Степень: определение и выражения с параметром: задания с ответами

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), если \(a\neq 0\).

Здесь основание одинаковое: это число \(7\). Значит, нужно вычесть показатели степени:

\(\dfrac{7^{x+3}}{7^2}=7^{(x+3)-2}\).

Упростим показатель:

\((x+3)-2=x+1\).

Получаем равносильное выражение:

\(7^{x+1}\).

Почему это верно для любых целых значений \(x\)? Потому что правило деления степеней зависит только от показателей и не требует, чтобы \(x\) был каким-то особенным числом. Важно лишь, что основание не равно нулю, а здесь \(7\neq 0\).

Частая ошибка: некоторые ученики складывают показатели или записывают \(7^{x+3+2}\). Это неверно: при делении степеней показатели вычитаются, а не складываются.

Ещё одна ошибка: забыть привести выражение к одной степени и оставить дробь без упрощения. В заданиях ОГЭ обычно нужно именно найти равносильную запись в более простом виде.

Ответ: \(7^{x+1}\).

Здесь нужно применить свойство степени степени:

(aⁿ)^m = a^n·m.

Это главное правило для таких заданий на ОГЭ. Основание степени остаётся тем же, а показатели перемножаются.

В нашем выражении основание — x, первый показатель — 3, второй показатель — -2. Тогда:

(x³)^-2 = x^3·(-2) = x^-6.

Получаем ответ x^-6.

Полезно помнить: отрицательный показатель не исчезает и не превращается в плюс сам по себе. Он просто участвует в умножении показателей. Частая ошибка — складывать показатели или писать x^3-2, но это неверно. При возведении степени в степень показатели умножаются, а не складываются.

Ещё одна типичная ошибка — оставить ответ как (x³)^-2 без упрощения. В таких заданиях нужно записать одну степень с одним основанием.

Если хотите проверить себя на экзамене, задайте вопрос: «Это степень степени?» Если да, сразу применяйте правило умножения показателей. Это помогает быстро и без вычислений получить правильный ответ.

Используем основное правило для степеней с одинаковым основанием:

a^m-n = a^m / aⁿ, где a > 0, a ≠ 1.

В нашей задаче основание — число 2, а показатель — разность m-t. Значит, нужно представить степень 2^m-t как дробь степеней с одинаковым основанием:

2^m-t = 2^m / 2^t.

Это тождество верно при любых значениях параметров m и t, для которых выражения определены в рамках свойства степеней.

Почему другие варианты часто бывают неверными? Ошибка №1 — перепутать знак в показателе и записать 2^t-m. Ошибка №2 — заменить вычитание показателей сложением, например 2^m+t. Ошибка №3 — забыть, что при делении степеней основания должны быть одинаковыми. На ОГЭ такие ошибки встречаются очень часто, поэтому полезно сначала мысленно вспомнить формулу a^m-n = a^m / aⁿ, а уже потом проверять варианты ответа.

Итак, правильный ответ — выражение 2^m / 2^t.

Используем правило умножения чисел, записанных в стандартной форме: сначала перемножаем коэффициенты, затем складываем показатели степеней.

1. Перемножим коэффициенты:

3{,}2\cdot 1{,}5 = 4{,}8.

2. Сложим показатели степеней:

10^4\cdot 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^2.

Теперь получаем:

(3{,}2\cdot10^4)\cdot(1{,}5\cdot10^{-2}) = 4{,}8\cdot10^2.

3. Запишем ответ в нужном виде:

4{,}8\cdot10^2 = 480.

Значит, правильный ответ: 480.

Почему это важно на ОГЭ: часто ученики делают две типичные ошибки: складывают коэффициенты вместо умножения или неправильно складывают показатели, например пишут 10^{4-2} без понимания, что -2 тоже надо прибавлять как число. Ещё одна ошибка — забыть привести результат к удобному виду, если в ответе нужна обычная десятичная запись.

Памятка: при умножении чисел вида a\cdot10^m и b\cdot10^n всегда выполняйте два действия: a\cdot b и 10^{m+n}. Если требуется, переведите результат из стандартной формы в обычную запись.

