Сравнения чисел, включая иррациональные: задания с ответами

Чтобы определить, между какими целыми числами лежит значение выражения 4\sqrt{7}, удобно сначала оценить сам корень.

Число 7 находится между квадратами соседних целых чисел:

2^2 = 4, 3^2 = 9, значит 4 < 7 < 9.

Тогда для квадратного корня получаем:

2 < \sqrt{7} < 3.

Теперь умножим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

8 < 4\sqrt{7} < 12.

Следовательно, значение выражения 4\sqrt{7} находится между 8 и 12. Но нужны два последовательных целых числа, между которыми лежит число. Здесь этого недостаточно, поэтому уточним оценку более точно:

\sqrt{7} \approx 2{,}65, значит 4\sqrt{7} \approx 10{,}6.

Следовательно, искомая пара последовательных целых чисел — 10 и 11.

Ответ: 10 и 11.

Как решать такие задачи на ОГЭ быстро:

• сначала сравните подкоренное число с ближайшими квадратами;
• найдите, между какими числами находится корень;
• умножьте границы на коэффициент перед корнем;
• если нужно именно между последовательными целыми числами, оцените значение точнее.

Частые ошибки: забыть умножить на коэффициент, перепутать соседние квадраты или назвать просто два числа, не являющиеся последовательными. Чтобы не потерять балл, всегда проверяйте, что ответ записан в правильном порядке и числа идут подряд.

Чтобы сопоставить числа с точками на числовой прямой, нужно сначала упорядочить числа по возрастанию. На прямой числа идут слева направо именно в порядке увеличения.

Сравним данные числа:

• 1,75 — это самое маленькое число, потому что целая часть у всех чисел одинаковая (1), а дальше сравниваем десятичные дроби.
• 1,79 больше, чем 1,75, но меньше, чем 1,8.
• 1,8 можно записать как 1,80, тогда видно, что 1,80 больше, чем 1,79.
• 1,802 больше, чем 1,80, потому что 1,802 = 1,800 + 0,002.

Значит, порядок по возрастанию такой:

1,75 < 1,79 < 1,8 < 1,802

Следовательно, если точки A, B, C, D расположены слева направо, то им соответствуют числа:

A = 1,75, B = 1,79, C = 1,8, D = 1,802

Почему это важно на ОГЭ: часто ошибки возникают из-за того, что ученики сравнивают только первые цифры после запятой. Например, можно неверно подумать, что 1,8 меньше, чем 1,79, потому что у 1,79 «цифр больше». Это неверно: 1,8 = 1,80, а 1,80 > 1,79. Всегда удобно при необходимости дописывать нули справа: число от этого не меняется, но сравнивать становится легче.

Итог: правильный порядок чисел слева направо — 1,75; 1,79; 1,8; 1,802.

Сначала переведём число в более удобный вид:

2¹/₄ = 2,25.

Это число больше 2, но меньше 3, значит нужная точка должна находиться между 2 и 3.

По условию точка B — середина отрезка между 2 и 3, то есть это число 2,5. Тогда:

• A расположена левее 2,5, но правее 2;
• B соответствует 2,5;
• C и D находятся ещё правее.

Число 2,25 — это четверть пути от 2 до 3, то есть точка должна быть ближе к 2, чем к 2,5. Значит, это точка A.

Ответ: A.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сначала оцените дробь или смешанное число: больше ли оно ближайшего целого, меньше ли следующего.
2. Поймите, где находится середина отрезка и как расположены остальные точки.
3. Сравнивайте не только с целыми числами, но и с заметными ориентирами: серединой, четвертью, третью частью отрезка.

Частая ошибка — смотреть только на запись числа и выбирать точку «на глаз», не переводя дробь в десятичный вид. Ещё одна ошибка — перепутать порядок точек слева направо. Чтобы не потерять балл, всегда сначала прикиньте значение числа, а потом сопоставляйте его с положением точек.

Нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами лежит значение выражения 4√5.

Сначала оценим корень: известно, что 2√5<3, потому что 2^2=4 и 3^2=9, а число 5 находится между 4 и 9. Значит, √5 больше 2, но меньше 3.

Теперь умножим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

8<4√5<12.

