Задачи с процентами: скидки и изменение стоимости: задания с ответами

Пусть исходная цена кроссовок была равна P руб. По условию на них сделали скидку 15%, а после скидки цена стала 3640 руб.

Важно понимать: если скидка 15%, то после скидки остаётся не 15%, а 85% от исходной цены. Это частая ошибка в ОГЭ: ученики иногда вычитают 15% от уже уменьшенной цены или умножают 3640 на 15%. Так делать нельзя.

Запишем связь между исходной и новой ценой:

3640 = 85% от P, то есть 3640 = 0,85P.

Теперь найдём исходную цену:

P = 3640 / 0,85 = 4282,35294117647.

Ответ получился нецелым, а в задачах ОГЭ обычно ожидается целое число в рублях. Значит, в таких задачах данные подбирают так, чтобы ответ был целым. Здесь же видно, что вычисление выполнено по правильной формуле, но числа в таблице не дают целого результата.

Как решать такие задачи на экзамене:

1. Сначала определить, какой процент остался после скидки: 100% - скидка.
2. Перевести этот процент в дробь: например, 85% = 0,85.
3. Составить уравнение: цена после скидки = исходная цена × доля после скидки.
4. Разделить цену после скидки на эту долю.

Чтобы не потерять баллы, всегда проверяйте, что ответ логичен: исходная цена должна быть больше цены после скидки, если скидка положительная.

В таких задачах важно не путать скидку и новую цену. Если товар стоил дороже, а потом на него сделали скидку 20%, значит после скидки покупатель платит не 100% цены, а только 80% от первоначальной стоимости.

Обозначим исходную цену рюкзака через P. Тогда после скидки осталось 80% от этой цены:

0,8 · P = 2520

Теперь найдём исходную цену. Для этого надо разделить текущую цену на 0,8:

P = 2520 / 0,8 = 3150

Значит, цена рюкзака до скидки — 3150 рублей.

Почему это правильно? Скидка 20% означает уменьшение цены на 20% от начальной, а не прибавление 20% к текущей цене. После уменьшения остаётся доля 100% − 20% = 80%. Именно эту долю и нужно использовать в вычислении.

Частые ошибки:

• умножают 2520 на 0,2 — это неверно, потому что 20% — это размер скидки, а не вся цена;
• делят на 20 вместо 0,8 — нужно переводить проценты в долю от 1;
• считают, что 2520 — это 20% от цены, хотя на самом деле это 80% от цены после скидки.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала найди, какая часть цены осталась после скидки, потом раздели известную цену на эту долю. Так можно решать почти все обратные задачи на проценты.

Сначала нужно правильно выбрать строку в таблице. По условию требуется модель с памятью 32 ГБ. Это модель B, её исходная цена — 3600 руб.

Теперь применяем скидку 15%. В процентах важно не забыть, что 15% — это не 15 рублей, а 15/100 от цены. Есть два удобных способа решения.

Способ 1. Найдём величину скидки:
15% от 3600 = 3600 × 0,15 = 540.
Тогда новая цена: 3600 − 540 = 3060.

Способ 2. Сразу используем коэффициент уменьшения:
новая цена = 3600 × (1 − 0,15) = 3600 × 0,85 = 3060.

Оба способа дают один и тот же ответ. В задачах ОГЭ удобно помнить формулу: новая цена = старая цена × (1 − скидка/100).

Частые ошибки:

• выбирают не ту строку таблицы;
• вычитают 15 из цены вместо 15%;
• считают 15% от числа 32, а не от стоимости;
• после нахождения скидки забывают её вычесть из исходной цены.

Итак, цена после скидки равна 3060.

Сначала нужно внимательно выбрать нужную строку таблицы. По условию спрашивают модель Gamma, её цена — 6900 руб.

Дальше проверяем условие скидки. Скидка 15% действует, если стоимость самих наушников не меньше 5000 руб. Цена Gamma равна 6900 руб., значит условие выполняется, и скидку применять можно.

Теперь найдём величину скидки:

15% от 6900 руб. = 0,15 · 6900 = 1035 руб.

Тогда цена наушников после скидки:

6900 − 1035 = 5865 руб.

Поскольку модель Gamma входит в список моделей, для которых нужен чехол, добавляем ещё 300 руб. Также доставка стоит 400 руб.

Итоговая стоимость покупки:

5865 + 300 + 400 = 6565 руб.

Правильный ответ: 6565 руб.

Как рассуждать на ОГЭ в таких задачах:

• сначала находите нужную строку в таблице;
• потом проверяете порог для скидки;
• после этого считаете процент только от той части, на которую он распространяется;
• в конце складываете цену после скидки, доставку и дополнительные расходы.

Частая ошибка — считать 15% от всей суммы вместе с доставкой и чехлом. Так делать нельзя, если в условии сказано, что скидка применяется только к цене товара. Ещё одна ошибка — забыть про чехол или неверно решить, действует ли скидка. Внимательное чтение условия обычно уже даёт часть решения.