Разберём выражение по шагам. Важно помнить главное правило: если основание степени отрицательное, то знак результата зависит от чётности показателя.

1) \((-3)^2=9\), потому что любое число в чётной степени даёт неотрицательный результат: два минуса при умножении «сокращаются».

2) \((-3)^3=-27\), потому что показатель нечётный: \((-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27\). При нечётной степени знак остаётся минус.

3) \((-3)^4=81\), так как степень чётная, результат положительный.

Теперь складываем полученные значения:

9+(-27)+81=9-27+81=90-27=63.

Ответ: 63.

Частая ошибка на ОГЭ — забыть скобки и считать, что \(-3^2=-9\). Это неверно: без скобок сначала возводят в степень число 3, а потом ставят минус. Здесь же везде стоит именно \((-3)\), значит основание отрицательное целиком. Ещё одна типичная ошибка — неправильно определить знак у нечётной и чётной степени. Чтобы не потерять баллы, сначала отдельно найдите знак каждого слагаемого, потом его значение, и только затем складывайте.

Чтобы вычислить такое выражение, удобно сначала заменить каждое слагаемое обычной десятичной дробью.

1. Преобразуем степени десяти.

Если показатель степени отрицательный, то запятая в числе переносится влево. Поэтому:

• 3\cdot 10^{-2} = 0{,}03
• 5\cdot 10^{-3} = 0{,}005
• 2\cdot 10^{-4} = 0{,}0002

2. Складываем полученные числа.

0{,}03 + 0{,}005 + 0{,}0002 = 0{,}0352.

Значит, значение выражения равно 0,0352.

Почему это важно на ОГЭ: в заданиях на степени десяти часто проверяют именно аккуратность вычислений. Самая распространённая ошибка — неверно перенести запятую при отрицательной степени. Например, 10^{-2} — это не 0{,}002, а 0{,}01. Ещё одна ошибка — сложить только целые части или потерять нули в дробной записи.

Как не потерять баллы: записывайте все слагаемые в одинаковом десятичном виде и выравнивайте разряды. Тогда сложение будет простым и надёжным.

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), если \(a\neq 0\).

Здесь основание одинаковое — это число \(7\), а значит можно вычесть показатели:

\(\dfrac{7^{m+5}}{7^2}=7^{(m+5)-2}=7^{m+3}\).

Итак, равносильное выражение — \(7^{m+3}\).

Почему это важно на ОГЭ: в подобных заданиях часто специально подбирают дробь со степенями, чтобы проверить, умеете ли вы применять правило деления степеней. Ошибка, которую допускают многие ученики, — складывают показатели или просто переписывают дробь без упрощения. Но при делении степеней показатели вычитаются, а не складываются.

Как быстро проверять себя: если основание одно и то же, результат должен остаться степенью с тем же основанием. В ответе показатель должен быть выражен через параметр, и здесь он равен \(m+3\).

Ответ: \(7^{m+3}\).

Используем основное свойство степени: a^m+n = a^m · aⁿ. Оно позволяет разбить показатель на сумму.

В выражении 3^k+2 показатель k+2 — это сумма. Значит, можно записать:

3^k+2 = 3^k · 3².

Теперь вычислим 3² = 9, получаем:

3^k+2 = 9 · 3^k.

Это и есть тождественно равное выражение, потому что равенство верно при любом значении k, для которого определена степень. Здесь основание равно 3, так что ограничений нет.

Почему другие варианты часто бывают неверными?

1. Если написать 3^k + 2, это ошибка: показатель степени нельзя «вынести» отдельно сложением.

2. Если написать 3^k-2, это уже другое выражение: при увеличении показателя на 2 степень умножается на 3², а не уменьшается.

3. Если написать 3^k · 2, тоже ошибка: нужно умножать именно на 9, потому что 3² = 9.

Как действовать на ОГЭ: сначала посмотрите, можно ли представить показатель как сумму или разность. Затем примените свойства степеней с одинаковым основанием. Это самый надёжный способ не потерять лёгкие баллы.

