Расстановка пунктов и вычисление расстояний на плане: задания с ответами

Нужно найти точку поворота маршрута. По условию маршрут от пункта 1 до пункта 4 идёт сначала по прямой до пункта 2, а потом под прямым углом к пункту 4. Значит, точка, в которой происходит поворот, — это именно пункт 2.

Почему это так? Если три пункта лежат на одной прямой, то движение по ним без смены направления идёт по одному и тому же отрезку. А когда сказано, что затем нужно повернуть под прямым углом, это означает, что в данной точке отрезок дороги меняет направление на 90°. Следовательно, именно эта точка и является узловой точкой маршрута.

В подобных задачах ОГЭ полезно действовать по алгоритму:

1. Найти, какие пункты лежат на одной прямой.
2. Определить, в каком пункте есть поворот на перпендикулярный участок.
3. Сопоставить это с описанием маршрута: где начинается прямой участок и где он сменяется другим направлением.

Частая ошибка — путать конечный пункт маршрута с точкой поворота. Здесь конечный пункт — 4, но поворот происходит не в нём, а в 2. Ещё одна ошибка — невнимательно читать условие и думать, что точка между 1 и 3 — это обязательно нужный ответ. На самом деле важен не только порядок точек на прямой, но и тот факт, что именно из этой точки выходит перпендикулярный участок.

Итак, правильный ответ: 2.

Так как дороги AB и BC перпендикулярны, то треугольник ABC — прямоугольный, а отрезок AC является его гипотенузой. Значит, можно применить теорему Пифагора:

AC² = AB² + BC².

Подставим известные значения:

AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Тогда

AC = 10 км.

Это и есть расстояние по прямой между пунктами A и C.

Как не ошибиться на ОГЭ: не нужно складывать 6 и 8, потому что спрашивают не путь по дорогам, а расстояние по прямой. Если в условии сказано, что угол между отрезками прямой, сразу ищите гипотенузу и используйте теорему Пифагора. Частая ошибка — перепутать катет и гипотенузу. Здесь катеты — это данные перпендикулярные дороги, а искомый отрезок между крайними пунктами — гипотенуза.

Здесь нужно найти не прямое расстояние между пунктами, а длину пути по шоссе: от A до перекрёстка и затем от перекрёстка до B.

Шаг 1. Посчитаем путь в клетках.
От пункта A до перекрёстка — 3 клетки.
От перекрёстка до пункта B — 5 клеток.
Всего получается: 3 + 5 = 8 клеток.

Шаг 2. Переведём клетки в километры.
По условию 1 клетка = 2 км, значит 8 · 2 = 16 км.

Ответ: 16 км.

Почему так делают на ОГЭ? В задачах на план местности важно сначала понять, какой именно путь требуется. Если сказано «по шоссе» или дан маршрут через перекрёсток, то нужно складывать длины участков дороги. Нельзя сразу использовать расстояние «по прямой» между точками, потому что оно будет другим.

Частые ошибки:

• считать только один участок, например только от A до перекрёстка;
• умножать на масштаб раньше сложения, но забыть про второй участок;
• путать путь по дорогам с прямым отрезком между пунктами.

Как не потерять балл: если маршрут состоит из нескольких участков, сначала найдите длину каждого участка в клетках, потом сложите, и только после этого переводите в реальные единицы измерения.

Здесь нужно найти расстояние между двумя пунктами, если они лежат на одной дороге и между ними есть несколько подряд идущих участков. Это типичная задача на сложение отрезков.

Поскольку пункты расположены в порядке A — B — C — D, путь от A до D состоит из трёх отрезков:

AD = AB + BC + CD.

Подставим числа:

AD = 3 + 5 + 4 = 12 (км).

Ответ: 12.

Как рассуждать на ОГЭ: сначала внимательно прочитайте порядок пунктов. Если пункты стоят на одной линии, расстояние между крайними точками находится простым сложением всех промежуточных участков. Это важно: не надо искать разность и не надо брать только какой-то один отрезок.

Частые ошибки:

• складывают не все участки, а только два из них;
• путают порядок пунктов и берут неверный маршрут;
• вместо суммы пишут разность;
• забывают указать единицы измерения, хотя в ответе на ОГЭ обычно достаточно только числа.

Полезный алгоритм: 1) выписать путь от одного пункта до другого; 2) отметить все промежуточные отрезки; 3) сложить их длины. В этой задаче получилось 3 + 5 + 4, значит искомое расстояние равно 12 км.

Нужно найти прямое расстояние между пунктами A и C. Так как дороги AB и BC перпендикулярны, то треугольник ABC — прямоугольный, а отрезок AC является гипотенузой.

Сначала переведём длины из клеток в километры:

• AB = 6 клеток, значит AB = 6 · 0,5 = 3 км;
• BC = 8 клеток, значит BC = 8 · 0,5 = 4 км.

Теперь применим теорему Пифагора:

AC² = AB² + BC².

Подставляем значения:

AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Тогда

AC = √25 = 5 км.

