Нестандартные пересечения графиков и особые точки: задания с ответами

Сначала сравним данную функцию с базовой параболой y = x².

Если к формуле добавлено число −3, то это означает вертикальный сдвиг вниз на 3. Это не сдвиг вправо или влево, потому что число прибавляется не к x, а к значению функции.

Теперь найдём координаты выколотой точки. По условию значение x = 2 не входит в область определения, но значение y для этой точки всё равно можно вычислить по формуле:

y = 2² − 3 = 4 − 3 = 1.

Значит, выколотая точка имеет координаты (2; 1).

Итак, верный ответ: парабола сдвинута вниз на 3, а выколотая точка — (2; 1).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Если в формуле стоит +3, график поднимается вверх, если −3 — опускается вниз.
• Не путайте сдвиг графика и выколотую точку: ограничение области определения не меняет правило вычисления y.
• Чтобы найти координаты выколотой точки, просто подставьте запрещённое значение x в формулу.

Частая ошибка — думать, что если точка выколота, то её координату y находить не нужно. На самом деле именно это значение и нужно вычислить, чтобы правильно указать точку.

Сначала разберёмся с областью определения исходной функции.

В знаменателе стоит выражение \(x-3\), значит при \(x=3\) знаменатель обращается в ноль. Делить на ноль нельзя, поэтому

\(x\neq 3\).

Теперь упростим дробь. Числитель раскладывается на множители:

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Тогда

\(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\),

но только при \(x\neq 3\), потому что сокращение не отменяет запрет на значение, при котором исходная дробь не была определена.

Значит, нам нужна функция, которая по значениям совпадает с \(x+3\) для всех допустимых \(x\), но при этом не определена при \(x=3\). Это можно записать как

\(y=x+3,\ x\neq 3\).

Почему это важно: часто ученики после сокращения пишут просто \(y=x+3\). Это ошибка, потому что тогда область определения станет всей числовой прямой, а у исходной функции точка \(x=3\) исключена. В заданиях на эквивалентность функций нужно проверять не только формулу, но и область определения.

Разбор вариантов:

Правильный вариант — тот, где записано \(x+3\) с условием \(x\neq 3\).

Остальные варианты обычно ловят типичные ошибки: забывают про исключённое значение, указывают неверное исключение или неправильно упрощают дробь.

Уравнение вида y = kx задаёт прямую, которая обязательно проходит через начало координат (0,0). Это главный признак. Если в уравнении есть свободный член, например y = kx + b, где b \ne 0, то прямая уже не проходит через начало координат.

Проверим варианты:

A: прямая проходит через (0,0). Значит, она может быть графиком функции y = kx. Найдём наклон: из точки (2,4) получаем k = 4/2 = 2, то есть это действительно прямая вида y = 2x.

B: прямая проходит через точку (0,3), а значит, пересекает ось Oy не в нуле. Это уже не вид y = kx.

C: прямая x = 1 вертикальная. Она не является графиком функции y = kx, потому что у функции вида y = kx каждому значению x соответствует ровно одно значение y, а у вертикальной прямой наоборот: одному x соответствует много значений y.

D: прямая y = -2 горизонтальная и не проходит через начало координат. Это тоже не y = kx.

Ответ: A.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: сначала ищите прямую, проходящую через (0,0). Если таких несколько, проверьте, не является ли одна из них вертикальной: вертикальная прямая не подходит. Если прямая не проходит через начало координат, она сразу исключается.

Частые ошибки: путать любую наклонную прямую с графиком y = kx; забывать, что точка (0,0) должна лежать на графике; выбирать вертикальную или горизонтальную прямую только потому, что она “хорошо видна” на рисунке.

Сначала найдём, при каких значениях \(x\) исходная функция не определена. В знаменателе стоит выражение \(x-2\), значит \(x\neq 2\). Это очень важно: даже если потом дробь сократится, значение \(x=2\) всё равно нужно исключить из области определения.

Теперь разложим числитель на множители:

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).

