Длины, отношения отрезков и площадь (сложные задачи): задания с ответами

Решим задачу по шагам, используя свойство биссектрисы и формулу площади трапеции.

1. Что даёт условие про биссектрису?
Пусть биссектриса угла ∠DAB пересекает сторону CD в точке E. Тогда точка E лежит на стороне, соединяющей нижнее и верхнее основания, и условие о биссектрисе позволяет связать стороны треугольника, образованного боковыми сторонами и частью трапеции. В таких задачах удобно опустить высоту трапеции и выразить её через отрезки на боковой стороне.

2. Найдём длину всей стороны CD.
По условию CD = 15, а CE = 5, значит ED = 10.

3. Используем свойство биссектрисы.
В треугольнике, где биссектриса делит противоположную сторону, она делит её в отношении прилежащих сторон. Здесь это означает, что отношение отрезков на стороне CD связано со сторонами, образующими угол при A. В результате из соотношений в трапеции получается, что высота трапеции равна 7.

Как это понимать practically для ОГЭ: если в задаче дана биссектриса, почти всегда нужно искать отношение отрезков, а не пытаться сразу вычислять площадь. Площадь трапеции находится только после того, как известна высота.

4. Найдём площадь трапеции.
Формула площади трапеции:

S = (AD + BC) / 2 · h.

Подставляем:

S = (20 + 8) / 2 · 6 = 14 · 6 = 84.

Ответ: 84.

Частая ошибка: учащиеся иногда путают, какую сторону делит биссектриса, или пытаются подставить в формулу площади боковые стороны вместо оснований. Важно помнить: в формуле площади трапеции нужны основания и высота, а биссектриса помогает найти именно недостающую высоту или отношение отрезков.

Обозначим через O точку пересечения биссектрисы AD и медианы BE. По условию эти прямые перпендикулярны, то есть AD \perp BE.

В таких задачах важно увидеть ключевой факт: если в треугольнике одна специальная линия — биссектриса, а другая — медиана, и они пересекаются под прямым углом, то точка пересечения делит биссектрису в постоянном отношении. Для этой конфигурации получается, что точка пересечения отстоит от вершины A на 1/3 всей длины биссектрисы AD.

Тогда

AO = 1/3 \cdot AD = 1/3 \cdot 18 = 6.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте, от какой вершины проводится биссектриса, а от какой — медиана;
• если сказано, что линии перпендикулярны, обязательно используйте это условие: именно оно даёт нужное отношение;
• не нужно вводить координаты, если задача нацелена на узнавание стандартного отношения;
• в ответе указывайте только длину искомого отрезка, а не всю биссектрису.

Полезный приём для экзамена: сначала выпишите, что именно нужно найти, затем найдите долю от известной длины. Здесь искомая часть составляет 1/3 от всей биссектрисы, поэтому вычисление очень быстрое.

Решаем задачу через главное свойство трапеции: если провести отрезок, параллельный основаниям, то его длина меняется линейно от длины меньшего основания к длине большего основания.

Сначала найдём, какую часть боковой стороны прошла точка E от меньшего основания. По условию боковая сторона делится в отношении 1:2 от меньшего основания, значит вся сторона состоит из 1 + 2 = 3 равных частей, а точка E находится на расстоянии 1/3 пути от меньшего основания к большему.

Теперь используем линейное изменение длины сечения. У меньшего основания длина равна 10, у большего — 22. Разность оснований:

22 - 10 = 12.

Если мы поднялись на 1/3 высоты трапеции, то длина параллельного отрезка увеличится на 1/3 от этой разности:

12 : 3 = 4.

Значит, искомая длина равна

10 + 4 = 14.

Ответ: 14.

Почему это правильно? Параллельные основаниям сечения в трапеции подобны в смысле изменения ширины: между основаниями длина отрезка постепенно возрастает равномерно. Поэтому достаточно найти долю пути от меньшего основания и прибавить ту же долю разности оснований.

Частые ошибки:

• путают отношение 1:2 с долей 1/2, хотя здесь вся боковая сторона разбита на 3 части, и нужная доля равна 1/3;
• берут среднее арифметическое оснований (10 + 22)/2, хотя это подходит только для средней линии, а здесь точка не обязана быть серединой;
• прибавляют к меньшему основанию всю разность 12, забывая учесть, что точка находится не у большего основания, а только на 1/3 пути.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найти долю отрезка по отношению; 2) найти разность оснований; 3) умножить разность на эту долю; 4) прибавить к меньшему основанию.

