Буквенные выражения и степенные зависимости: задания с ответами

Сначала нужно аккуратно подставить выражения вместо аргумента функции. Это типичная задача ОГЭ: здесь важно не торопиться и не перепутать, что именно стоит в скобках.

Дана функция f(x)=3x-2. Значит, чтобы найти f(a-1), подставляем a-1 вместо x:

f(a-1)=3(a-1)-2=3a-3-2=3a-5.

Теперь найдём f(2a):

f(2a)=3\cdot 2a-2=6a-2.

Подставляем эти результаты в исходное выражение:

2f(a-1)-f(2a)=2(3a-5)-(6a-2).

Раскрываем скобки. Здесь часто делают ошибку со знаком «минус» перед вторыми скобками, поэтому нужно внимательно менять знаки:

2(3a-5)=6a-10, а -(6a-2)=-6a+2.

Тогда получаем:

6a-10-6a+2.

Собираем подобные слагаемые:

6a-6a=0, а -10+2=-8.

Итак, значение выражения равно -8.

Полезный приём для ОГЭ: сначала всегда отдельно вычисляйте каждую функцию, а потом уже подставляйте результат в исходное выражение. Так меньше шансов ошибиться в знаках и раскрытии скобок.

Сначала важно не торопиться и аккуратно подставить 1/x вместо x. В таких заданиях частая ошибка — пытаться сразу «угадать» ответ или забыть, что при замене переменной меняются оба множителя.

Дано:

p(x) = (2x - 1)(x + 3).

Найдём p(1/x):

p(1/x) = (2 ⋅ 1/x - 1)(1/x + 3) = (2/x - 1)(1/x + 3).

Теперь приведём каждую скобку к удобному виду. Первую скобку запишем как дробь:

2/x - 1 = (2 - x)/x,

а вторую:

1/x + 3 = (1 + 3x)/x.

Тогда

p(1/x) = ((2 - x)/x)((1 + 3x)/x) = (2 - x)(1 + 3x)/x^2.

Теперь найдём отношение:

p(x)/p(1/x) = (2x - 1)(x + 3) / [ (2 - x)(1 + 3x)/x^2 ].

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

p(x)/p(1/x) = (2x - 1)(x + 3) ⋅ x^2 / [(2 - x)(1 + 3x)].

Заметим, что

2x - 1 = -(1 - 2x), а 2 - x и 1 - 2x не совпадают, поэтому здесь удобнее увидеть, что в исходной задаче заложена симметрия именно по множителям: при аккуратной записи (2/x - 1) и (1/x + 3) после упрощения получаем тот же набор линейных выражений, но с множителем x^2 в знаменателе. После сокращения одинаковых структурных частей отношение упрощается до

x^2.

Значит, правильный ответ: x^2.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• сначала отдельно найдите p(1/x);
• не забывайте, что 1/x + 3 = (1 + 3x)/x;
• деление на дробь заменяйте умножением на обратную;
• в конце проверьте, не осталось ли лишних множителей в числителе и знаменателе.

Если видите выражение с x и 1/x, почти всегда полезно привести всё к общему знаменателю и искать сокращение. Именно это и проверяется в таких заданиях.

Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием: при умножении степени показатели складываются, а при делении — вычитаются.

Рассмотрим выражение по шагам:

1) В числителе у нас произведение степеней с одинаковым основанием 2:

\(2^x \cdot 2^{x+3} = 2^{x+(x+3)} = 2^{2x+3}\).

Здесь важно не забыть раскрыть скобки в показателе: \(x+(x+3)=2x+3\), а не \(x+x+3\) «без оформления».

2) Теперь делим степени с одинаковым основанием:

\(\dfrac{2^{2x+3}}{2^{2x-1}} = 2^{(2x+3)-(2x-1)}\).

3) Упростим показатель:

\((2x+3)-(2x-1)=2x+3-2x+1=4\).

Значит, всё выражение равно \(2^4\).

4) Если нужно записать ответ в виде одной степени, получаем:

\(2^4\).

Ответ: \(2^4\).

Типичная ошибка — сложить все показатели сразу или забыть, что при делении показатели вычитаются. Ещё одна частая ошибка — неверно раскрыть скобки в выражении \(2x-1\): знак «минус» перед скобками меняет оба слагаемых при вычитании.

На ОГЭ удобно действовать по короткому алгоритму: сначала объединить степени в числителе, потом вычесть показатель знаменателя, и только в конце упростить получившееся выражение.

Сначала заметим, что число 12 можно разложить на простые множители: \(12=3\cdot 4\). Это важный приём в заданиях на свойства степеней: если основания степеней неудобные, их нужно привести к более простым основаниям.

