Параллелограммы, прямоугольник и ромб: свойства и площади: задания с ответами

У ромба есть важное свойство: все его стороны равны. Значит, если одна сторона ромба равна 7, то и остальные три стороны тоже равны 7.

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Для ромба это можно записать так:

P = 4a, где a — длина стороны ромба.

Подставим значение:

P = 4 · 7 = 28.

Ответ: 28.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте периметр и площадь: площадь ромба находится по другим формулам, а здесь нужно просто сложить стороны.
• Если в задаче сказано «ромб», сразу вспоминайте, что у него 4 равные стороны.
• Удобно пользоваться короткой проверкой: периметр ромба всегда в 4 раза больше его стороны.

Такой тип задания обычно решается очень быстро: достаточно увидеть длину одной стороны и умножить её на 4.

Используем главное свойство параллелограмма: смежные углы в сумме дают 180°. В задаче сказано, что один угол в 4 раза больше другого. Это значит, что углы можно обозначить так:

x и 4x.

Поскольку речь идёт о смежных углах параллелограмма, составляем уравнение:

x + 4x = 180°.

Складываем подобные слагаемые:

5x = 180°.

Находим меньший угол:

x = 36°.

Тогда больший угол равен:

4x = 4 · 36° = 144°.

Ответ: 144°.

Почему это правильно? В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние — дополнительные, то есть в сумме дают 180°. В задачах на отношение углов почти всегда нужно сначала выразить углы через одну переменную, потом составить уравнение по сумме 180° и только после этого найти нужный угол.

Частые ошибки:

• путают смежные и противоположные углы;
• составляют не сумму, а разность;
• забывают умножить найденный меньший угол на 4, чтобы получить больший;
• записывают ответ без единиц измерения.

Если в задаче сказано «один угол в несколько раз больше другого», почти всегда удобно обозначать меньший угол через x, а больший — через kx. Затем используйте свойство параллелограмма: x + kx = 180°.

Смежные углы параллелограмма всегда в сумме дают 180°. Это одно из самых важных свойств, которое часто используют в задачах на углы.

Пусть меньший угол равен x°. Тогда больший угол будет x + 52°, потому что по условию он больше на 52°.

Составим уравнение по свойству смежных углов:

x + (x + 52) = 180.

Решаем:

2x + 52 = 180

2x = 128

x = 64.

Значит, больший угол равен:

64 + 52 = 116°.

Ответ: 116°.

Почему это правильный способ? Потому что в параллелограмме любые смежные углы не могут быть произвольными: они обязательно дополняют друг друга до 180°. Если известна их разность, удобно обозначить меньший угол через x, а больший через x + d, где d — разность. Тогда получается простое линейное уравнение.

Частые ошибки:

• путают смежные углы с противоположными; противоположные углы равны, а смежные в сумме дают 180°;
• складывают разность с 180° без уравнения;
• находят меньший угол и забывают, что требуется больший;
• пишут ответ без единиц измерения.

На ОГЭ такие задачи решаются быстро, если сразу вспомнить: сумма смежных углов = 180°, а дальше составить уравнение и аккуратно найти оба угла.

В ромбе есть два важных свойства диагоналей:

1. диагонали ромба делят углы пополам;
2. диагонали пересекаются, но в этой задаче главное именно первое свойство.

По условию угол между стороной AB и диагональю AC равен 31°. Это означает, что диагональ AC делит угол A пополам. Значит, весь угол A равен:

∠A = 2 · 31° = 62°.

Теперь вспомним свойство параллелограмма: ромб — это частный случай параллелограмма, поэтому соседние углы в нём в сумме дают 180°. Следовательно, угол ABC смежный с углом A:

∠ABC = 180° − 62° = 118°.

Ответ: 118°.

Почему часто ошибаются:

• берут 31° как весь угол вершины, хотя это только его половина;
• находят 62° и останавливаются, забывая, что спрашивают соседний угол ABC;
• путают свойства ромба и прямоугольника. В ромбе диагональ делит угол пополам, а не образует прямой угол с сторонами.

Как быстро решать такие задачи на ОГЭ: сначала проверьте, не является ли заданный угол половиной угла ромба; затем найдите весь угол при вершине; после этого, если нужен соседний угол, вычтите из 180°.