Задачи на скидки удобно решать через долю от исходной цены. Если товар подешевел на 20%, значит после скидки осталось не 20% и не 80% самой цены, а 80% от исходной стоимости.

Для товара Г цена после скидки равна 5040 руб., а скидка — 20%. Это значит:

5040 руб. = 80% от исходной цены.

Чтобы найти исходную цену, нужно разделить текущую цену на долю, которая осталась после скидки:

исходная цена = 5040 : 0,8

Выполним вычисление:

5040 : 0,8 = 6300.

Ответ: 6300 руб.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не умножайте цену на 20% — скидка показывает, на сколько уменьшили цену, а не сколько она стала.
• Сначала найдите, сколько процентов осталось: если скидка 20%, то осталось 80%.
• Для восстановления исходной цены делите на десятичную дробь: 80% = 0,8.

Полезный алгоритм: если после скидки цена стала равна S, а скидка равна d%, то исходная цена равна S / (1 - d/100).

Сначала важно понять смысл скидки. Если товар подешевел на 30%, значит после скидки осталось 70% от первоначальной цены. Это и есть ключ к решению обратных задач на проценты: когда известна цена после скидки, нужно найти, какую часть от исходной она составляет, а потом восстановить исходную цену.

Обозначим исходную цену товара Б за x. Тогда после скидки 30% его цена стала равна 70% от исходной:

0,7x = 1890.

Теперь находим x:

x = 1890 : 0,7 = 2700.

Ответ: 2700 рублей.

Можно рассуждать и устно: если 1890 рублей — это 70%, то 10% равны 189 рублей, а 100% равны 1890 + 30% от исходной, то есть 1890 / 0,7. Но в экзамене удобнее и надёжнее использовать формулу:

исходная цена = цена после скидки / (1 − скидка).

Для этой задачи:

2700 = 1890 / (1 − 0,3).

Частая ошибка — умножить 1890 на 0,3. Так делать нельзя, потому что 30% — это величина скидки, а не доля новой цены. После скидки остаётся не 30%, а 70% от старой цены. Ещё одна ошибка — прибавлять 30% к 1890. Но 1890 уже является ценой после уменьшения, поэтому сначала нужно восстановить исходную стоимость.

Полезный алгоритм для ОГЭ такой:

1. Найти, какой процент от исходной цены составляет текущая стоимость.
2. Записать уравнение или воспользоваться формулой деления на долю.
3. Вычислить исходную цену и проверить, что ответ получается целым и разумным.

В этой задаче целый ответ получился потому, что числа подобраны удобно. На экзамене это помогает быстро проверить себя и не потерять лёгкие баллы.

Сначала нужно найти в таблице нужный товар: по условию это покрывало. Его исходная цена — 1800 руб.

Теперь применяем скидку 25%. Это значит, что цена уменьшается на 25% от исходной стоимости.

Удобно считать так:

1) Найдём величину скидки: 25% от 1800 руб. — это 0,25 × 1800 = 450 руб.

2) Вычтем скидку из исходной цены: 1800 − 450 = 1350 руб.

Можно было решить и короче, через коэффициент: после скидки остаётся 75% цены, то есть нужно найти 1800 × 0,75 = 1350.

Ответ: 1350 руб.

Частые ошибки в таких задачах:

• берут цену не того товара из таблицы;
• прибавляют скидку вместо вычитания;
• считают 25% как 25 рублей, а не как 25% от цены;
• забывают, что после скидки остаётся не 25%, а 100% − 25% = 75%.

Чтобы не потерять баллы на ОГЭ, всегда действуйте по плану: найти нужную строку в таблице → взять исходную цену → перевести процент в дробь → найти новую стоимость.

Сначала нужно внимательно прочитать условие и выбрать только одну строку таблицы — строку с моделью SoundMax B7. Это очень важный шаг: в подобных задачах часто ошибаются, берут не тот товар или считают по всей таблице. Здесь цена модели B7 равна 3400 ₽, а пометка — Bluetooth.

Теперь проверяем, действует ли скидка. По условию скидка 15% даётся, если цена товара не меньше 3000 ₽. Число 3400 больше 3000, значит скидка действует.

Считаем скидку на сам товар:

15% от 3400 ₽ = 0,15 · 3400 = 510 ₽.

Тогда цена товара после скидки:

3400 − 510 = 2890 ₽.

Дальше учитываем доставку: к любому заказу прибавляется 200 ₽.

И ещё есть доплата за кабель для моделей Bluetooth — 150 ₽. Так как у B7 стоит пометка Bluetooth, эту доплату тоже нужно добавить.

Итоговая стоимость:

2890 + 200 + 150 = 3240 ₽.

Ответ: 3240 ₽.

Как рассуждать на экзамене: сначала найти нужную строку, потом проверить порог для скидки, затем отдельно вычислить скидку и только после этого сложить все части: цену после скидки, доставку и дополнительные расходы. Это помогает не запутаться.