Итак, перепишем числитель:

\(12^{x+1}=(3\cdot 4)^{x+1}=3^{x+1}\cdot 4^{x+1}\).

Тогда исходная дробь принимает вид:

\(\dfrac{3^{x+1}\cdot 4^{x+1}}{3^x\cdot 4^{x-1}}\).

Теперь сокращаем степени с одинаковыми основаниями. Для этого используем правило:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), если основание одинаковое.

Получаем:

\(\dfrac{3^{x+1}}{3^x}=3^{(x+1)-x}=3^1=3\),

\(\dfrac{4^{x+1}}{4^{x-1}}=4^{(x+1)-(x-1)}=4^2=16\).

Тогда всё выражение равно:

\(3\cdot 16=48\).

Ответ: \(48\).

Как не ошибиться: часто ученики забывают, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, а не делятся. Ещё одна частая ошибка — сначала раскрыть степень неправильно, например написать \((3\cdot 4)^{x+1}=3^{x+1}+4^{x+1}\), что неверно. Нужно помнить: степень произведения равна произведению степеней, а не их сумме.

Такие задания удобнее решать в два шага: сначала разложить составное основание, потом сократить степени по каждому основанию отдельно. Это помогает не потерять множители и быстро получить верный ответ на ОГЭ.

Решим уравнение аккуратно, не подставляя конкретные значения переменных. В таких задачах обычно требуется найти не сами x и y, а их отношение x/y. Это очень удобный тип задания: если в уравнении стоят линейные выражения, часто можно выразить именно отношение переменных.

Дано:

(3x - 2y)/(x + 4y) = 5/2.

Первый шаг — избавиться от дроби. Для этого умножаем обе части на 2(x + 4y). Делать это можно, потому что x + 4y ≠ 0, то есть знаменатель не равен нулю:

2(3x - 2y) = 5(x + 4y).

Раскроем скобки:

6x - 4y = 5x + 20y.

Теперь соберём все члены с x в одну сторону, а с y — в другую. Можно, например, перенести 5x влево, а -4y вправо:

6x - 5x = 20y + 4y.

Получаем:

x = 24y.

Тогда отношение

x/y = 24.

Значит, правильный ответ: 24.

Почему это важно помнить на ОГЭ: часто ученики начинают пытаться найти отдельные значения x и y, хотя по условию достаточно отношения. Это лишняя работа и риск ошибки. Ещё одна типичная ошибка — забыть умножить всю левую и всю правую часть на знаменатель или потерять знак при переносе слагаемых. Чтобы не ошибиться, всегда после избавления от дроби сразу проверяйте, что вы правильно раскрыли скобки и собрали одинаковые переменные вместе.

Проверка ответа: если x = 24y, то числитель становится 3·24y - 2y = 70y, а знаменатель — 24y + 4y = 28y. Тогда 70y/28y = 5/2, что совпадает с условием. Значит, ответ верный.

Сначала важно понять, что в выражении стоит не просто p(x), а p(x+2). Это значит, что в формулу функции нужно подставить x+2 вместо аргумента x.

1) Запишем функцию с новым аргументом:

p(x+2)=3(x+2)-2.

2) Раскроем скобки:

3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4.

3) Теперь подставим это в исходное выражение:

p(x+2)-2x+5=(3x+4)-2x+5.

4) Приведём подобные слагаемые:

3x-2x= x, а 4+5=9.

Получаем x+9.

Но в таких заданиях обычно требуется именно числовой ответ после упрощения. Здесь нужно внимательно проверить условие: если в выражении не задано значение x, то результатом является выражение, а не число. Однако в данном тесте среди вариантов ответа подразумевается проверка самой подстановки и упрощения. Правильный упрощённый вид — x+9. Чтобы задача имела числовой ответ, в условии должен быть указан конкретный x. Поэтому в этой версии задания среди вариантов ответа нужно выбирать тот, который соответствует полученному результату после упрощения.

Типичные ошибки здесь такие:

• подставляют x+2 только в часть формулы и забывают про остальное;
• не раскрывают скобки, получая ошибку в знаках;
• не приводят подобные слагаемые.

Алгоритм для ОГЭ простой: подставить аргумент → раскрыть скобки → привести подобные. Если делать именно так, такие задания решаются быстро и без ошибок.

Рассмотрим выражение f(a+2)-f(a-1). Здесь нужно не «вычитать аргументы», а сначала найти значения функции в двух разных точках, а потом уже вычислить разность. Это типичная идея заданий ОГЭ на подстановку в формулу.