Сначала вспомним главное свойство параллелограмма: соседние углы в сумме дают 180°. Это очень важный факт для ОГЭ — если даны два соседних угла, их всегда можно найти через одно неизвестное.

По условию углы относятся как 4 : 5. Значит, можно обозначить их как 4x и 5x. Здесь x — одна и та же часть, на которую “разделены” оба угла.

Так как углы соседние, составляем уравнение:

4x + 5x = 180°

Складываем:

9x = 180°

Находим x:

x = 20°

Теперь подставляем, чтобы найти меньший угол:

4x = 4 · 20° = 80°

Ответ: 80°.

Почему это решение верное? Потому что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние — дополнительные, то есть в сумме дают 180°. Поэтому отношение 4 : 5 нужно применять именно к соседним углам, а не к противоположным.

Частые ошибки:

• складывают углы и получают 90° вместо 180°;
• путают соседние и противоположные углы;
• находят больший угол, хотя в задаче просят меньший;
• не делят 180° на сумму частей отношения 4 + 5.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) обозначь углы через x; 2) используй свойство суммы соседних углов; 3) реши простое уравнение; 4) проверь, что ответ подходит по условию.

Главная идея здесь очень важная для ОГЭ: диагональ ромба делит его углы пополам. Это свойство нужно помнить почти наизусть, потому что именно на нём строится большинство задач такого типа.

В условии дан угол между диагональю и стороной ромба: 24°. Но диагональ проходит через вершину ромба и является биссектрисой угла при этой вершине. Значит, данный угол — это половина угла ромба.

Тогда острый угол ромба равен:

24° × 2 = 48°.

Почему это именно острый угол? У ромба, как и у любого параллелограмма, соседние углы в сумме дают 180°. Если один острый угол равен 48°, то соседний тупой угол равен 132°. В задаче просят именно острый угол, значит ответ 48°.

Проверка рассуждения:

• если диагональ делит угол пополам, то половина угла — 24°;
• полный угол в вершине в 2 раза больше: 48°;
• 48° меньше 90°, значит это действительно острый угол.

Частые ошибки:

• ответить 24°, забыв, что дан только половинный угол;
• ответить 132°, перепутав острый и тупой угол;
• пытаться использовать углы между диагоналями, хотя в условии сказано про угол между диагональю и стороной.

Как быстро решать такие задачи на экзамене: если в ромбе дан угол между диагональю и стороной, сразу вспоминайте: это половина угла ромба. Значит, чтобы найти сам угол, нужно умножить на 2.

Ключевое свойство ромба: его диагонали делят углы пополам. Это значит, что если диагональ образует со стороной угол 18°, то это только половина угла ромба при этой вершине.

Тогда весь угол ромба равен:

18° · 2 = 36°.

Нам нужен именно острый угол ромба. В ромбе соседние углы в сумме дают 180°, поэтому если острый угол 36°, то тупой был бы 144°. Значит, искомый ответ — 36°.

Почему так решается быстро на ОГЭ: если в задаче дан угол между диагональю ромба и его стороной, почти всегда нужно вспомнить, что диагональ делит угол пополам. Тогда нужно просто умножить данный угол на 2.

Частые ошибки:

• путать угол между диагональю и стороной с углом между диагоналями;
• отвечать 18°, забывая, что это только половина угла;
• находить 144° вместо острого угла, хотя спрашивают именно острый;
• не проверять, что острый угол должен быть меньше 90°.

Алгоритм для таких задач:

1. Вспомнить свойство: диагональ ромба делит угол пополам.
2. Удвоить данный угол.
3. Проверить, что получился острый угол.

Ответ: 36°.

Обозначим острый угол ромба через α. Главное свойство ромба, которое нужно здесь помнить: каждая диагональ ромба делит его углы пополам. Это значит, что если угол между диагональю и стороной равен 18°, то это половина угла ромба при этой вершине.

Тогда весь острый угол ромба равен:

α = 2 · 18° = 36°.

Ответ: 36°.

Почему это верно? В ромбе все стороны равны, а значит, ромб — это частный случай параллелограмма. У параллелограмма диагонали обладают важным свойством: в ромбе они биссектрисы углов. Поэтому вспомогательный угол между диагональю и стороной всегда надо удваивать, если требуется найти сам угол ромба.