Следовательно, значение выражения 4√5 расположено между 8 и 12, но это не соседние целые числа. Нужно найти именно два последовательных целых числа, между которыми лежит значение. Для этого уточним оценку точнее: 2<√5<3, значит 8<4√5<12. Чтобы определить ближайшие последовательные целые числа, можно прикинуть значение: √5 примерно равно 2,236, тогда 4√5 примерно равно 8,944. Это число больше 8, но меньше 9.

Ответ: 8 и 9.

Как решать такие задания на ОГЭ: 1) сравни подкоренное число с ближайшими квадратами; 2) найди границы для корня; 3) умножь обе границы на коэффициент перед корнем; 4) проверь, между какими соседними целыми числами оказался результат.

Частая ошибка: некоторые ученики забывают умножить на коэффициент перед корнем или берут неверные квадраты. Ещё одна ошибка — написать просто числа, между которыми лежит значение, но не последовательные. В ОГЭ важно внимательно читать формулировку.

Нужно сравнить не только корни, но и сумму корня с рациональным числом. В таких заданиях удобно либо оценивать значения корней, либо сравнивать выражения по шагам.

Оценим каждое число:

• \(\sqrt{2}+2\approx 1{,}41+2=3{,}41\)
• \(3=3\)
• \(\sqrt{11}\approx 3{,}32\)
• \(\sqrt{5}+1\approx 2{,}24+1=3{,}24\)

Теперь расположим по возрастанию:

\(3 < \sqrt{5}+1 < \sqrt{11} < \sqrt{2}+2\).

Значит, правильный вариант — тот, где порядок именно такой.

Как можно быстро проверить без калькулятора? Достаточно помнить приближённые значения: \(\sqrt{2}\approx 1{,}4\), \(\sqrt{5}\approx 2{,}2\), \(\sqrt{11}\approx 3{,}3\). Тогда сразу видно, что число 3 меньше суммы \(\sqrt{5}+1\), а \(\sqrt{2}+2\) больше 3, потому что \(\sqrt{2}\) больше 1. Это типичный приём ОГЭ: переводить иррациональные выражения в понятные приближённые значения и сравнивать их как обычные числа.

Частая ошибка — сравнивать только подкоренные числа. Например, думать, что раз 11 больше 5, то \(\sqrt{11}\) обязательно больше \(\sqrt{5}+1\). Это неверно, потому что у второго выражения есть ещё прибавка 1. Ещё одна ошибка — забыть, что \(\sqrt{2}+2\) больше 3, хотя \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\).

Итак, ответ: \(3 < \sqrt{5}+1 < \sqrt{11} < \sqrt{2}+2\).

Нужно проверить, принадлежит ли число отрезку [\sqrt{2};\,2]. Для этого вспоминаем главное правило: число принадлежит отрезку, если оно не меньше левой границы и не больше правой границы. В записи [a; b] квадратные скобки означают, что границы включены.

Сначала оценим левую границу. Число \sqrt{2} — иррациональное, но его можно сравнить с обычными числами: \sqrt{2} \approx 1{,}41. Значит, отрезок состоит из всех чисел от примерно 1{,}41 до 2 включительно.

Проверим варианты:

• 1,3 — меньше \sqrt{2}, значит, не подходит.

• \sqrt{3} — примерно 1{,}73, это больше \sqrt{2} и меньше 2, значит, подходит.

• 2,1 — больше 2, значит, не подходит.

• \sqrt{5} — примерно 2{,}24, это тоже больше 2, значит, не подходит.

Итак, правильный ответ — \sqrt{3}.

Как решать такие задания на ОГЭ: 1) внимательно смотрите на скобки; 2) если есть корни, при необходимости оценивайте их приближённо; 3) сравнивайте число сначала с левой, потом с правой границей. Частая ошибка — забыть, что при квадратных скобках границы тоже входят в отрезок, или неправильно оценить иррациональное число.

Сравнивать выражения с корнями удобно, если убрать корни с помощью преобразований. Но важно помнить: нельзя просто сравнивать подкоренные числа или складывать корни «по частям» без правил.

Рассмотрим левую и правую части:

\(\sqrt{50}\) и \(\sqrt{18}+\sqrt{2}\).

Сначала упростим корни в правой части:

\(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}\), значит

\(\sqrt{18}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).

Теперь упростим левую часть:

\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\).

Получаем сравнение:

\(5\sqrt{2}\) и \(4\sqrt{2}\).

Так как \(\sqrt{2}>0\), можно сравнить коэффициенты при нём: \(5>4\). Значит,

\(\sqrt{50}>\sqrt{18}+\sqrt{2}\).