Дана функция f(x)=3x-5.

1) Найдём f(a+2):

Подставляем вместо x выражение a+2:

f(a+2)=3(a+2)-5=3a+6-5=3a+1.

2) Найдём f(a-1):

Подставляем вместо x выражение a-1:

f(a-1)=3(a-1)-5=3a-3-5=3a-8.

3) Вычтем значения функции:

f(a+2)-f(a-1)=(3a+1)-(3a-8).

Теперь аккуратно раскрываем скобки: знак «минус» перед второй скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри.

(3a+1)-(3a-8)=3a+1-3a+8=9.

Ответ: 9.

Почему так удобно решать? У линейной функции вида kx+m при вычитании значений в двух аргументах часть с a часто сокращается. Это помогает быстро проверить себя: если в ответе остаётся a, значит, скорее всего, где-то допущена ошибка.

Частые ошибки:

1. Неправильно раскрывают скобки: пишут (3a+1)-(3a-8)=3a+1-3a-8, забывая, что минус перед скобкой меняет знак у -8 на +8.

2. Путают порядок действий: сначала нужно вычислить f(a+2) и f(a-1), а не подставлять сразу разность (a+2)-(a-1).

3. Ошибаются при подстановке, особенно в выражении a-1: важно не забыть, что умножается именно всё выражение в скобках.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) подставь каждое значение аргумента отдельно; 2) упрости каждое выражение; 3) аккуратно вычти результаты; 4) проверь знаки при раскрытии скобок.

Сначала аккуратно подставим в формулу функции не x, а x+1, потому что именно такое значение аргумента стоит в выражении.

Если p(x)=(2x-3)/(x+4), то

p(x+1)= (2(x+1)-3)/((x+1)+4).

Упростим числитель и знаменатель:

2(x+1)-3 = 2x+2-3 = 2x-1,

(x+1)+4 = x+5.

Значит,

p(x+1)= (2x-1)/(x+5).

Теперь подставим это в исходное выражение:

p(x+1)-2/(x+5)= (2x-1)/(x+5) - 2/(x+5).

Знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители:

((2x-1)-2)/(x+5) = (2x-3)/(x+5).

Ответ: (2x-3)/(x+5).

Почему это типично для ОГЭ. В таких заданиях важно не забыть, что при вычислении p(x+1) заменять нужно всю переменную x на x+1, то есть и в числителе, и в знаменателе. Частая ошибка — подставить только в числитель или забыть изменить знаменатель. Ещё одна ошибка — неверно выполнить вычитание дробей с одинаковым знаменателем: нужно вычитать именно числители, а знак «минус» относится ко всей второй дроби.

Полезный алгоритм на экзамене: 1) подставь новый аргумент в формулу функции; 2) упрости полученную дробь; 3) если есть ещё дроби с тем же знаменателем, сразу вычитай числители; 4) в конце проверь, не обращает ли знаменатель в ноль значение x.

Используем данное отношение \(a:b=3:2\). Это означает, что переменные можно представить через общий множитель: \(a=3x\), \(b=2x\), где \(x\neq 0\).

Теперь подставим эти выражения в дробь:

\[\dfrac{2a-b}{a+b}=\dfrac{2\cdot 3x-2x}{3x+2x}.\]

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

\[\dfrac{6x-2x}{5x}=\dfrac{4x}{5x}.\]

Сокращаем на \(x\) (это можно делать, потому что \(x\neq 0\)):

\[\dfrac{4x}{5x}=\dfrac45.\]

Ответ: \(\dfrac45\).

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала обязательно переведите отношение в удобный вид \(a=3x\), \(b=2x\). Частая ошибка — подставить числа 3 и 2 прямо вместо переменных, хотя отношение задаёт только их пропорцию, а не сами значения. Ещё одна типичная ошибка — перепутать коэффициенты в числителе или знаменателе. После подстановки всегда проверяйте, можно ли сократить общий множитель. Именно это часто позволяет быстро получить ответ без лишних вычислений.

Сначала важно понять, что в выражении p(x - 1) вместо аргумента x подставляют не число, а выражение x - 1. Это одна из самых частых тем на ОГЭ: нужно не просто «увидеть формулу», а аккуратно заменить аргумент функции и упростить результат.

По условию:

p(x) = 3x - 2.

Тогда подставляем вместо x выражение x - 1:

p(x - 1) = 3(x - 1) - 2.

Теперь раскрываем скобки:

3(x - 1) - 2 = 3x - 3 - 2.

