Смешанные и нетиповые уравнения: задания с ответами

Используем главное свойство: если квадраты двух выражений равны, то сами выражения либо равны, либо противоположны по знаку.

Значит, для уравнения (2x - 3)² = (x + 5)² нужно рассмотреть два случая:

1) 2x - 3 = x + 5

Переносим неизвестные в одну сторону, числа — в другую:

2x - x = 5 + 3

x = 8

2) 2x - 3 = -(x + 5)

Важно не забыть минус перед скобками: он меняет знаки всех слагаемых внутри скобок.

Получаем:

2x - 3 = -x - 5

2x + x = -5 + 3

3x = -2

x = -2/3

Итак, уравнение имеет два решения: x = 8 и x = -2/3.

Почему нельзя ограничиться только первым случаем? Потому что равенство квадратов не означает обязательно равенство самих выражений. Например, числа 4 и -4 разные, но их квадраты равны. Поэтому у такого уравнения всегда нужно проверять оба варианта: равно и противоположно.

Частые ошибки на ОГЭ:

• рассмотреть только одно уравнение и потерять второй корень;
• ошибиться со знаком при раскрытии -(x + 5);
• не довести решение линейного уравнения до конца;
• забыть записать все найденные ответы.

Правильный ответ: x = 8 и x = -2/3.

Сначала внимательно посмотрим на уравнение. В обеих частях есть одинаковый множитель (x - 2)(x + 3). Это ключевой момент в заданиях на смешанные и нетиповые уравнения: если один и тот же множитель стоит слева и справа, уравнение удобно перенести в одну часть или просто рассмотреть равенство произведений.

Запишем уравнение так:

$(x-2)(x+3)(x-1)-(x-2)(x+3)=0$

Теперь вынесем общий множитель за скобки:

$(x-2)(x+3)\left[\right(x-1)-1]=0$

Упростим скобку:

$(x-2)(x+3)(x-2)=0$

То есть получаем:

$(x-2)²(x+3)=0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, корни уравнения:

$x=2$

и

$x=-3$

Обратите внимание: число 2 — корень кратности 2, но в ответе на вопрос «произведение всех корней» обычно учитывают различные корни уравнения, если в условии не сказано явно считать кратности. В заданиях ОГЭ надо читать формулировку очень внимательно. Здесь требуется найти произведение всех корней уравнения, то есть перемножить найденные значения: 2 · (−3) = −6.

Ответ: −6.

Частые ошибки:

• забывают вынести общий множитель и сразу начинают раскрывать скобки;
• сокращают одинаковый множитель, но не проверяют, не потеряли ли корень;
• ошибаются в знаках при переносе в одну часть;
• неверно перемножают корни в конце.

Совет для ОГЭ: если в уравнении есть одинаковые множители в обеих частях, сначала ищите общий множитель и разложение на множители. Это обычно самый быстрый путь к корням и к нужному произведению.

Решим уравнение аккуратно и найдём именно сумму квадратов корней, а не сумму самих корней. Это важное различие: в подобных заданиях часто легко ошибиться именно на последнем шаге.

Дано уравнение:

x⁴ = (2x - 3)².

Заметим, что левая часть — это квадрат числа x², а правая часть — квадрат числа 2x - 3. Значит, можно перейти к равенству модулей:

|x²| = |2x - 3|.

Но так как x² ≥ 0 при любом действительном x, то |x²| = x². Получаем:

x² = |2x - 3|.

Теперь разбиваем на два случая.

1) Если 2x - 3 ≥ 0, то есть x ≥ 1,5, тогда

x² = 2x - 3,

x² - 2x + 3 = 0.

Дискриминант:

D = (-2)² - 4·1·3 = 4 - 12 = -8.

Дискриминант отрицательный, значит действительных корней здесь нет.

2) Если 2x - 3 < 0, то есть x < 1,5, тогда

x² = -(2x - 3),

x² + 2x - 3 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = 2² - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16.

x = ( -2 ± 4 ) / 2, то есть

x₁ = 1, x₂ = -3.

Проверим условия случая: оба корня действительно меньше 1,5, значит подходят.

Теперь найдём сумму квадратов всех действительных корней:

1² + (-3)² = 1 + 9 = 10.

