть увеличением, а не уменьшением.

В тесте часто встречаются дистракторы, где забыли перевести дюймы в миллиметры или взяли только разницу диаметров. Но правильный способ — найти отношение новых и старых значений и перевести его в проценты.

Решаем задачу по стандартному алгоритму для шин.

1. Что именно сравниваем?
Пробег за один оборот колеса равен длине окружности колеса. Значит, если сравнить длины окружностей старого и нового колеса, то мы сразу узнаем, как изменится пробег за один оборот.

2. Находим высоту боковины.
Для шины 195/65 R15 высота боковины равна 65% от 195 мм:

H₁ = 0,65 · 195 = 126,75 мм.

Для шины 205/55 R16:

H₂ = 0,55 · 205 = 112,75 мм.

3. Переводим диаметр диска в миллиметры.
1 дюйм = 25,4 мм.

Тогда:

d₁ = 15 · 25,4 = 381 мм,

d₂ = 16 · 25,4 = 406,4 мм.

4. Находим полный диаметр колеса.
Полный диаметр: D = d + 2H, потому что боковина есть сверху и снизу.

D₁ = 381 + 2 · 126,75 = 381 + 253,5 = 634,5 мм.

D₂ = 406,4 + 2 · 112,75 = 406,4 + 225,5 = 631,9 мм.

5. Сравниваем пробег за один оборот.
Длина окружности L = πD, поэтому отношение пробегов равно отношению диаметров:

\(\dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{D_2}{D_1} = \dfrac{631{,}9}{634{,}5} \approx 0{,}9959\).

Это значит, что новый пробег за один оборот составляет примерно 99,59% от старого.

Тогда процентное изменение:

(0,9959 − 1) · 100% ≈ −0,41%.

Ответ: пробег уменьшится примерно на 0,4%.

Почему именно так?
Многие ошибаются и сравнивают только ширину шины или только диаметр диска. Но на пробег влияет именно длина окружности колеса, а значит нужно учитывать и диаметр диска, и две боковины. Ещё одна частая ошибка — забыть перевести дюймы в миллиметры. На ОГЭ такие задачи удобно решать по одному и тому же шаблону: высота боковины → полный диаметр → длина окружности → процентное изменение.

Идея задачи такая: пробег за один оборот колеса зависит от длины окружности колеса. Чем больше диаметр колеса, тем больше путь за один оборот.

Разберёмся по шагам.

1. Найдём высоту боковины каждой шины. В маркировке, например 205/55 R16, число 205 — это ширина шины в миллиметрах, а 55% — профиль. Значит, высота боковины равна:

205 · 55% = 205 · 0,55 = 112,75 мм.

Для новой шины 225/45 R17:

225 · 45% = 225 · 0,45 = 101,25 мм.

2. Найдём диаметр колеса. Полный диаметр колеса складывается из диаметра диска и двух боковин:

диаметр колеса = диаметр диска + 2 · высота боковины.

Важно не забыть, что диаметр диска дан в дюймах, а высота боковины — в миллиметрах. Переводим дюймы в миллиметры: 1 дюйм = 25,4 мм.

Для старой шины:

16 · 25,4 = 406,4 мм,

D₁ = 406,4 + 2 · 112,75 = 406,4 + 225,5 = 631,9 мм.

Для новой шины:

17 · 25,4 = 431,8 мм,

D₂ = 431,8 + 2 · 101,25 = 431,8 + 202,5 = 634,3 мм.

3. Сравним пробег за один оборот. Длина окружности равна πD, поэтому процентное изменение пробега такое же, как процентное изменение диаметра:

((D₂ - D₁) / D₁) · 100%.

Подставим числа:

((634,3 - 631,9) / 631,9) · 100% = (2,4 / 631,9) · 100% ≈ 0,38%.

Округляем до целого: 1%.

Ответ: пробег увеличится на 1%.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1) не путайте ширину и профиль;
2) не забудьте перевести дюймы в миллиметры;
3) сравнивайте именно длины окружностей, а не только диаметры дисков;
4) если просят процент изменения, важно понять, увеличение это или уменьшение.

В таких задачах удобно помнить: если изменился диаметр колеса, то ровно во столько же раз изменится и путь за один оборот.

Путь автомобиля за один оборот колеса равен длине окружности колеса. А длина окружности вычисляется по формуле L = πD, где D — диаметр. Значит, если диаметр меняется, то путь за один оборот меняется в той же пропорции.

В задаче сказано, что диаметр стал на 8% больше. Это означает, что новый диаметр равен 108% от старого. Тогда и длина окружности, а значит и путь за один оборот, тоже увеличится до 108% от прежнего значения.

Следовательно, увеличение пути составит 8%.

Как рассуждать на ОГЭ:

1. Понять, что за один оборот путь равен длине окружности.
2. Использовать формулу L = πD.
3. Заметьте: π в отношении сокращается, поэтому достаточно сравнить диаметры.
4. Если диаметр увеличился на 8%, то и путь увеличится на 8%.

Частые ошибки:

• путать увеличение диаметра с увеличением радиуса;
• складывать проценты неправильно, например думать, что нужно прибавить 8% от 100 и получить 1008%;
• считать, что путь зависит от площади колеса — это неверно, здесь нужна именно длина окружности.

Правильный ответ: 8%.

Путь, который колесо проходит за один оборот, равен длине окружности колеса. А длина окружности выражается формулой L = πD, где D — диаметр.

Значит, если диаметр колеса увеличился, то во столько же раз увеличится и путь за один оборот, потому что число π в формуле одно и то же и сокращается при сравнении.

Сравним новый диаметр с исходным:

77 : 70 = 1,1.

Это значит, что новая длина окружности стала в 1,1 раза больше прежней, то есть увеличилась на 0,1 от исходного значения.