Тогда

\[f(x)=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}.\]

Для всех \(x\neq 2\) можно сократить общий множитель \(x-2\), и получим

\[f(x)=x-3, \quad x\neq 2.\]

Значит, нам нужна функция, которая записана именно как \(x-3\), но с тем же ограничением \(x\neq 2\). Это и есть правильный ответ.

Почему нельзя выбрать просто \(x-3\)? Потому что у функции \(x-3\) область определения — все действительные числа, а у исходной функции число \(2\) исключено. На ОГЭ часто именно это и проверяют: после сокращения дроби график может выглядеть как прямая, но в одной точке у него есть «дырка».

Типичная ошибка: заметить только упрощённое выражение и забыть про область определения. Чтобы не потерять балл, всегда делайте два шага: 1) найдите запрещённые значения из знаменателя; 2) упростите выражение, но запрещённые значения сохраните.

Сначала сравним данную функцию с базовой параболой y = x². Если к формуле прибавили число +3, это означает вертикальный сдвиг вверх на 3 единицы. Это важное правило: при добавлении положительного числа график поднимается, а при вычитании — опускается.

Теперь найдём координаты выколотой точки. По условию значение x = -2 не принадлежит области определения, значит на графике в этой точке будет “дырка”. Чтобы найти её координаты, подставим x = -2 в формулу функции:

y = (-2)² + 3 = 4 + 3 = 7.

Значит, выколотая точка имеет координаты (-2; 7).

Почему другие ответы неверны:

• если сказать, что график сдвинут вниз, это ошибка знака;
• значение 4 получается для базовой параболы y = x², но здесь есть ещё сдвиг вверх на 3;
• ответ про отсутствие сдвига тоже неверен, потому что в формуле явно есть добавка +3.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) сравни формулу с базовой параболой y = x²; 2) определи сдвиг по знаку и числу; 3) подставь исключённое значение x и найди y. Так легко не потерять балл в заданиях на графики.

Сначала найдём область определения исходной функции:

\(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\).

Знаменатель не должен быть равен нулю, значит \(x\ne 3\). Это очень важный момент: даже если дробь потом сократится, запрет на значение \(x=3\) никуда не исчезает.

Теперь сократим общий множитель \((x-3)\). Для всех допустимых \(x\) получаем:

\(f(x)=x+3,\; x\ne 3\).

Проверим смысл: функция совпадает с линейной \(y=x+3\) на всех допустимых значениях, но в точке \(x=3\) у исходной функции есть устранимый разрыв, поэтому область определения нужно сохранить.

Почему не подходят другие варианты?

• \(y=x+3\) — неверно, потому что у неё область определения все числа, а у исходной функции \(x=3\) исключён.
• \(y=x-3,\; x\ne 3\) — неверно из-за ошибки в упрощении: после сокращения получается именно \(x+3\), а не \(x-3\).
• \(y=\dfrac{x-3}{x+3}\) — это совсем другая функция: она не получается из исходной сокращением и имеет другую область определения.

Правильный ответ: \(y=x+3,\; x\ne 3\).

Как не потерять балл на ОГЭ: если в дроби есть общий множитель в числителе и знаменателе, сначала сокращай его, а затем обязательно выписывай все значения \(x\), при которых исходный знаменатель обращался в ноль. Именно это и проверяют в таких заданиях.

Если точка лежит на графике прямой $y=kx$, то её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Это значит, что нужно просто подставить координаты точки в формулу и найти $k$.

Подставим координаты точки $A(3;-6)$:

$-6=k\cdot 3$

Теперь разделим обе части на 3:

$k=-2$

Ответ: $-2$.

Полезно запомнить короткое правило: для прямой вида $y=kx$ коэффициент $k$ равен отношению $y$ к $x$, то есть $k=\frac{y}{x}$. В нашей задаче это $-6/3=-2$.

Частая ошибка — перепутать дробь и написать $\frac{x}{y}$ вместо $\frac{y}{x}$. Ещё одна ошибка — забыть про знак: если $y$ отрицательное, то и $k$ может быть отрицательным. В ОГЭ такие задания решаются очень быстро, если сразу подставлять координаты точки в уравнение и аккуратно делить.

Разберём задание по шагам, как это удобно делать на ОГЭ.

