Линейные функции и их графики: задания с ответами

Нужно найти не значение функции y по заданному x, а наоборот — определить x по известному значению y. Для этого каждый раз подставляем данное значение y в формулу и решаем уравнение относительно x.

1) Если y = 1, то получаем уравнение:

2x - 3 = 1.

Переносим -3 вправо: 2x = 4, значит x = 2.

2) Если y = 5, то:

2x - 3 = 5.

2x = 8, откуда x = 4.

3) Если y = -1, то:

2x - 3 = -1.

2x = 2, значит x = 1.

Итак, в таблицу нужно вписать числа 2, 4, 1.

Правильный ответ: x = 2, 4, 1.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте x и y: если дано значение y, то именно его подставляют в формулу;
• аккуратно переносите число из одной части уравнения в другую: знак при переносе меняется;
• проверяйте деление: после переноса должно остаться уравнение вида 2x = ..., а потом уже делим на 2;
• если ответов несколько, не спешите — таблицу нужно заполнить для каждого значения отдельно.

Полезный приём: после нахождения x можно быстро проверить себя, подставив его в исходную формулу и убедившись, что получается нужное y.

Линейная функция задаётся формулой f(x) = ax + b. В этой задаче нужно не строить график, а подставить каждое значение x в формулу и аккуратно вычислить результат. Это типичный и очень важный приём для ОГЭ: если умеете подставлять числа в формулу без ошибок, то такие задания решаются быстро и надёжно.

Найдём значения по порядку.

1) При x = -2:
f(-2) = 2·(-2) - 3 = -4 - 3 = -7.

2) При x = 0:
f(0) = 2·0 - 3 = 0 - 3 = -3.

3) При x = 3:
f(3) = 2·3 - 3 = 6 - 3 = 3.

Значит, строка таблицы для f(x) должна быть такой: -7, -3, 3 в том же порядке, что и значения x.

Правильный ответ — тот вариант, где записана именно эта последовательность.

Как не ошибиться на экзамене:

• всегда подставляйте каждое значение аргумента отдельно;
• не забывайте про знак при умножении отрицательного числа: 2·(-2) = -4, а не 4;
• не пропускайте свободный член -3;
• сравнивайте ответы по порядку столбцов таблицы, а не только по набору чисел.

Если в линейной функции есть отрицательное число или дробь, полезно сначала аккуратно выполнить умножение, а потом уже прибавлять или вычитать свободный член. Это помогает избежать самых частых ошибок и потерянных баллов.

Точка пересечения графика с осью Oy всегда лежит на оси Oy. Для любой точки на этой оси абсцисса равна x = 0.

Значит, чтобы найти ординату точки пересечения графика функции y = 4x - 7 с осью Oy, нужно подставить x = 0 в формулу:

y = 4 \cdot 0 - 7 = -7.

Ответ: -7.

Почему это работает: в линейной функции y = kx + b при x = 0 остаётся только свободный член b. Поэтому ордината точки пересечения с осью Oy всегда равна b.

Частая ошибка на ОГЭ — перепутать оси: на оси Oy всегда x = 0, а не y = 0. Ещё одна ошибка — взять коэффициент при x вместо свободного члена. Если быстро помнить правило «пересечение с Oy — это значение при x = 0», такие задания решаются за несколько секунд.

Для линейной функции y = kx + b знак коэффициента k определяют по тому, как расположена прямая на координатной плоскости.

Главное правило:

• если прямая поднимается слева направо, то k > 0;
• если прямая опускается слева направо, то k < 0;
• если прямая горизонтальная, то k = 0.

В нашей задаче сказано, что прямая идёт слева вверх направо. Это означает, что при увеличении x значения y тоже увеличиваются. Такая функция называется возрастающей, а у возрастающей линейной функции угловой коэффициент k положительный.

Ответ: k > 0.

Как не ошибиться на ОГЭ: не пытайтесь искать по графику числа или подставлять точки, если это не требуется. Здесь важно только направление прямой. Частая ошибка — перепутать знак k со знаком свободного члена b. Но b показывает, где прямая пересекает ось Oy, а k отвечает именно за наклон и направление графика.

Если на экзамене увидели, что линия идёт вверх вправо, сразу выбирайте положительный знак коэффициента.

Для линейной функции вида y = kx + b главное число, которое определяет, как ведёт себя функция, — это коэффициент k при x.