Частые ошибки:

• путать угол между диагональю и стороной с углом между диагоналями;
• забывать, что диагональ делит угол пополам, и пытаться вычитать вместо удвоения;
• находить тупой угол ромба, хотя в задаче просят острый.

Удобный алгоритм для ОГЭ такой: заметить диагональ → вспомнить про биссектрису → умножить данный угол на 2. Если получился угол больше 90°, значит, вы нашли тупой угол, а здесь нужен острый.

У ромба есть важное свойство: его диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Это значит, что если провести диагонали ромба, то внутри получится 4 прямоугольных треугольника.

Найдём половины диагоналей:

10 : 2 = 5 см,

24 : 2 = 12 см.

Теперь рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников. Его катеты равны 5 см и 12 см, а гипотенуза — это сторона ромба. Применим теорему Пифагора:

a² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Тогда

a = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не берите диагонали целиком — в формуле нужны именно половины диагоналей;
• не путайте эту задачу с формулой площади ромба: здесь нужно найти сторону, а не площадь;
• проверяйте, что получается прямоугольный треугольник: это главный шаг в таких задачах.

Полезная схема решения для экзамена: разделить диагонали пополам → составить прямоугольный треугольник → применить Пифагора → найти сторону.

Рассмотрим, как связаны сторона ромба, диагональ и угол между ними.

Главное свойство ромба: все его стороны равны, а диагонали делят углы ромба пополам. Значит, если угол между диагональю и стороной равен 30°, то это половина угла ромба в соответствующей вершине.

Чтобы найти диагональ, удобно выделить треугольник, образованный двумя сторонами ромба и диагональю. В этом треугольнике одна сторона равна 8 см, а угол между этой стороной и диагональю равен 30°. Тогда можно использовать тригонометрическую функцию. Для половины ромба в таком случае удобно взять косинус:

cos 30° = прилежащий катет / гипотенуза.

Если диагональ является гипотенузой этого прямоугольного треугольника, а сторона ромба — прилежащим катетом, то

cos 30° = 8 / d,

где d — искомая диагональ.

Так как cos 30° = √3/2, получаем:

√3/2 = 8 / d.

Отсюда

d = 8 · 2 / √3 = 16 / √3.

Обычно ответ в ОГЭ записывают без иррациональности в знаменателе:

d = 16√3 / 3 см.

Ответ: 16√3 / 3 см.

Как не ошибиться:

• не перепутайте, что в ромбе диагональ делит угол пополам;
• не подставляйте в формулу угол 30°, если он дан между диагональю и стороной: это именно половина угла;
• проверяйте, какую диагональ вы находите: в ромбе разные диагонали могут давать разные значения при разных углах.

Такие задачи на ОГЭ решаются быстро, если сначала вспомнить свойство диагоналей ромба, а потом правильно выбрать тригонометрическую формулу.

У ромба все стороны равны. Это его главное свойство, которое нужно помнить в задачах на периметр.

Периметр — это сумма длин всех сторон. У ромба 4 равные стороны, значит:

P = 4a, где a — сторона ромба.

По условию P = 84 см. Тогда находим сторону:

a = P / 4 = 84 / 4 = 21 см.

Ответ: 21.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте ромб с прямоугольником: у ромба все 4 стороны равны;
• не забывайте делить именно на 4, а не на 2;
• если периметр дан в сантиметрах, то и ответ пишут в сантиметрах, но в заданиях с кратким ответом обычно достаточно числа.

Полезный алгоритм: если дан периметр ромба, сразу вспоминайте формулу a = P / 4.

Обозначим меньшую сторону параллелограмма через x см. Тогда большая сторона будет равна x + 3 см, потому что по условию разность сторон равна 3 см.

Теперь используем формулу периметра параллелограмма: P = 2(a + b), где a и b — соседние стороны. Подставим в неё наши стороны:

2(x + (x + 3)) = 54.

Решим уравнение:

2(2x + 3) = 54
4x + 6 = 54
4x = 48
x = 12.

Значит, меньшая сторона равна 12 см, а большая:

12 + 3 = 15 см.

Ответ: 15.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают, какую сторону искать. Если спрашивают большую сторону, сначала удобно обозначить меньшую через переменную, а потом прибавить разность. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что периметр параллелограмма считается как удвоенная сумма двух соседних сторон, то есть стороны в формуле входят два раза.