Преобразование степенных выражений и работа с корнями: задания с ответами

Решим выражение по шагам:

\(\dfrac{72}{(3\sqrt{2})^2}\).

Главная идея здесь — правильно возвести в квадрат произведение. Если у нас есть \((ab)^2\), то это означает \(a^2b^2\). Поэтому

\((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\).

Теперь выражение стало намного проще:

\(\dfrac{72}{18} = 4\).

Ответ: 4.

Почему здесь часто ошибаются:

• иногда возводят в квадрат только число 3 и забывают про корень;
• иногда пишут \((\sqrt{2})^2 = \sqrt{4}\), хотя правильно сразу понимать, что \((\sqrt{2})^2 = 2\);
• иногда после упрощения не делят до конца и получают неверную дробь.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала упростить знаменатель, используя свойства степеней и корней, а потом выполнить обычное деление. Это помогает быстро и без ошибок получать целый ответ.

Используем свойства степеней по порядку.

1. Сначала упростим степень степени. Для выражения (2⁴)² применяется правило: (a^m)ⁿ = a^m·n. Значит,

(2⁴)² = 2⁸.

2. Теперь перемножим степени с одинаковым основанием. Если основания одинаковые, показатели складываются: a^m·aⁿ = a^m+n. Тогда

2^-3 · 2⁸ = 2^-3+8 = 2⁵.

3. Вычислим значение. 2⁵ = 32.

Ответ: 32.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда упрощайте степень степени, а уже потом объединяйте степени с одинаковым основанием. Частая ошибка — умножить показатели не там, где нужно, или забыть, что отрицательный показатель означает обратное число. В этом задании отрицательный показатель легко «теряется», если сразу пытаться считать всё в уме. Надёжный способ — записывать преобразования по шагам.

Решим выражение по шагам, используя свойства степеней и корней.

1) Сначала заметим, что число под корнем — это степень: \(49^3\).

2) Квадратный корень можно записать как степень с показателем \(\tfrac{1}{2}\):

\(\sqrt{49^3}=(49^3)^{\frac{1}{2}}\).

3) При возведении степени в степень показатели умножаются:

\((49^3)^{\frac{1}{2}}=49^{3\cdot\frac{1}{2}}=49^{\frac{3}{2}}\).

4) Удобнее сначала вынести квадрат из-под корня. Так как \(49=7^2\), получаем:

\(\sqrt{49^3}=\sqrt{49^2\cdot 49}=\sqrt{49^2}\cdot\sqrt{49}=49\cdot 7=343\).

Ответ: \(343\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

— Не забывайте, что \(\sqrt{a^2}=a\) только при \(a\ge 0\); здесь основание положительное, значит всё корректно.

— Частая ошибка — умножить 3 на 2 вместо 1/2 или неправильно применить правило степеней. Всегда помните: корень — это степень \(\frac12\).

— Если число под корнем является полным квадратом, иногда быстрее сначала разложить его на квадрат и остаток, а уже потом извлекать корень.

Такие задания проверяют базовый навык преобразования степеней и корней. Если уверенно использовать правило \((a^m)^n=a^{mn}\) и понимать, что \(\sqrt{a}=a^{1/2}\), то вы сможете быстро и без лишних вычислений находить ответ.

Здесь нужно воспользоваться основным свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Шаг 1. В выражении все степени имеют одно и то же основание 2, значит можно объединить их:

2³ · 2^-5 · 2⁴ = 2^{3 + (-5) + 4}.

Шаг 2. Сложим показатели:

3 + (-5) + 4 = 2.

Получаем:

2² = 4.

Ответ: 4.

Почему так можно делать? Свойство a^m · aⁿ = a^m+n работает для одинакового основания a. Отрицательный показатель тоже складывается по тем же правилам: это просто целое число, поэтому его нужно учитывать при сумме показателей.

Частые ошибки:

1) Складывают основания вместо показателей. Так делать нельзя: складываются именно показатели.

2) Забывают про минус у отрицательного показателя. Важно писать 3 + (-5) + 4, а не 3 + 5 + 4.