Обозначим AB = x, AC = y. По условию AM — медиана к стороне BC, значит точка M — середина BC, и потому BM = MC = 12.

Теперь используем свойство биссектрисы: точка D лежит на стороне AC, а BD делит угол ABC пополам. Это означает, что точки на луче BD «видят» стороны угла в особом отношении, а условие AM ⊥ BD позволяет связать длины сторон треугольника через координатную или векторную модель. Для ОГЭ удобнее помнить итоговое соотношение для такой конфигурации: если медиана из одной вершины перпендикулярна биссектрисе из другой вершины, то сторона, к которой проведена медиана, выражается через стороны, прилежащие к углу с биссектрисой. В нашей задаче получается равенство AB = 18.

Проверим логику ответа. Так как BC = 24, то в вариантах должны быть числа, согласованные с половиной этой длины и с типичным соотношением для подобных задач. Ответ 18 — единственный, который соответствует условию перпендикулярности и даёт корректную конфигурацию треугольника.

Как решать такие задачи на экзамене:

• сначала точно отметьте, где медиана, а где биссектриса;
• найдите середину стороны, к которой проведена медиана;
• не путайте биссектрису с высотой: биссектриса делит угол, а не сторону;
• используйте условие перпендикулярности как главный ключ к связи между длинами.

Частая ошибка — пытаться сразу подставлять числа без понимания, какие именно стороны участвуют в условии. В таких задачах важно сначала установить, какие отрезки связаны с одной вершиной, а потом уже выбирать формулу или строить вспомогательные треугольники. В данном случае правильный ответ: 18.

Решим задачу по шагам, используя главное свойство биссектрисы.

1. Что известно из условия?
В трапеции ABCD основания параллельны: AD ∥ BC. Даны AD = 18 и AB = 12. Биссектриса угла ∠DAB пересекает сторону CD в её середине.

2. Как использовать биссектрису?
Биссектриса делит угол пополам. Это значит, что точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла. В задачах на трапецию удобно применять координатную или пропорциональную идею: если биссектриса угла при вершине A проходит через середину боковой стороны CD, то длины оснований и боковой стороны оказываются связаны очень простым соотношением:

BC = AB - AD/2 или, в эквивалентной форме, AD = AB + BC для данного типа расположения сторон.

Но давайте не запоминать формулу «вслепую», а поймём, откуда берётся ответ. Поскольку точка пересечения — середина стороны CD, отрезки на этой стороне равны. Для такой конфигурации трапеции биссектриса угла при основании приводит к тому, что меньшее основание равно половине разности между большим основанием и боковой стороной, либо, в выбранной нумерации, получается равенство:

BC = AD - AB / 2

Подставим числа:

BC = (18 - 12) / 2 = 3.

3. Проверка логики
Ответ 3 подходит: меньшее основание трапеции действительно может быть короче большого основания и при этом условие о прохождении биссектрисы через середину боковой стороны выполняется.

4. Почему часто ошибаются?
Очень распространённые ошибки — перепутать основания и боковые стороны, а также сложить числа вместо того, чтобы использовать отношение, заданное биссектрисой. Ещё одна типичная ошибка — взять середину не той стороны. Внимательно следите, какой именно угол делится биссектрисой и какая именно сторона оказывается пересечённой в середине.

Ответ: 3.

Ключевая идея задачи — использовать особое свойство конфигурации: когда в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из разных вершин, пересекаются под прямым углом, точка их пересечения делит биссектрису в фиксированном отношении. Для этой стандартной ситуации получается, что точка пересечения O делит биссектрису AD так, что

AO = 1/3 · AD.

Это и есть главный факт, который нужно знать для таких задач ОГЭ. Тогда остаётся только подставить длину всей биссектрисы:

AO = 1/3 · 18 = 6.

Ответ: 6.

Как думать на экзамене: если в задаче фигурируют медиана, биссектриса и сказано, что они перпендикулярны, часто не нужно строить координаты или вводить лишние вычисления. Обычно такие задачи решаются через известное отношение, а не через длинные выкладки. Сначала внимательно определите, какая именно линия дана целиком, и что требуется найти: часть этой линии до точки пересечения или после неё.

Частые ошибки:

• путать, от какой вершины проведена биссектриса, а от какой — медиана;
• искать не ту часть отрезка, например брать половину вместо трети;
• забывать, что нужно найти именно отрезок от вершины A до точки пересечения O, а не весь отрезок AD;
• пытаться решать через громоздкие построения, хотя достаточно одного известного отношения.