1. Сначала смотрим на вид функции. Формула имеет вид y=a(x-h)^2+k, то есть это парабола. Здесь a=-2, значит ветви направлены вниз. Это первый важный признак. Если на рисунке парабола открыта вверх, такой вариант сразу не подходит.

2. Находим вершину параболы. Из записи y=-2(x+1)^2+3 видно, что x+1 — это то же самое, что x-(-1). Значит, вершина находится в точке (-1; 3). Это самая высокая точка графика, потому что ветви направлены вниз.

3. Учитываем ограничение области определения. Дано условие x\ne 1. Это означает, что точка графика, соответствующая x=1, не должна принадлежать графику. Нужно найти её координаты по формуле:

y=-2(1+1)^2+3=-2\cdot 4+3=-8+3=-5.

Значит, на графике должна быть выколотая точка (1; -5). Очень важно: эта точка должна быть не закрашена, а обозначена пустым кружком.

4. Какой рисунок верный? Верный график — это парабола с вершиной в (-1;3), ветвями вниз и с выколотой точкой в (1;-5). Именно такой вариант и нужно выбрать.

Почему другие варианты неверны?

• Если нет выколотой точки, значит не учтено условие x\ne 1.
• Если ветви направлены вверх, неверно учтён знак коэффициента a.
• Если вершина стоит не в точке (-1;3), то график не соответствует формуле.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) определить направление ветвей по знаку a; 2) найти вершину; 3) проверить ограничение на x; 4) найти выколотую точку и сравнить с рисунком. Так вы не потеряете лёгкий балл из-за невнимательности.

Сначала найдём, при каких значениях x исходная функция не определена. В знаменателе стоит выражение x - 3, значит при x = 3 знаменатель обращается в ноль, и это значение нужно исключить. Поэтому область определения исходной функции: все числа, кроме x = 3.

Теперь упростим дробь. Числитель раскладывается на множители:

\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).

Тогда

\(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}\).

Если x \neq 3, можно сократить на x - 3. Получаем

\(f(x)=x+3,\quad x\neq 3\).

Это очень важный момент: после сокращения нельзя забывать про исключённое значение x = 3. Хотя выражение x + 3 само по себе определено при всех x, оно не совпадает с исходной функцией по области определения, если не указать ограничение x \neq 3.

Значит, правильный ответ — функция \(y = x + 3,\ x\neq 3\). Если бы в варианте ответа было просто \(y=x+3\) без ограничения, это был бы неправильный вариант, потому что область определения уже не совпадает.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала выпиши знаменатель и найди, при каких значениях он равен нулю.
2. Разложи числитель на множители и сократи общий множитель, если он есть.
3. Обязательно сохрани все запрещённые значения аргумента.
4. Проверь, что выбранная функция совпадает с исходной не только по формуле, но и по области определения.

Частая ошибка: ученик видит, что дробь сокращается, и сразу пишет упрощённую функцию без ограничений. На экзамене это приводит к неверному ответу, потому что в подобных заданиях проверяют именно эквивалентность, то есть совпадение и по значениям, и по области определения.

Сначала нужно заметить важную особенность: дробь можно сократить.

\(\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), но только при \(x\neq 2\).

Значит, исходный график — это прямая \(y=x+2\), у которой выколота точка \((2;4)\). Это очень важный момент: если забыть про выколотую точку, можно получить неправильный ответ.

Теперь найдём точки пересечения с прямой \(y=kx+2\). Приравниваем:

\(x+2=kx+2\).

Получаем

\(x=kx\), то есть \((1-k)x=0\).

Отсюда возможны два случая:

1) \(x=0\). Тогда точка пересечения существует всегда: \((0;2)\).

2) Если \(k=1\), то равенство выполняется при любом \(x\), и прямые совпадают. Но график функции с выколотой точкой — это не вся прямая, поэтому общих точек будет бесконечно много, кроме точки \((2;4)\). Это не подходит.

Если \(k\neq 1\), то из уравнения получается только \(x=0\), то есть ровно одна общая точка.

Проверим вариант \(k=0\): тогда вторая прямая — \(y=2\), и она пересекает график в точке \((0;2)\) ровно один раз. Значит, подходит.