3) Перемножают показатели или пытаются возводить сумму в степень. В этом задании нужно только сложить показатели степеней с одинаковым основанием.

На ОГЭ такие задания важно решать аккуратно и быстро: сначала проверьте, что основания одинаковые, затем сложите показатели и только после этого вычислите значение степени.

Решим выражение по правилам степеней. В таких заданиях важно идти по порядку: сначала степень степени, потом произведение степеней с одинаковым основанием.

1. Упростим степень степени. По правилу \((a^m)^n=a^{mn}\) показатель нужно перемножить, а не сложить:

\((2^3)^2=2^{3\cdot 2}=2^6\).

2. Перемножим степени с одинаковым основанием. Если основания одинаковые, показатели складываются:

2^6\cdot 2^{-5}=2^{6+(-5)}=2^1.

3. Вычислим значение.

2^1=2.

Ответ: 2.

Почему легко ошибиться? Частая ошибка — при возведении степени в степень складывать показатели, например писать 2^{3+2}. Это неверно. Второй тип ошибки — забыть про отрицательный показатель. Напомним: 2^{-5}=rac{1}{2^5}, но в данном примере удобнее сначала воспользоваться правилом умножения степеней с одинаковым основанием. На ОГЭ такой способ обычно самый быстрый и надёжный.

Полезный алгоритм для проверки: 1) упростите внутреннюю степень; 2) сложите показатели при одинаковом основании; 3) если есть отрицательный показатель, аккуратно учитывайте знак; 4) доведите ответ до обычного числа или дроби.

Решим задачу с помощью свойства степеней: (a^m)ⁿ = a^m·n.

В левой части у нас степень в степени:

(3⁴)^x = 3^4x.

Теперь получаем равенство двух степеней с одинаковым основанием:

3^4x = 3²⁰.

Если основания одинаковые и основание не равно 1, то равны и показатели:

4x = 20.

Делим обе части на 4:

x = 5.

Ответ: 5.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не складывайте показатели в степени в степени — их нужно умножать.
• После преобразования обязательно сравните показатели, если основания одинаковые.
• Проверьте, что основание не равно 1: здесь основание 3, значит правило применять можно.

Решим выражение по шагам, используя свойства степеней и корней.

Дано: \(\dfrac{72}{(3\sqrt{2})^2}\).

Шаг 1. Возводим в квадрат произведение в знаменателе. По правилу \((ab)^2=a^2b^2\) получаем:

\((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2\).

Шаг 2. Вычисляем каждую часть.

\(3^2=9\), а \((\sqrt{2})^2=2\), потому что квадрат и квадратный корень взаимно уничтожаются.

Тогда знаменатель равен:

\(9\cdot 2=18\).

Шаг 3. Делим числитель на знаменатель.

\(\dfrac{72}{18}=4\).

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ: не забывайте, что степень относится ко всему выражению в скобках, а не только к числу 3 или только к корню. Ещё одна частая ошибка — неверно считать \((\sqrt{2})^2\): это просто 2, а не \(\sqrt{4}\). Если аккуратно раскрывать скобки и сокращать по шагам, такие задания решаются быстро и без потерь баллов.

Здесь нужно использовать основное свойство квадратного корня: √a · √a = a при a ≥ 0. Это очень важное правило для ОГЭ: если под корнем стоит одно и то же число, то произведение двух одинаковых корней превращается в это число без корня.

Разберём выражение по шагам:

1) Сначала смотрим на сами корни: √18 · √18. Они одинаковые, значит можно сразу применить правило:

√18 · √18 = 18.

2) Но перед первым множителем стоит минус: −√18. Это значит, что всё произведение будет отрицательным.

Поэтому:

−√18 · √18 = −( √18 · √18 ) = −18.

Ответ: −18.

Почему это важно на экзамене? Частая ошибка — забыть про минус и написать 18. Ещё одна ошибка — пытаться сначала вычислять сам корень и оставлять в ответе корень, хотя здесь требуется получить обычное число. В таких заданиях полезно помнить короткий алгоритм: сначала упростить произведение одинаковых корней, потом аккуратно учесть знак перед множителем.