Итак, правильный ответ: 5 км.

Как не ошибиться на ОГЭ: не складывайте катеты просто так и не забывайте, что сначала нужно найти длины сторон в реальных единицах, если задан масштаб клетки. Частая ошибка — посчитать по клеткам и забыть умножить на длину одной клетки. Ещё одна ошибка — перепутать прямое расстояние с ломаным путём по дорогам. Прямой маршрут всегда находится по теореме Пифагора, если есть прямой угол.

Поскольку пункты лежат на одной дороге и указано их расположение в порядке Лесная — Родник — Сосновая, расстояние между крайними пунктами равно сумме двух соседних участков.

1) От Лесной до Родника — 3 км.
2) От Родника до Сосновой — 5 км.
3) Тогда расстояние от Лесной до Сосновой:

3 + 5 = 8 (км).

Ответ: 8 км.

Как рассуждать на ОГЭ: если на схеме точки стоят на одной линии или на одном маршруте без ответвлений, нужно найти путь между нужными пунктами и сложить длины всех его частей. Частая ошибка — вычитать 5 − 3 или брать только один из участков. Вычитание здесь не подходит, потому что расстояние между крайними точками получается не разностью, а именно общей длиной пути.

Полезная проверка: ответ должен быть больше каждого из отдельных участков, но не обязательно больше их суммы с чем-то лишним. Здесь 8 км больше 3 и 5, значит результат выглядит разумно.

Здесь важно не искать «прямое» расстояние между точками, а сложить длины всех участков пути по шоссе. В задачах ОГЭ на план местности это самый частый тип ошибки: ученик видит точки A и B и начинает думать про отрезок между ними, хотя по условию нужно пройти именно по дороге, то есть по ломаной.

Разберём решение по шагам.

1. Считаем длину каждого участка в клетках.
Первый участок: 3 клетки на восток.
Второй участок: 4 клетки на север.
Третий участок: 2 клетки на восток.

2. Находим общую длину пути в клетках.
Складываем все участки: 3 + 4 + 2 = 9 клеток.

3. Переводим клетки в километры.
По условию 1 клетка = 2 км, значит 9 клеток = 9 · 2 = 18 км.

Ответ: 18.

Почему так можно делать?
Каждый участок шоссе идёт по прямой вдоль линий сетки, поэтому его длину легко измерить в клетках. Так как маршрут состоит из нескольких таких участков, общая длина находится сложением. После этого обязательно применяем масштаб плана.

Частые ошибки:

1) Забывают один из участков маршрута. Нужно внимательно читать: сколько поворотов и сколько отрезков дано.

2) Путают клетки и километры. Сначала считают клетки, потом переводят по масштабу.

3) Считают «по прямой». Это неверно, если в условии сказано «по шоссе» или показана ломаная дорога.

Чтобы не потерять баллы на ОГЭ, всегда действуйте по одному алгоритму: посчитать участки → сложить клетки → умножить на масштаб. Тогда такие задачи решаются быстро и без ошибок.

Здесь нужно найти не путь по клеткам, а прямое расстояние между пунктами A и B. Такие задачи решаются через теорему Пифагора, потому что горизонтальный и вертикальный отрезки образуют стороны прямоугольного треугольника.

1. Найдём длины катетов в реальных единицах.
По условию сторона клетки равна 0,5 км.

• горизонтальный катет: 3 клетки, значит 3 · 0,5 = 1,5 км;
• вертикальный катет: 4 клетки, значит 4 · 0,5 = 2 км.

2. Применим теорему Пифагора.
Если обозначить искомое расстояние через c, то

c² = 1,5² + 2² = 2,25 + 4 = 6,25.

Тогда

c = √6,25 = 2,5 км.

Ответ: 2,5 км.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не складывайте длины катетов напрямую: 1,5 + 2 = 3,5 — это неверно, потому что нужен не путь по сторонам, а диагональ;
• обязательно учитывайте масштаб клетки, иначе получится ответ в клетках, а не в километрах;
• помните, что сначала удобнее перевести катеты в реальные единицы, а потом применять Пифагора.

Если задача дана на координатной сетке, полезно мысленно выделить прямоугольный треугольник: два перпендикулярных отрезка — это катеты, а искомая прямая между точками — гипотенуза.

Здесь нужно найти длину ломаного пути по шоссе, а не прямое расстояние между пунктами. Это очень важный момент в задачах ОГЭ: если по условию сказано «по шоссе», значит идём только по дорогам, а не по диагонали.

Разберём задачу по шагам.

1. Найдём длину участка A–B.
По условию от A до B — 3 клетки, а одна клетка соответствует 2 км. Значит:

3 × 2 = 6 км.

2. Найдём длину участка B–C.
От B до C — 5 клеток. Тогда:

5 × 2 = 10 км.

3. Сложим длины обоих участков.
Маршрут A–B–C состоит из двух отрезков, поэтому общая длина равна:

6 + 10 = 16 км.

Ответ: 16.