Чтобы вычислить выражение со степенями, сначала находят значение каждой степени отдельно, а потом складывают результаты. Это важный алгоритм для ОГЭ: в таких заданиях нельзя сразу «упростить» всё выражение на глаз, особенно если основание отрицательное.

Вычислим по порядку:

1) (-2)³ = -8, потому что число -2 возводится в нечётную степень, значит результат будет отрицательным.

2) (-2)⁴ = 16, потому что при чётной степени отрицательное число даёт положительный результат.

3) (-2)¹ = -2. Первая степень — это само основание.

Теперь складываем:

-8 + 16 + (-2) = 8 - 2 = 6.

Стоп. Здесь часто делают ошибку: сначала складывают -8 + 16 = 8, а потом 8 + (-2) = 6. Значит, правильный ответ — 6.

Как не ошибиться на экзамене:

• сначала отдельно посчитайте каждую степень;
• вспоминайте: при нечётной степени отрицательное основание остаётся отрицательным, при чётной — становится положительным;
• не забывайте, что a¹ = a.

Итог: значение выражения равно 6.

Используем правило умножения чисел, записанных в стандартной форме: коэффициенты перемножаем, а показатели степени складываем.

1) Перемножим коэффициенты: 3{,}2\cdot 4 = 12{,}8.

2) Сложим показатели степеней десяти: 10^5\cdot 10^{-3}=10^{5+(-3)}=10^2.

Получаем: 12{,}8\cdot 10^2.

3) Это ещё не стандартная форма, потому что коэффициент должен быть не меньше 1 и меньше 10. Переносим запятую в числе 12{,}8 на один знак влево: 12{,}8=1{,}28\cdot 10^1.

Тогда

12{,}8\cdot 10^2 = 1{,}28\cdot 10^1\cdot 10^2 = 1{,}28\cdot 10^3.

Ответ: 1{,}28\cdot 10^3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не складывайте коэффициенты — их нужно умножать;
• показатели степеней складываются только потому, что основание одно и то же: 10;
• если получилось число вроде 12{,}8\cdot 10^2, обязательно приведите его к стандартному виду.

Частая ошибка: написать 3{,}2+4 или 10^{5\cdot(-3)}. В таких заданиях полезно сначала отдельно выполнить действия с числами перед 10, а потом — со степенями.

Используем главное правило степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

В данном выражении основание одно и то же — это число 3:

3ⁿ / 3⁵ = 3^n-5.

Это правило работает для любого целого n, потому что мы не подставляем конкретное число, а преобразуем выражение по общему свойству степеней. Важно помнить: нельзя складывать показатели при делении — это типичная ошибка. Например, неверно писать 3ⁿ⁺⁵ или оставлять выражение без изменений.

Проверим логику на простом примере: если n=7, то 3⁷ / 3⁵ = 3². А по формуле 3^n-5 получаем 3^7-5 = 3². Результат совпадает, значит преобразование верное.

Ответ: 3^n-5.

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

\(a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}\), где \(a\neq 0\).

В нашем примере основание — число 3, а показатель — \(x-2\). Это разность, значит можно переписать степень так:

\(3^{x-2}=\dfrac{3^x}{3^2}\).

Теперь вычислим \(3^2=9\):

\(3^{x-2}=\dfrac{3^x}{9}\).

Это и есть тождественно равное выражение.

Почему это верно? Потому что при вычитании числа из показателя степень делится на соответствующую степень того же основания. Основание не меняется, меняется только форма записи.

Частые ошибки:

• путают правило и пишут \(3^{x-2}=3^x-3^2\) — так делать нельзя;
• меняют основание на \(9\), хотя нужно сохранять основание 3;
• забывают, что \(3^2=9\), и останавливаются на виде \(\dfrac{3^x}{3^2}\).

На ОГЭ удобно сначала определить, что находится в показателе: сумма, разность или произведение. Если это разность, сразу вспоминайте правило деления степеней с одинаковым основанием. Так можно быстро выбрать верный вариант без лишних вычислений.