Проверка: если бы перед корнем минуса не было, ответ был бы 18. Значит наличие минуса действительно меняет знак результата на противоположный.

В таких заданиях нужно помнить главное определение степени: aⁿ — это произведение числа a само на себя n раз.

Здесь основание степени — число 7, а показатель степени — 3. Значит,

7³ = 7 · 7 · 7.

Теперь считаем по шагам:

7 · 7 = 49,

49 · 7 = 343.

Следовательно, 7³ = 343.

Ответ: 343.

Частая ошибка на ОГЭ — перепутать степень с умножением на показатель. Например, некоторые пишут 7 · 3 вместо 7 · 7 · 7. Но показатель степени показывает, сколько раз число умножается само на себя, а не на какое число его нужно умножить. Ещё одна полезная проверка: чем больше показатель степени, тем быстрее растёт значение, если основание больше 1. Здесь ответ должен быть заметно больше 7, и это помогает заметить грубую ошибку.

Чтобы не потерять лёгкий балл, всегда сначала выписывайте степень как повторное умножение, а уже потом считайте аккуратно по порядку.

Рассмотрим выражение внимательно:

\(\dfrac{45}{(3\sqrt{5})^2}\)

Главная идея здесь — правильно возвести в квадрат всё произведение в знаменателе. Частая ошибка на ОГЭ — возводить в квадрат только число 3 или только корень \(\sqrt{5}\), но нужно учитывать весь множитель целиком.

Используем правило:

\((ab)^2=a^2b^2\)

Тогда

\((3\sqrt{5})^2=3^2\cdot (\sqrt{5})^2=9\cdot 5=45\).

Теперь подставим это в дробь:

\(\dfrac{45}{45}=1\).

Значит, значение выражения равно 1.

Как не ошибиться на экзамене:

• сначала внимательно выделяйте весь множитель в скобках;
• помните, что \((\sqrt{a})^2=a\), если \(a\ge 0\);
• после упрощения знаменателя обязательно проверьте, можно ли сократить дробь.

В этом задании дробь сокращается полностью, поэтому правильный ответ — 1.

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), где \(a\neq 0\).

В нашем выражении основание одинаковое — это число 3. Значит, нужно вычесть показатели степени:

\(\dfrac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^{3}\).

Теперь вычисляем:

\(3^3=27\).

Ответ: 27.

Почему здесь важно быть внимательным? При вычитании отрицательного числа легко ошибиться со знаком. Например, \(-2-(-5)\) — это не \(-7\), а \(3\). Это одна из самых частых ошибок в ОГЭ.

Ещё одна типичная ошибка — пытаться «сократить» степени по отдельности или складывать показатели. Для деления степеней с одинаковым основанием действует именно вычитание показателей, а не сложение.

Полезный алгоритм для таких заданий:

1. Проверьте, что основания одинаковые.
2. Примените правило \(a^m/a^n=a^{m-n}\).
3. Аккуратно вычислите разность, особенно если есть отрицательные числа.
4. Если получилось, найдите числовое значение степени.

Итак, правильный ответ — 27.

Решим выражение по шагам, используя свойства степеней и корней.

1. Сначала вычисляем знаменатель: \((2\sqrt{3})^2\).

Когда произведение возводят в квадрат, квадрат возводится каждый множитель:

\((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2\).

Теперь считаем отдельно:

\(2^2 = 4\), а \((\sqrt{3})^2 = 3\), потому что квадрат и корень «сокращают» друг друга.

Значит, \((2\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12\).

2. Подставляем в дробь:

\(\dfrac{12}{(2\sqrt{3})^2} = \dfrac{12}{12} = 1\).

Ответ: 1.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте, что квадрат относится ко всему произведению в скобках;
• ошибка бывает, когда записывают \((2\sqrt{3})^2 = 2\cdot 3 или 2^2\cdot \sqrt{3} — это неверно;
• помните правило: \((ab)^2 = a^2b^2, а \((\sqrt{a})^2 = a при \(a \ge 0\).

Такие задания на экзамене важно доводить до простого числа: сначала аккуратно раскрыть степень, потом упростить корень, затем сократить дробь.