Почему нельзя сразу искать расстояние от A до C?
Потому что расстояние по прямой и длина пути по дорогам — это разные величины. В этой задаче требуется именно путь по шоссе через пункт B, то есть сумма двух пройденных отрезков.

Частые ошибки:

• перепутать клетки и километры;
• забыть умножить число клеток на масштаб;
• посчитать только один участок пути;
• попытаться применить теорему Пифагора, хотя маршрут идет не по диагонали, а по дорогам.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

• сначала выпишите все участки маршрута;
• для каждого участка переведите клетки в реальные единицы;
• потом сложите все полученные длины.

Такой алгоритм помогает не потерять лёгкие баллы в заданиях на план местности.

В таких заданиях важно не угадывать, а последовательно читать описание маршрутов. На ОГЭ по плану местности часто дают ориентиры: мост, пруд, ферму, лес, школу. Если перепутать хотя бы один ориентир или направление движения, получится неверное соответствие.

Разберём логику сопоставления.

1) Первый пункт описан через маршрут от места у моста. По условию от пункта, где дорога проходит через мост через реку, сначала едут на север, потом направо, и попадают в пункт G. Это помогает понять, как устроен участок плана, но для ответа нам важнее другое: у моста — это пункт 1, потому что он прямо назван как ориентир.

2) Пункт B находится на восток от перекрёстка у пруда и на юг от пункта, от которого начинается дорога к мосту. Перекрёсток у пруда — это пункт 2, а пункт, от которого начинается дорога к мосту, — это тот, что связан с мостом, то есть пункт 1. Значит, B расположен между ними по плану и соответствует пункту 7 — восточному выезду.

3) Пункт C расположен сразу после пункта с номером 4, если двигаться от фермы по дороге вдоль леса. Ферма — это пункт 3, а пункт с номером 4 в условии уже назван как поворот у леса. Если двигаться дальше по той же дороге, следующий пункт — 6, северная развилка. Значит, C = 6.

4) Пункт D можно достичь от школы, двигаясь сначала на запад, затем по дороге на север. Школа — это пункт 5. По такому описанию конечной точкой будет пункт 2, то есть перекрёсток у пруда. Значит, D = 2.

Теперь запишем ответ для пунктов A, B, C, D: A = 1, B = 7, C = 6, D = 2. Получаем последовательность 1762.

Почему легко ошибиться:

• не отличить ориентир от пункта;
• перепутать лево/право и север/юг;
• записать цифры не в том порядке, в каком даны буквы A, B, C, D;
• не проверить, что каждый маршрут даёт единственный пункт.

Совет для ОГЭ: в таких задачах сначала выпишите все данные ориентиры отдельно, а потом по одному соотносите их с номерами на плане. Если есть маршрут с уникальным признаком — например, мост, пруд или лес, — начинайте именно с него: это быстрее всего приводит к верному ответу.

В таких задачах нужно не просто найти точку, где сходятся дороги, а внимательно прочитать условие про угол. Если сказано, что из одного пункта можно повернуть на другую дорогу под прямым углом, значит в этом пункте две дороги пересекаются или выходят так, что угол между ними равен 90°.

Разберём условие. Из пункта 1 в пункт 2 дорога идёт на восток, а из пункта 2 в пункт 3 — на север. Направления «восток» и «север» перпендикулярны друг другу, значит в пункте 2 образуется прямой угол. Именно там можно сделать поворот на 90°.

Пункты 4 здесь не подходят: хотя к нему тоже могут вести дороги, в условии не сказано, что там образован прямой угол. На ОГЭ это очень частая ловушка: ученик видит пункт, где просто соединяются несколько дорог, и торопится выбрать его, не проверив угол.

Итак, нужный пункт — 2.

Как действовать на экзамене:

• сначала найдите в тексте слова «прямой угол», «под 90°», «перпендикулярно»;
• затем на плане проверьте, в каком пункте две дороги действительно образуют угол 90°;
• только после этого записывайте номер пункта.

Частая ошибка: путать прямой угол с острым или тупым. Если одна дорога идёт горизонтально, а другая вертикально, то это прямой угол. Если линии наклонены, нужно смотреть внимательнее: не всякое пересечение подходит.

Нужно найти расстояние AC в прямоугольном треугольнике. Так как угол B прямой, то AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза.

Шаг 1. Найдём длину AC в клетках. Для прямоугольного треугольника используем теорему Пифагора:

AC² = AB² + BC².

Подставим значения: AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, значит AC = 5 клеток.

Шаг 2. Переведём клетки в метры. По условию 1 клетка = 200 м, значит:

5 · 200 = 1000 м.

Ответ: 1000 м.

Почему именно так? На плане нельзя сразу брать длину по клеткам как ответ, потому что дан масштаб. Сначала находим длину на чертеже, потом переводим её в реальные единицы измерения. Ещё одна частая ошибка — перепутать катеты и гипотенузу. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной.

Как не потерять балл на ОГЭ: внимательно определяйте прямой угол, выписывайте, какие стороны являются катетами, и не забывайте умножать результат на масштаб.