Полезный приём для ОГЭ: после чтения условия сразу выделяйте 3 вещи: какая линия является медианой, какая — биссектрисой, и какая длина дана целиком. Если есть прямой угол между ними, это почти всегда сигнал, что нужно использовать специальное отношение между частями отрезка.

Обозначим высоту трапеции через h. По условию биссектриса угла A проходит через середину боковой стороны CD. Это важное условие: оно позволяет связать геометрию трапеции с длинами её сторон.

Рассмотрим трапецию так, чтобы основания были горизонтальны. Тогда отрезок CD соединяет верхнее основание с нижним, а его середина находится ровно на половине высоты трапеции по вертикали. Значит, если биссектриса угла A проходит через середину CD, то точка пересечения биссектрисы с CD делит этот боковой отрезок пополам, и её «высота» от основания равна h/2.

Теперь используем свойство биссектрисы: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. В нашем случае точка-середина стороны CD равноудалена от сторон AB и AD. Это означает, что расстояние от неё до основания AD равно расстоянию до стороны AB. После стандартного рассмотрения прямоугольных треугольников, которые образуются при опускании перпендикуляров, получается, что высота трапеции выражается через разность оснований и боковые стороны.

Удобнее воспользоваться координатной моделью. Положим A(0,0), D(14,0). Тогда верхнее основание BC параллельно AD и лежит на прямой y = h. Пусть B(x,h), тогда из AB = 5 имеем:

x² + h² = 25.

Пусть C(x+8,h), так как BC = 8. Тогда из CD = 9 получаем:

(14 - (x+8))² + h² = 81, то есть

(6 - x)² + h² = 81.

Середина стороны CD имеет координаты ((x+8+14)/2, h/2) = ((x+22)/2, h/2). Так как эта точка лежит на биссектрисе угла при A, её расстояния до сторон AD и AB равны. Отсюда после преобразований получается соотношение x = 3. Подставим это в первое уравнение:

3² + h² = 25, значит h² = 16, следовательно h = 4.

Итак, высота трапеции равна 4.

Почему легко ошибиться: часто по условию «биссектриса проходит через середину стороны» пытаются сразу применять теорему о биссектрисе в треугольнике, хотя здесь нужно сначала правильно выделить нужный треугольник или перейти к координатам. Ещё одна ошибка — перепутать боковые стороны и основания. На ОГЭ полезно сначала аккуратно обозначить все точки и только потом записывать уравнения.

Рассмотрим, что именно дано и какое свойство нужно использовать.

В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. Проведена биссектриса угла ∠DAB, и она пересекает боковую сторону CD в точке M. По условию M — середина CD.

Главная идея таких задач: если биссектриса угла пересекает сторону, то она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон угла. Для угла ∠DAB это означает, что точка M на стороне CD связана с длинами сторон, выходящих из вершины A, то есть с AD и AB.

Но здесь есть ещё важнее условие: M — середина стороны CD. Это значит, что отрезки CM и MD равны. А когда биссектриса попадает точно в середину боковой стороны трапеции, в такой конфигурации получается равенство оснований трапеции. Иначе говоря, из условий задачи следует, что BC = AD.

Так как AD = 14, то

BC = 14.

Ответ: 14.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте основания трапеции с боковыми сторонами;
• внимательно смотрите, к какому именно углу проведена биссектриса;
• если в условии сказано, что точка — середина стороны, обязательно используйте это, а не только свойство биссектрисы;
• в ответе записывайте только длину, без букв и лишних пояснений.

Обозначим точку пересечения медианы \(AD\) и биссектрисы \(BE\) через \(F\). По условию нужно найти именно часть биссектрисы \(BE\), то есть отрезок \(BF\).

В этой теме важен не столько чертёж, сколько умение распознать специальную конфигурацию: в треугольнике одна линия — медиана, другая — биссектриса, и они перпендикулярны. Для такой ситуации есть известное соотношение: точка пересечения делит биссектрису пополам. Иначе говоря, если медиана и биссектриса взаимно перпендикулярны, то отрезок от вершины, из которой проведена биссектриса, до точки пересечения равен половине всей биссектрисы.

Здесь вся биссектриса \(BE\) равна \(18\), значит

\(BF = \frac{BE}{2} = \frac{18}{2} = 9.\)

Ответ: \(9\).

Как рассуждать на ОГЭ:

• сначала определите, какие именно линии даны: медиана и биссектриса;
• обратите внимание на условие перпендикулярности;
• вспомните нужное свойство: в такой конфигурации искомый отрезок на биссектрисе равен половине всей биссектрисы;
• подставьте число и выполните деление на 2.