Ответ: 10.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не надо сразу раскрывать квадрат и получать громоздкое уравнение — здесь удобнее заметить, что обе части являются квадратами.
• После перехода к случаю обязательно проверяйте, удовлетворяют ли найденные корни условию этого случая.
• В конце требуется именно сумма квадратов, поэтому нужно возвести каждый найденный корень в квадрат и только потом сложить.
• Частая ошибка — перепутать сумму корней с суммой их квадратов. Для корней 1 и -3 сумма корней равна -2, но это не то, что спрашивается.

Используем основную идею: если два квадрата равны, то равны сами выражения либо равны противоположные выражения. Это значит, что

(2x - 5)² = (x + 1)² эквивалентно системе из двух случаев:

1) 2x - 5 = x + 1;

2) 2x - 5 = -(x + 1).

Разберём каждый случай отдельно.

Первый случай: 2x - 5 = x + 1. Тогда 2x - x = 1 + 5, то есть x = 6.

Второй случай: 2x - 5 = -x - 1. Переносим неизвестные влево, числа вправо: 2x + x = 5 - 1, получаем 3x = 4, значит x = 4/3.

Теперь проверяем: оба значения подходят, потому что были получены из равносильного преобразования равенства квадратов в два линейных уравнения. Значит, ответ: 4/3 и 6.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не пытайтесь сразу делить на квадрат или извлекать корень без учёта знака;
• обязательно записывайте два случая: равенство и противоположность выражений;
• не забудьте найти все корни, а не только один.

В вариантах ответа нужно выбрать тот, где указаны оба решения: 4/3 и 6.

Сначала заметим главное: в обеих частях уравнения есть один и тот же корень \(\sqrt{9-x}\). Такие слагаемые можно сократить, но только после того, как мы учтём область допустимых значений.

1. Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(9-x \ge 0\), значит \(x \le 9\).

Это важный шаг: если забыть ОДЗ, можно оставить лишние ответы.

2. Сократим одинаковые радикалы. Из уравнения

\(x^2+\sqrt{9-x}=\sqrt{9-x}+4\)

вычтем \(\sqrt{9-x}\) из обеих частей. Получаем:

\(x^2=4\).

3. Решим простое уравнение. Из \(x^2=4\) получаем два корня:

\(x=2\) или \(x=-2\).

4. Проверим корни по ОДЗ. Оба значения подходят, потому что \(2\le 9\) и \(-2\le 9\). Кроме того, подставление показывает, что равенство выполняется.

Ответ: \(x=-2\) и \(x=2\).

Почему так решать удобно на ОГЭ? Если одинаковый корень стоит слева и справа, не спешите возводить уравнение в квадрат. Сначала попробуйте сократить одинаковые радикальные выражения. Это быстрее и безопаснее: меньше риск получить посторонние корни.

Частые ошибки:

• забывают записать ОДЗ;
• возводят в квадрат раньше времени и усложняют решение;
• после нахождения корней не проверяют их;
• считают, что корень \(\sqrt{9-x}\) может быть отрицательным — это неверно, квадратный корень всегда неотрицателен.

Рассмотрим уравнение

$(x-1)(x+2)(x-3)=(x-1)(x+4)$.

Здесь в обеих частях есть общий множитель $(x-1)$. Но важно помнить экзаменационное правило: сначала нужно перенести всё в одну часть или аккуратно исследовать случай, когда общий множитель равен нулю. Иначе можно потерять корень.

Сделаем это правильно.

1. Рассмотрим случай $x=1$. Тогда оба произведения равны нулю, значит $x=1$ — корень уравнения.

2. Теперь считаем, что $x\ne 1$, и можно сократить обе части на $(x-1)$. Получаем:

$(x+2)(x-3)=x+4$.

Раскроем скобки:

$x^2-x-6=x+4$.

Перенесём всё в одну часть:

$x^2-2x-10=0$.

Теперь найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=4+40=44$.

Тогда

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{44}}{2}=1\pm\sqrt{11}$.

Итак, все корни исходного уравнения:

$x_1=1$, $x_2=1+\sqrt{11}$, $x_3=1-\sqrt{11}$.

Найдём их произведение:

$x_1x_2x_3=1\cdot(1+\sqrt{11})\cdot(1-\sqrt{11})$.