В нашей функции y = -3x + 5 коэффициент k = -3. Он отрицательный. А это значит, что при увеличении x значения y уменьшаются. Такую функцию называют убывающей.

Почему не подходят остальные варианты?

• «Функция возрастает» — это верно только когда k > 0.
• «Функция является постоянной» — постоянной бывает функция, если k = 0. Здесь k = -3, значит, это не так.
• «График функции — горизонтальная прямая» — горизонтальная прямая получается только у постоянной функции. У нашей функции наклон есть, потому что k ≠ 0.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала найди коэффициент при x, затем посмотри на его знак. Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, функция убывает; если k = 0, функция постоянная.

Частая ошибка — смотреть на число 5 вместо коэффициента при x. Свободный член b показывает, где график пересекает ось Oy, но на монотонность не влияет.

Линейная функция имеет вид y = kx + b, а её график — это прямая, не вертикальная. Значит, чтобы понять, является ли график линейным, нужно проверить две вещи:

1. это именно прямая линия;
2. она не вертикальная.

Разберём каждый вариант:

• A — прямая, заданная двумя точками. Через две разные точки всегда проходит ровно одна прямая. Она не вертикальная, значит это график линейной функции.
• B — парабола. Парабола не является прямой, поэтому это не линейная функция.
• C — вертикальная прямая x = 1. Такая линия не может быть графиком функции y = kx + b, потому что одному значению x соответствовало бы много значений y. Это важная ловушка на ОГЭ.
• D — горизонтальная прямая y = 2. Это тоже линейная функция, только с k = 0: y = 0x + 2.

Итак, линейными являются A и D.

Ответ: A и D.

Как не ошибиться на экзамене: если видите прямую, сразу проверьте, не вертикальная ли она. Вертикальная прямая — не график линейной функции. Кривые линии, ломаные и параболы тоже не подходят. Горизонтальная прямая — это частный случай линейной функции, потому что коэффициент k может быть равен нулю.

Для линейной функции y = kx + b знак коэффициента k определяет, как ведёт себя график при движении слева направо.

Если прямая поднимается слева направо, то функция возрастает, а значит k > 0.

Если прямая опускается слева направо, то функция убывает, а значит k < 0.

Если прямая горизонтальная, то функция постоянна, и тогда k = 0.

В этой задаче прямая идёт слева направо вниз, значит значение y уменьшается при увеличении x. Следовательно, коэффициент наклона k отрицательный.

Ответ: k < 0.

Частая ошибка на ОГЭ — смотреть не на направление прямой, а на то, где она расположена выше или ниже оси. Это неверно: знак k зависит именно от наклона, а не от положения графика. Ещё одна ошибка — путать k и b: коэффициент b отвечает за пересечение с осью Oy, но на знак наклона не влияет.

Полезный алгоритм для таких заданий: 1) смотрим, возрастает или убывает прямая; 2) если возрастает — пишем k > 0; 3) если убывает — пишем k < 0; 4) если горизонтальная — k = 0. Такой способ помогает быстро и без вычислений получить балл на экзамене.

Линейная функция имеет общий вид y = ax + b, где a и b — числа. Это означает, что:

• переменная x должна быть только в первой степени;
• x не должно быть в знаменателе;
• не должно быть корней, квадратов, произведений переменных и других более сложных выражений.

Проверим варианты.

A. y = 2x - 5. Здесь x стоит в первой степени, коэффициент при x равен 2, свободный член равен -5. Это как раз вид y = ax + b, значит, формула линейная.

B. y = x^2 + 1. Здесь переменная возведена во вторую степень, а линейная функция допускает только первую степень. Это не линейная функция.

C. y = 4/x + 3. Здесь x находится в знаменателе. Такая формула не имеет вида ax + b, значит, она не линейная.

D. y = 3x + 1/x. Это сумма линейного выражения и дробного члена 1/x. Из-за деления на x функция не является линейной.

Следовательно, правильный ответ — только вариант A.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: сначала посмотрите, есть ли у формулы вид ax + b. Если да — это линейная функция. Если x в знаменателе, под корнем, в квадрате или формула содержит несколько “нестандартных” частей, то это уже не линейная функция.

Частая ошибка: думать, что функция без свободного члена не подходит. Это неверно. Например, y = 5x — тоже линейная функция, потому что её можно записать как y = 5x + 0.

Точка пересечения графика с осью Oy всегда лежит на оси Oy. А для всех точек на оси Oy абсцисса равна 0. Это главный факт, который нужно помнить в таких заданиях ОГЭ.