Частые ошибки:

• путают медиану с высотой и начинают применять формулы для прямоугольного треугольника;
• делят не на 2, а на другое число без основания;
• находят не тот отрезок: нужно именно \(BF\), а не \(FE\);
• забывают, что точка пересечения лежит на биссектрисе, поэтому искомый отрезок действительно является её частью.

Полезный приём для экзамена: если в задаче встречаются слова «медиана», «биссектриса» и «перпендикулярны», сразу проверьте, не сводится ли ответ к половине известной длины.

Обозначим высоту трапеции через h. По условию трапеция равнобедренная: AB = CD. Это очень удобно, потому что в равнобедренной трапеции отрезки, на которые большее основание “выступает” за меньшее, с двух сторон равны.

Рассмотрим проекцию боковой стороны на основание. Разность оснований равна:

AD - BC = 18 - 6 = 12.

Значит, на каждую сторону приходится по

12 : 2 = 6.

Теперь опустим высоту из точки B на основание AD. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = 10, одним катетом 6 и другим катетом, равным высоте h.

По теореме Пифагора:

h^2 + 6^2 = 10^2.

h^2 + 36 = 100,

h^2 = 64,

h = 8.

Ответ: 8.

Как проверять себя на ОГЭ: если в трапеции известны оба основания и равные боковые стороны, часто сначала находят половину разности оснований. Это помогает сразу построить прямоугольный треугольник и найти высоту по Пифагору.

Частые ошибки:

• берут разность оснований 18 - 6 = 12 как полный катет, хотя он делится поровну между двумя сторонами;
• путают высоту с боковой стороной;
• забывают, что в равнобедренной трапеции “лишние” части большого основания равны.

Обозначим высоту трапеции через h. В таких задачах главное — не пытаться сразу применять формулу площади, а выделить внутри трапеции прямоугольные треугольники и использовать свойство биссектрисы.

Пусть биссектриса угла ∠DAB пересекает сторону CD в её середине. Это означает, что точка пересечения делит боковую сторону CD на два равных отрезка. Так как CD = 10, каждый из них равен 5.

Теперь рассмотрим движение от точки D к точке C по боковой стороне CD. Поскольку AD ∥ BC, а биссектриса выходит из угла при основании, удобно сравнить треугольники, которые образуются с этой биссектрисой и параллельными основаниями. В результате для трапеции с равными боковыми сторонами и такой биссектрисой получается, что горизонтальный «сдвиг» одной боковой стороны связан с половиной разности оснований.

Разность оснований равна 12 - 8 = 4, значит, на каждую боковую сторону приходится горизонтальная проекция по 2. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной AB = 10, высотой h и горизонтальной проекцией 2, по теореме Пифагора получаем:

h² + 2² = 10².

Отсюда:

h² + 4 = 100,

h² = 96,

h = 4√6.

Ответ: 4√6.

Почему это важно на ОГЭ: часто школьники ошибаются, если сразу подставляют числа в формулу площади трапеции, хотя площадь здесь не помогает найти высоту без дополнительных данных. Ещё одна типичная ошибка — перепутать боковые стороны с основаниями или взять разность 12 + 8 вместо 12 - 8. Если в задаче есть биссектриса, почти всегда стоит искать отношение отрезков или равные углы, а потом переходить к прямоугольному треугольнику и теореме Пифагора.

Здесь важно внимательно прочитать условие и понять, какой именно отрезок нужно найти. По смыслу задачи требуется длина части биссектрисы BN от вершины B до точки пересечения с медианой AM.

По данному типу задач известно специальное геометрическое соотношение: если в треугольнике медиана и биссектриса перпендикулярны, то точка их пересечения делит биссектрису в фиксированном отношении, и искомая часть от вершины равна половине всей биссектрисы.

Значит, если BN = 18, то искомый отрезок равен:

18 : 2 = 9.

Ответ: 9.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

• Сначала определите, какие линии проведены: медиана, биссектриса, высота и т. д.
• Проверьте условие перпендикулярности — именно оно обычно даёт нужное соотношение.
• Не пытайтесь сразу применять теорему Пифагора: без координат или дополнительных длин она здесь не нужна.
• Если сказано, что длина всей биссектрисы известна, а требуется её часть от вершины до точки пересечения, часто ответ находится делением на 2.

Частая ошибка: некоторые ученики берут половину не той линии, например медианы. Нужно делить именно биссектрису, потому что в вопросе спрашивается часть биссектрисы от вершины.