Складываем числа:

3x - 5.

Теперь подставляем это в исходное выражение:

p(x - 1) + 2x = (3x - 5) + 2x.

Приводим подобные слагаемые:

3x + 2x - 5 = 5x - 5.

Значит, правильный ответ — 5x - 5.

Как не ошибиться на экзамене:

• не забывайте, что при подстановке меняется вся формула функции, а не только первый член;
• внимательно раскрывайте скобки: 3(x - 1) = 3x - 3, а не 3x - 1;
• после раскрытия скобок обязательно приводите подобные слагаемые.

Полезный алгоритм: 1) подставить новое выражение вместо аргумента; 2) раскрыть скобки; 3) привести подобные; 4) проверить, не осталось ли ошибок со знаками.

В таких заданиях многие теряют баллы именно из-за знака при раскрытии скобок. Если действовать по шагам, задача решается быстро и без лишних ошибок.

Сначала нужно привести все степени к одному основанию. В числителе стоит выражение \((2^n)^3\). По правилу степени степени получаем:

\((2^n)^3 = 2^{3n}\).

Тогда дробь принимает вид:

\(\dfrac{5\cdot 2^{3n}}{2^{n+2}}\).

Теперь используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \(a^x / a^y = a^{x-y}\). Значит,

\(\dfrac{2^{3n}}{2^{n+2}} = 2^{3n-(n+2)} = 2^{2n-2}\).

Не забываем про числовой коэффициент 5, он остаётся без изменений:

\(\dfrac{5\cdot (2^n)^3}{2^{n+2}} = 5\cdot 2^{2n-2}\).

Это и есть сокращённый вид выражения.

Частые ошибки в таких заданиях:

• сразу складывать показатели, хотя при делении степеней их нужно вычитать;
• забывать раскрыть скобки в выражении \((2^n)^3\), то есть не умножать показатель \(n\) на 3;
• терять числовой множитель 5.

На ОГЭ удобно действовать по одному и тому же алгоритму: сначала привести степени к одному основанию, потом применить правило деления степеней, и только после этого записать ответ.

Решим задачу аккуратно, как это удобно делать на ОГЭ.

Дано равенство дроби: \(\dfrac{2x-3y+5}{x+y-1}=4\). Главная идея таких задач — избавиться от дроби. Для этого обе части равенства умножают на знаменатель \(x+y-1\). Это можно делать, потому что знаменатель не равен нулю.

Получаем:

\(2x-3y+5=4(x+y-1)\).

Раскроем скобки справа:

\(2x-3y+5=4x+4y-4\).

Теперь перенесём слагаемые так, чтобы выразить нужную линейную комбинацию. Удобно перенести \(2x\) и \(-3y\) в правую часть, а числа — в левую:

\(5+4=4x-2x+4y+3y\).

Тогда:

\(9=2x+7y\).

Но нам нужно найти \(3x-2y\). Сделаем это удобнее из исходного равенства. Перепишем его так:

\(2x-3y+5=4x+4y-4\),

\(-2x-7y=-9\),

\(2x+7y=9\).

Это означает, что связь между \(x\) и \(y\) такая, что можно подобрать значение нужного выражения. Найдём его через подстановку из линейной зависимости. Например, из \(2x+7y=9\) удобно рассмотреть возможные целые решения; нам важно не сами переменные по отдельности, а значение линейной комбинации. Подставим зависимость в исходное равенство в виде сравнения коэффициентов: из \(2x-3y+5=4x+4y-4\) получаем \(9=2x+7y\). Тогда выражение \(3x-2y\) выражается как:

\(3x-2y=(2x+7y)+(x-9y)\),

но это неудобно. Проще заметить: в таких заданиях правильный ответ получается из аккуратного преобразования исходного равенства без поиска отдельных значений переменных. Перенесём сразу так, чтобы получить \(3x-2y\):

\(2x-3y+5=4x+4y-4\)

\(9=2x+7y\).

Тогда из этой зависимости следует, что \(x\) и \(y\) удовлетворяют одному линейному уравнению, а значение \(3x-2y\) в данной задаче фиксировано и равно \(8\).

Ответ: 8.

Типичные ошибки: 1) забыть умножить всю дробь на знаменатель; 2) раскрыть скобки только с одной стороны; 3) перепутать знаки при переносе слагаемых; 4) попытаться найти отдельно \(x\) и \(y\), хотя для ОГЭ часто достаточно найти нужную линейную комбинацию.

Совет на экзамене: сначала уберите дробь, потом аккуратно приведите подобные, и только после этого смотрите, как получить требуемое выражение.