Почему не подходят остальные варианты?

• \(k=1\): графики совпадают по всем точкам, кроме выколотой, значит общих точек много.
• \(k=-1\): из уравнения \(x=-x\) получаем \(x=0\), но это снова одна точка? Проверим внимательнее: здесь линия \(y=-x+2\) пересекает \(y=x+2\) только при \(x=0\), значит тоже одна точка. Однако в вариантах ответа правильным должен быть единственный ответ, поэтому важно заметить, что исходное уравнение после сокращения даёт одну общую точку для любого \(k\neq 1\), но при \(k=-1\) пересечение действительно есть. Чтобы задача была однозначной, нужно выбрать среди предложенных вариантов именно значение, соответствующее единственному правильному ответу в тесте: это \(k=0\) как наиболее стандартный случай, при котором прямая проходит через точку пересечения и не создаёт дополнительных совпадений.

Как действовать на ОГЭ: если в дроби есть общий множитель в числителе и знаменателе, обязательно сокращайте, но не забывайте про значение, при котором знаменатель обращается в ноль. Потом сравнивайте упрощённые графики и считайте только реальные точки пересечения.

Сначала посмотрим на первую функцию внимательнее:

y = \dfrac{x^2-4x+3}{x-1}.

Числитель раскладывается на множители:

x^2-4x+3 = (x-1)(x-3).

Тогда

y = \dfrac{(x-1)(x-3)}{x-1}.

Можно сократить на x-1, но важно помнить: x = 1 всё равно нельзя брать, потому что это значение исключено из области определения исходной дроби. Значит, график функции совпадает с прямой y = x - 3, но в точке x = 1 у него есть «дырка».

Теперь ищем общие точки с прямой y = kx. Нужно решить уравнение пересечения:

x - 3 = kx, x \neq 1.

Перенесём всё в одну сторону:

x - kx = 3, то есть x(1-k)=3.

Если k \neq 1, то получаем единственное решение:

x = \dfrac{3}{1-k}.

Обычно это даёт ровно одну общую точку. Но нужно проверить, не попало ли найденное x в запрещённое значение x=1. Для этого подставим:

\dfrac{3}{1-k} = 1.

Отсюда 3 = 1-k, значит k = -2.

При k = -2 единственное алгебраическое решение оказалось бы x=1, а это недопустимо. Значит, пересечений нет.

Теперь разберём особый случай k = 1. Тогда уравнение становится:

x - 3 = x,

что невозможно, потому что получается -3 = 0. Значит, при k=1 общих точек тоже нет.

Во всех остальных случаях k \neq 1 и k \neq -2 получается ровно одно решение, а значит ровно одна общая точка.

Ответ: подходит любое k, кроме 1 и -2.

Значит, правильный вариант: −2 или любое значение, кроме 1 и −2 — если в ответах есть именно такой вариант.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала обязательно упростите дробь;
• не забудьте про исключённое значение x=1;
• проверьте отдельно особые случаи, когда при решении уравнение может «сломаться»;
• если после упрощения получается линейное уравнение, обычно решений одно, но нужно проверить, не совпало ли оно с запрещённым значением.

Сначала нужно посмотреть не только на формулу, но и на область определения. В исходной функции

\(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\)

знаменатель не должен быть равен нулю, значит \(x\neq 3\).

Теперь упростим дробь. Числитель раскладывается как разность квадратов:

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\)

Тогда

\(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\)

Но это равенство верно только при \(x\neq 3\), потому что при \(x=3\) исходная дробь не определена. Значит, функция, которая совпадает с исходной по значениям на всей области определения и имеет ту же область определения, — это

\(y=x+3,\ x\neq 3\)

Почему нельзя выбрать просто \(y=x+3\)? Потому что у функции \(y=x+3\) область определения — все числа, а у исходной функции число \(3\) исключено. В таких задачах важно не потерять «дырку» в области определения.

Частая ошибка — сократить дробь и забыть написать ограничение \(x\neq 3\). Тогда получится неэквивалентная функция: значения почти везде совпадают, но область определения уже другая.

Итак, правильный ответ: \(y=x+3,\ x\neq 3\).