Ответ: >

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала упростите каждый корень, если под корнем есть квадратный множитель.
2. Если после преобразования получается общий множитель, вынесите его за скобки.
3. Сравнивайте коэффициенты только тогда, когда общий множитель положителен.

Частые ошибки:

• Пытаться сравнить 50 и 18+2 напрямую — это неверно, потому что корень не распределяется по сложению.
• Забывать, что \(\sqrt{18}+\sqrt{2}=\sqrt{20}\) — это неправильно. На самом деле \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\).
• После упрощения не замечать общий множитель \(\sqrt{2}\).

Если в задании есть возможность привести оба выражения к виду \(k\sqrt{m}\), это обычно самый быстрый и надёжный путь.

Чтобы упорядочить числа с корнями, удобно сначала оценить их значения или сравнить с помощью квадратов. Важно помнить: если все числа положительные, то большее число имеет и больший квадрат. Это позволяет сравнивать выражения без точного вычисления до бесконечных знаков.

Оценим каждое число:

1) √11. Так как 3²=9, а 4²=16, то √11 лежит между 3 и 4, примерно 3,3.

2) 2√3. Так как √3 ≈ 1,73, то 2√3 ≈ 3,46.

3) 3 — это точное целое число.

4) √5 + √2. Приблизим: √5 ≈ 2,24, √2 ≈ 1,41, значит сумма примерно 3,65.

Теперь сравниваем полученные значения:

√11 ≈ 3,32, 3, 2√3 ≈ 3,46, √5 + √2 ≈ 3,65.

Получаем порядок возрастания:

3 < √11 < 2√3 < √5 + √2.

Значит, правильный вариант ответа — тот, где этот порядок записан именно так.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не складывайте подкоренные числа: √5 + √2 ≠ √7.
• Если корень умножен на число, сначала оцените сам корень, а потом умножьте.
• Для сравнения близких чисел можно быстро прикинуть значения: √10 ≈ 3,16, √11 ≈ 3,32, √12 ≈ 3,46.
• Проверяйте, не перепутан ли порядок возрастания и убывания в ответах.

Такие задания на ОГЭ часто решаются за 1–2 минуты, если уверенно оценивать корни и не делать лишних преобразований.

Нужно определить, где на числовой прямой находится число \(\sqrt{3}\).

Шаг 1. Оценим значение корня. Известно, что \(1^2=1\), а \(2^2=4\). Так как \(3\) лежит между 1 и 4, то \(\sqrt{3}\) находится между 1 и 2.

Шаг 2. Уточним положение. Проверим числа поблизости: \(1{,}7^2=2{,}89\), а \(1{,}8^2=3{,}24\). Значит, \(\sqrt{3}\approx 1{,}73\), то есть это число находится между 1 и 2, ближе к 1{,}7.

Шаг 3. Смотрим на рисунок. Между 1 и 2 отмечены точки C и D. Точка C расположена ближе к 1, а D — ближе к 2. Поскольку \(\sqrt{3}\approx 1{,}73\), она находится правее середины отрезка, то есть соответствует точке D.

Ответ: D.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда определяйте, между какими целыми находится число. Для корней удобно сравнивать квадрат числа с подкоренным выражением: если \(a^2<n<(a+1)^2\), то \(\sqrt{n}\) лежит между a и a+1. Частая ошибка — сразу выбирать точку «на глаз», не проверив оценку. Ещё одна ошибка — забывать, что \(\sqrt{3}\) больше 1{,}5, но меньше 2.

Нужно определить, между какими соседними целыми числами лежит значение суммы корней. В таких заданиях важно не пытаться сразу считать с калькуляторной точностью: для ОГЭ достаточно оценить каждый корень отдельно и затем сложить оценки.

Рассмотрим выражение \(\sqrt{18}+\sqrt{13}\).

Сначала оценим \(\sqrt{18}\). Так как \(16<18<25\), то \(4<\sqrt{18}<5\). Более точно можно заметить, что \(\sqrt{18}\approx 4{,}24\), но для ответа это не обязательно.

Теперь оценим \(\sqrt{13}\). Поскольку \(9<13<16\), получаем \(3<\sqrt{13}<4\). Точнее, \(\sqrt{13}\approx 3{,}61\).