Используем формулу разности квадратов:

$(1+\sqrt{11})(1-\sqrt{11})=1-11=-10$.

Значит, произведение корней равно $-10$.

Ответ: $-10$.

На что обратить внимание на ОГЭ:

1) Если в уравнении есть общий множитель, обязательно проверьте, не даёт ли он отдельный корень.

2) Нельзя просто сокращать на выражение с $x$ без проверки случая, когда оно равно нулю.

3) После нахождения всех корней нужно перемножить именно все из них, а не только корни сокращённого уравнения.

Сначала перенесём всё в одну часть уравнения:

(x - 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 1) = 0.

Теперь видно, что в обоих слагаемых есть общий множитель (x - 2). Его можно вынести за скобку:

(x - 2)[(x + 3) - (x - 1)] = 0.

Упростим выражение в квадратных скобках:

(x + 3) - (x - 1) = x + 3 - x + 1 = 4.

Тогда уравнение принимает вид:

4(x - 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то хотя бы один множитель должен быть равен нулю. Здесь число 4 не равно нулю, значит:

x - 2 = 0, откуда x = 2.

Это единственный корень уравнения, поэтому произведение всех корней равно самому корню:

2.

Ответ: 2.

Как не потерять балл на ОГЭ: 1) не раскрывайте скобки раньше времени, если видно общий множитель; 2) после вынесения множителя обязательно проверьте, не потеряли ли вы какие-то решения; 3) помните: если корень один, то произведение всех корней — это просто этот корень.

Типичная ошибка: некоторые ученики после сокращения на (x - 2) сразу пишут, что решений нет. Это неверно: нельзя делить на выражение с переменной, не учитывая случай, когда оно равно нулю. Правильнее сначала вынести множитель и решить уравнение по правилу произведения нулю.

Сначала заметим, что в уравнении повторяется выражение (x-1)^2. Это типичный признак того, что удобно сделать замену переменной.

Обозначим t = (x-1)^2. Тогда уравнение превращается в квадратное:

t^2 - 5t + 4 = 0.

Разложим на множители:

(t-1)(t-4)=0.

Значит, t=1 или t=4.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) (x-1)^2=1, откуда x-1=\pm1, то есть x=0 и x=2.

2) (x-1)^2=4, откуда x-1=\pm2, то есть x=-1 и x=3.

Все корни действительные: -1, 0, 2, 3.

Теперь найдём сумму квадратов всех корней:

(-1)^2 + 0^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 0 + 4 + 9 = 14.

Но здесь важно не перепутать формулировку: нужно найти сумму квадратов всех корней уравнения. Корни — это -1, 0, 2, 3, значит ответ действительно 14.

Как не потерять баллы на ОГЭ: сначала всегда делайте замену, если видите одинаковое выражение в четных степенях; потом решайте получившееся квадратное уравнение; после возврата к x обязательно проверьте, что корни действительные. Частая ошибка — найти только значения t и забыть вернуться к исходной переменной, или посчитать сумму квадратов для значений t вместо корней x.

Ключевая идея здесь очень важна для ОГЭ: квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть a² ≥ 0. Значит, сумма двух квадратов может быть равна нулю только в одном случае: каждый квадрат равен нулю отдельно.

Рассмотрим уравнение:

(x - 1)² + (2x + 3)² = 0.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то должно быть:

x - 1 = 0 и 2x + 3 = 0.

Решим первое уравнение: x = 1.

Решим второе уравнение: 2x = -3, значит x = -3/2.

Здесь важно заметить: одно и то же число не может одновременно быть равно 1 и -3/2. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Но в задаче сказано найти x₁ + x₂, где x₁ и x₂ — корни уравнения. Так как действительных корней нет, то такая величина в рамках этой задачи не определена. Поэтому среди предложенных вариантов должен быть ответ, соответствующий отсутствию действительных корней.

Как решать такие задания на экзамене:

• не раскрывайте скобки автоматически, если видите сумму квадратов;
• сразу используйте свойство: если сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю;
• проверяйте, не получается ли противоречие;
• если корней нет, то нельзя вычислять сумму, произведение или другое выражение от корней как обычное число.