Частые ошибки:

• не замечают, что скидка зависит от порога 3000 ₽;
• считают скидку от всей суммы вместе с доставкой, хотя скидка дана только на товар;
• забывают доплату за Bluetooth;
• путают 15% с 150 ₽.

Полезный приём для ОГЭ: если скидка относится только к товару, сначала отдельно вычислите цену товара после скидки, а потом добавляйте все фиксированные платежи.

Сначала важно понять смысл скидки. Если на товар сделали скидку 40%, это значит, что после скидки покупатель платит не 100% цены, а только 60% от неё.

Для кресла известна цена после скидки: 2100 руб. Значит, 2100 руб. — это 60% от первоначальной цены.

Теперь используем связь между частями:

Исходная цена = цена после скидки ÷ доля, которая осталась после скидки.

Тогда получаем:

2100 ÷ 0,6 = 3500.

Ответ: 3500 руб.

Почему так можно делать? Скидка уменьшает цену, но не на весь процент, а только на часть от исходной стоимости. Поэтому сначала нужно найти, какой процент остался: 100% − 40% = 60%, и только потом делить на 0,6.

Частая ошибка: умножить 2100 на 40% или просто прибавить 40%. Это неверно, потому что 40% — это размер уменьшения, а не новая цена. В задачах на восстановление исходной цены всегда нужно искать долю, которая осталась после скидки.

Как действовать на ОГЭ: если дана цена после скидки, сразу переводите скидку в оставшуюся часть: 100% − скидка. Затем делите текущую цену на полученную долю. Если получается целое число, значит вычисления выполнены верно.

Разберём задачу по шагам. В таких заданиях ОГЭ важно сначала внимательно прочитать условие и не перепутать, на что именно действует скидка.

1. Находим цену выбранной модели по таблице. Для модели В цена равна 3200 руб.

2. Проверяем условие скидки. Скидка 15% даётся, если цена товара не меньше 2000 руб. Поскольку 3200 ≥ 2000, скидка действует.

3. Считаем скидку только на товар. Скидка не распространяется на доставку и установку. Найдём 15% от 3200:

3200 × 0,15 = 480 руб.

Значит, после скидки товар стоит:

3200 − 480 = 2720 руб.

4. Добавляем доставку и установку. По условию доставка стоит 250 руб., а для модели В ещё нужна установка за 120 руб.

Итоговая стоимость:

2720 + 250 + 120 = 3090 руб.

Ответ: 3090 руб.

Почему легко ошибиться? Частая ошибка — считать скидку от всей суммы вместе с доставкой. Это неверно, потому что в условии сказано: скидка только на сам товар. Ещё одна ошибка — забыть про доплату за установку или не проверить порог, при котором скидка вообще действует.

Как действовать на экзамене: 1) выпиши цену из таблицы; 2) проверь порог; 3) найди процент от нужной величины; 4) отдельно прибавь доставку и все доплаты. Такой алгоритм помогает не потерять лёгкие баллы.

Сначала нужно найти нужную строку в таблице. По условию выбирают кроссовки размера 41 — это модель «Гамма». Её исходная цена равна 4600 руб.

Дальше применяем формулу для цены после скидки:

новая цена = исходная цена × (1 − скидка/100).

Подставим числа:

4600 × (1 − 15/100) = 4600 × 0,85.

Удобнее сначала найти величину скидки: 15% от 4600 — это 4600 × 0,15 = 690 руб. Тогда новая цена:

4600 − 690 = 3910.

Ответ: 3910.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто ученики берут не ту строку таблицы или считают 15% как 15 рублей. Процент нужно переводить в долю от цены: 15% = 0,15. Ещё одна типичная ошибка — прибавить скидку вместо того, чтобы вычесть её. Проверяйте себя: после скидки цена должна стать меньше исходной.

Сначала нужно правильно выбрать строку в таблице. По условию подходит смартфон Beta, потому что у него 128 ГБ памяти и цена 24 000 руб.

Далее применяем формулу скидки:

новая цена = исходная цена × (1 − скидка/100).

Подставляем числа:

24 000 × (1 − 15/100) = 24 000 × 0,85.

Вычисляем:

24 000 × 0,85 = 20 400.

Значит, после скидки смартфон будет стоить 20 400 руб.

Почему так можно считать: скидка 15% означает, что платим не всю цену, а 85% от неё. Это удобный способ, который помогает быстро решать задачи на проценты.

Типичные ошибки:

• взять не ту строку таблицы;
• вычесть 15 из 24 000, а не 15% от цены;
• ошибочно умножить на 0,15 вместо 0,85;
• забыть, что проценты нужно переводить в дробь.

Чтобы не потерять баллы на ОГЭ, всегда сначала находите нужный объект по условию, потом переводите скидку в коэффициент уменьшения и только после этого считайте новую цену.