Переведём это в проценты: 0,1 = 10%.

Ответ: путь за один оборот увеличится на 10%.

Как рассуждать на ОГЭ: если спрашивают про изменение пути за один оборот, почти всегда нужно сравнить диаметры, потому что длина окружности прямо пропорциональна диаметру. Не нужно отдельно считать саму длину окружности в сантиметрах, если спрашивают только процент изменения.

Частые ошибки:

• сравнивают разность диаметров: 77 − 70 = 7, а потом ошибочно считают это процентом;
• берут за 100% не исходный диаметр, а новый;
• забывают, что если диаметр вырос на 10%, то и путь за оборот вырос на 10%.

Полезный приём: при задачах на колёса и окружности сразу ищите отношение новое / старое. Если получилось число больше 1, это увеличение; если меньше 1 — уменьшение.

Нужно сравнить длины окружностей колёс, потому что именно за один оборот автомобиль проходит путь, равный длине окружности колеса. Если колесо стало меньше по диаметру, то и путь за один оборот уменьшится.

1. Разберём маркировку шин.

В записи 205/55 R16:

• 205 — ширина шины в миллиметрах;
• 55% — профиль, то есть высота боковины составляет 55% от ширины;
• 16 — диаметр диска в дюймах.

Для второй шины 205/50 R16 ширина и диаметр диска те же, меняется только профиль.

2. Найдём высоту боковины у каждой шины.

Первая шина: 205 · 55 / 100 = 112,75 мм.

Вторая шина: 205 · 50 / 100 = 102,5 мм.

3. Найдём полный диаметр колеса.

Сначала переведём диаметр диска из дюймов в миллиметры: 1 дюйм = 25,4 мм, значит

16 · 25,4 = 406,4 мм.

Полный диаметр колеса равен диаметру диска плюс две боковины:

Для первой шины: 406,4 + 2 · 112,75 = 631,9 мм.

Для второй шины: 406,4 + 2 · 102,5 = 611,4 мм.

4. Сравним пробег за один оборот.

Длина окружности пропорциональна диаметру, а число π в формуле C = πD сократится при сравнении. Значит, процент уменьшения пробега такой же, как процент уменьшения диаметра:

(631,9 - 611,4) / 631,9 · 100%.

Разность диаметров: 20,5 мм.

20,5 / 631,9 · 100% ≈ 3,244%.

Округляем до десятых: 3,2%.

Ответ: пробег за один оборот уменьшится на 3,2%.

Полезная идея для ОГЭ: если меняется только профиль, то удобнее сначала найти полный диаметр колеса, а затем сравнить его с прежним. Ошибки часто бывают такие: забывают перевести дюймы в миллиметры, берут только ширину шины, или сравнивают не полный диаметр, а только высоту боковины. В таких задачах важно помнить: путь за оборот связан именно с длиной окружности, а не с чем-то одним из параметров шины.

Решаем задачу по шагам. Здесь нужно найти длину окружности колеса, потому что именно такую длину проходит колесо за один полный оборот.

1. Найдём высоту боковины шины. В маркировке 195/60 R15 число 195 — это ширина шины в миллиметрах, а 60% — отношение высоты боковины к ширине. Значит, высота одной боковины равна:

195 · 0,60 = 117 мм.

2. Переведём диаметр диска из дюймов в миллиметры. 1 дюйм = 25,4 мм, значит:

15 · 25,4 = 381 мм.

3. Найдём полный диаметр колеса. Колесо состоит из диаметра диска и двух боковин, поэтому:

381 + 2 · 117 = 381 + 234 = 615 мм.

4. Найдём длину окружности. Формула длины окружности: L = πD. Подставляем:

L = 3,14 · 615 = 1931,1 мм.

Значит, за один оборот колесо проедет 1931,1 мм.

Почему здесь легко ошибиться?

• Нельзя забывать, что боковин две, поэтому высоту нужно умножить на 2.
• Нельзя оставлять диаметр диска в дюймах — его обязательно переводят в миллиметры.
• Нельзя путать радиус и диаметр: в этой задаче нужен именно диаметр для формулы длины окружности.

Если в ОГЭ видите маркировку шины, действуйте по короткому алгоритму: найти боковину → перевести диск в мм → сложить → применить формулу окружности. Это помогает избежать лишних ошибок и быстро получить верный ответ.

Нужно найти длину окружности колеса, потому что за один полный оборот колесо проходит расстояние, равное своей окружности.

Разберём маркировку шины 195/60 R15.

• 195 — ширина шины в миллиметрах.
• 60% — высота боковины составляет 60% от ширины.
• 15 — диаметр диска в дюймах.

Шаг 1. Найдём высоту боковины.

Высота боковины:

H = 195 · 60 / 100 = 117 мм.

Шаг 2. Переведём диаметр диска в миллиметры.

1 дюйм = 25,4 мм, значит:

15 · 25,4 = 381 мм.

Шаг 3. Найдём полный диаметр колеса.

Колесо состоит из диаметра диска и двух боковин:

D = 381 + 2 · 117 = 615 мм.

Шаг 4. Найдём длину окружности.

Формула длины окружности:

L = πD.

Подставляем:

L = 3,14 · 615 = 1931,1 мм.

Значит, за один оборот колесо проходит 1931,1 мм.

Ответ: 1931,1 мм.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не забывайте, что высоту боковины нужно взять дважды, потому что она есть и сверху, и снизу колеса.
• Не путайте дюймы и миллиметры: диаметр диска обязательно переводится в мм.
• Не используйте радиус вместо диаметра: в этой задаче удобнее сразу находить диаметр и затем длину окружности.
• Если просят путь за один оборот, это всегда длина окружности, а не площадь круга.