Частая ошибка — пытаться решить уравнение как обычное квадратное, раскрывая скобки. Это долго и может привести к лишним вычислительным ошибкам. На ОГЭ лучше сразу увидеть структуру суммы квадратов.

Решим уравнение аккуратно и затем найдём не просто корни, а именно сумму их квадратов.

Дано:

x⁴ = (2x - 3)².

Так как в правой части стоит квадрат, полезно заметить: x⁴ = (x²)². Тогда можно сравнить два квадрата:

(x²)² = (2x - 3)².

Если два числа имеют равные квадраты, то одно из них равно другому или противоположному ему числу. Значит, получаем два случая:

1) x² = 2x - 3,

2) x² = -(2x - 3) = -2x + 3.

Решим каждый случай.

1) x² - 2x + 3 = 0.

Дискриминант:

D = (-2)² - 4 · 1 · 3 = 4 - 12 = -8.

Дискриминант отрицателен, значит действительных корней нет.

2) x² + 2x - 3 = 0.

Разложим на множители:

x² + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0.

Отсюда корни: x = -3 и x = 1.

Теперь найдём сумму квадратов всех действительных корней:

(-3)² + 1² = 9 + 1 = 10.

Ответ: 10.

Почему это важно для ОГЭ: в таких задачах часто сначала находят корни уравнения, а потом забывают, что нужно вычислить именно сумму квадратов. Ещё одна частая ошибка — решить только одно из уравнений после перехода от равенства квадратов. Но нужно обязательно рассмотреть оба случая.

Как проверять себя: если уравнение было приведено к виду A² = B², то всегда думайте: либо A = B, либо A = -B. Это помогает не потерять корни и не сделать лишних преобразований.

Решим уравнение аккуратно, потому что в нём есть дроби со знаменателем x−1. Такие уравнения удобно решать заменой переменной.

1. Сначала найдём ОДЗ.
Знаменатель не должен равняться нулю, значит x ≠ 1.

2. Сделаем замену.
Положим t = 1/(x−1). Тогда
\[\frac{1}{(x-1)^2}=t^2.\]
Уравнение превращается в квадратное:

\[5t^2-7t+2=0.\]

3. Решим квадратное уравнение.
Разложим на множители:

\[(5t-2)(t-1)=0.\]

Отсюда
\[t_1=\frac{2}{5}, \quad t_2=1.\]

4. Вернёмся к исходной переменной.
Так как t = 1/(x−1), получаем:

Для t=1:
\[\frac{1}{x-1}=1 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2.\]

Для t=\frac{2}{5}:
\[\frac{1}{x-1}=\frac{2}{5} \Rightarrow x-1=\frac{5}{2} \Rightarrow x=\frac{7}{2}.\]

5. Проверим допустимость.
Обе найденные точки не равны 1, значит они подходят.

6. Найдём сумму корней.
\[2+\frac{7}{2}=\frac{11}{2}.\]

Ответ: \(\frac{11}{2}\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте записывать ОДЗ;
• после замены решайте именно квадратное уравнение, но ответ нужно искать в исходной переменной;
• не путайте сумму корней вспомогательного уравнения и сумму корней исходного;
• обязательно проверяйте, не запрещено ли найденное значение ОДЗ.

Сначала находим ОДЗ — значения, при которых знаменатели не равны нулю:

$x\ne 1$ и $x\ne -2$.

Теперь избавимся от дробей. Удобно умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+2)$. Тогда получаем:

$2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)$.

Раскроем скобки:

$2x+4+3x-3=x^2+x-2$.

Приведём подобные:

$5x+1=x^2+x-2$.

Перенесём всё в одну сторону:

$x^2-4x-3=0$.

Разложим на множители:

$(x-6)(x+1)=0$.

Отсюда кандидаты на корни: $x=6$ и $x=-1$.

Проверяем ОДЗ: оба числа не равны $1$ и $-2$, значит оба подходят.

Ответ: $-1$ и $6$.

Как не потерять баллы на ОГЭ: сначала всегда выписывайте ОДЗ, потом умножайте на общий знаменатель, а после решения обязательно проверяйте найденные корни. Частая ошибка — забыть, что число, которое получилось из уравнения, может не подходить из-за знаменателя. Здесь это особенно важно, потому что в рациональных уравнениях лишние корни встречаются часто.