У нас дана функция y = 5x - 7. Чтобы найти ординату точки пересечения с осью Oy, подставляем x = 0:

y = 5 · 0 - 7 = -7.

Значит, ордината точки пересечения графика с осью Oy равна -7.

Почему это работает? Для линейной функции вида y = kx + b при x = 0 получаем y = b. То есть ордината точки пересечения с осью Oy — это просто свободный член функции.

Частая ошибка: некоторые ученики подставляют не 0, а другое число, или путают ось Oy с осью Ox. Напомним: на оси Oy всегда x = 0, а на оси Ox всегда y = 0.

Ответ: -7.

В линейной функции y = kx + b параметр b — это ордината точки пересечения графика с осью y. Это главный факт, который нужно помнить на ОГЭ.

Посмотрим на каждую прямую:

• 1) график пересекает ось y выше начала координат. Значит, ордината точки пересечения положительна, то есть b > 0.
• 2) график проходит через начало координат. Тогда ордината точки пересечения равна 0, то есть b = 0.
• 3) график пересекает ось y ниже начала координат. Значит, ордината отрицательна, то есть b < 0.

Следовательно, положителен коэффициент b у прямой 1.

Правильный ответ: 1.

Как решать такие задания быстро:

1. Найди, где прямая пересекает ось y.
2. Сравни эту точку с нулём: выше — значит b > 0, ниже — b < 0, в начале координат — b = 0.
3. Не обращай внимание на наклон прямой: он связан с коэффициентом k, а не с b.

Типичная ошибка: многие смотрят, идёт прямая вверх или вниз, и по этому пытаются определить знак b. Это неверно. Наклон говорит о знаке k, а знак b определяется только по пересечению с осью y.

Чтобы заполнить таблицу значений линейной функции, нужно для каждого значения x подставить его в формулу и аккуратно вычислить результат. Здесь дана функция f(x) = 2x - 3.

Рассмотрим все аргументы по порядку.

1) x = -2

Подставляем в формулу: f(-2) = 2·(-2) - 3 = -4 - 3 = -7.

2) x = 0

f(0) = 2·0 - 3 = 0 - 3 = -3.

3) x = 3

f(3) = 2·3 - 3 = 6 - 3 = 3.

4) x = 5

f(5) = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7.

Значит, по порядку получаем набор: -7, -3, 3, 7.

Правильный ответ: этот набор значений.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала подставляйте x в формулу, а не пытайтесь “угадать” значения;
• не забудьте про свободный член (здесь это −3);
• следите за знаками: при x = -2 получаем 2·(-2), а это отрицательное число;
• записывайте ответы строго в том же порядке, что и аргументы в таблице.

Такие задания на ОГЭ проверяют базовый навык: быстро и без ошибок находить значение линейной функции по формуле. Если действовать по одному и тому же алгоритму, такие задачи решаются очень быстро и дают лёгкие баллы.

Нужно найти значения функции по формуле f(x) = -2x + 3 для каждого указанного аргумента. Это типичное задание ОГЭ на подстановку: в формулу вместо x подставляют заданное число и считают аккуратно по порядку действий.

Вычислим по шагам:

• При x = -1: f(-1) = -2·(-1) + 3 = 2 + 3 = 5.
• При x = 0: f(0) = -2·0 + 3 = 0 + 3 = 3.
• При x = 2: f(2) = -2·2 + 3 = -4 + 3 = -1.
• При x = 4: f(4) = -2·4 + 3 = -8 + 3 = -5.

Значит, в таблицу нужно получить последовательность 5, 3, -1, -5 в том же порядке, что и аргументы.

Почему это работает: линейная функция имеет вид ax + b. Чтобы найти значение функции, мы просто подставляем конкретное число вместо x. Коэффициент -2 умножается на аргумент, а затем прибавляется свободный член 3.

Частые ошибки:

• забывают про знак минус и считают -2·(-1) как -2, хотя произведение двух отрицательных чисел положительное;
• не прибавляют свободный член 3;
• ошибаются в порядке ответов и записывают значения не по тем аргументам;
• теряют знаки при вычислении отрицательных чисел.

Совет для ОГЭ: всегда сначала отдельно вычисляйте произведение ax, потом добавляйте b. Если аргументов несколько, удобно делать короткую таблицу: слева x, справа f(x). Это помогает не перепутать значения и быстро получить верный ответ.