Сложим полученные оценки:

\(4<\sqrt{18}<5\) и \(3<\sqrt{13}<4\), значит

\(7<\sqrt{18}+\sqrt{13}<9\).

Чтобы понять, между какими соседними целыми числами находится значение, нужно уточнить сумму. Приближённо:

\(\sqrt{18}+\sqrt{13}\approx 4{,}24+3{,}61=7{,}85\).

Следовательно, значение выражения находится между 7 и 8.

Ответ: между 7 и 8.

Как не ошибиться на экзамене: не округляйте каждый корень до ближайшего целого слишком грубо, иначе можно потерять нужные границы. Удобнее всего сравнивать подкоренные числа с квадратами ближайших целых: 16 и 25 для 18, 9 и 16 для 13. Затем либо сложить оценки, либо прикинуть сумму более точно. Если значение больше 7, но меньше 8, то правильные соседние целые числа — именно 7 и 8.

Сначала оценим дробь \(\frac{7}{12}\). Удобно перевести её в десятичную запись:

\(\frac{7}{12}=0{,}5833\ldots\)

Теперь сравним это число с границами каждого промежутка.

Вариант A: \((0{,}5; 0{,}6)\). Число \(0{,}5833\ldots\) больше \(0{,}5\) и меньше \(0{,}6\), значит оно принадлежит этому промежутку.

Вариант B: \((0{,}6; 0{,}7)\). Здесь все числа больше \(0{,}6\), а наше число меньше \(0{,}6\), поэтому вариант не подходит.

Вариант C: \((0{,}4; 0{,}5)\). Наше число больше \(0{,}5\), значит оно не может лежать в этом промежутке.

Вариант D: \((0{,}55; 0{,}57)\). Число \(0{,}5833\ldots\) больше \(0{,}57\), поэтому этот промежуток тоже не подходит.

Ответ: A.

Как решать такие задания на ОГЭ: сначала быстро получите приближённое десятичное значение дроби, а затем сравните его с границами промежутков. Это самый надёжный способ, когда числа похожи и на глаз выбрать трудно.

Частая ошибка: путать порядок чисел, например думать, что \(0{,}5833\ldots\) ближе к \(0{,}6\), значит оно обязательно в промежутке \((0{,}6;0{,}7)\). На самом деле важно не «ближе», а между какими двумя числами лежит число.

Ещё одна ошибка: не смотреть на скобки. В этой задаче все интервалы открытые, но если бы на границе стояла квадратная скобка, число на границе тоже считалось бы принадлежащим промежутку.

Сравним выражения без вычисления точных значений корней. Это типичный приём для ОГЭ: если подкоренные числа не являются полными квадратами, не нужно переводить всё в десятичные дроби. Гораздо удобнее упростить сами корни, если можно выделить квадратный множитель.

Рассмотрим левую часть:

\(\sqrt{18}+\sqrt{32}=\sqrt{9\cdot 2}+\sqrt{16\cdot 2}=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}.\)

Теперь правую часть:

\(\sqrt{27}+\sqrt{20}=\sqrt{9\cdot 3}+\sqrt{4\cdot 5}=3\sqrt{3}+2\sqrt{5}.\)

Теперь нужно сравнить \(7\sqrt{2}\) и \(3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\). Чтобы не ошибиться, можно оценить значения корней: \(\sqrt{2}\approx1{,}41\), \(\sqrt{3}\approx1{,}73\), \(\sqrt{5}\approx2{,}24\).

Тогда

\(7\sqrt{2}\approx 7\cdot1{,}41=9{,}87\),

\(3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\approx 3\cdot1{,}73+2\cdot2{,}24=5{,}19+4{,}48=9{,}67\).

Значит, левое выражение больше правого:

\(\sqrt{18}+\sqrt{32}>\sqrt{27}+\sqrt{20}.\)

Ответ: знак \(>\).

Почему это важно на ОГЭ: часто ребята пытаются сравнивать такие суммы, «смотря на числа под корнем» или сразу считают на калькуляторе. Это неудобно и легко ошибиться. Надёжный алгоритм такой: 1) упростить корни, если есть квадратный множитель; 2) после упрощения сравнить приближённо или логически; 3) не забывать, что сравнивается вся сумма, а не отдельные слагаемые по одному.

Частая ошибка: думать, что раз \(18<27\) и \(32>20\), то сразу нельзя сделать вывод. На самом деле нужно сравнивать именно суммы, а не отдельные подкоренные числа.