Иррациональные выражения: задания с ответами

Сначала нужно упростить корень. Это важный первый шаг в заданиях на иррациональные выражения: если под корнем есть полный квадрат, выражение можно сократить.

Имеем: \(72 = 36 \cdot 2\), значит

\(\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\).

Теперь подставим это в выражение:

\((\sqrt{72}-3)^2 = (6\sqrt{2}-3)^2\).

Дальше применяем формулу квадрата разности:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Здесь \(a=6\sqrt{2}\), \(b=3\). Тогда

\((6\sqrt{2}-3)^2 = (6\sqrt{2})^2 - 2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3 + 3^2\).

Вычисляем по частям:

\((6\sqrt{2})^2 = 36\cdot 2 = 72\),

\(-2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3 = -36\sqrt{2}\),

\(3^2 = 9\).

Получаем:

\(72 - 36\sqrt{2} + 9 = 81 - 36\sqrt{2}\).

Итак, правильное значение — \(81 - 36\sqrt{2}\).

Как не ошибиться на ОГЭ: 1) сначала упростите корень; 2) внимательно используйте формулу квадрата разности; 3) не забывайте, что \((\sqrt{72})^2 = 72\), а не \(\sqrt{72}\). Частая ошибка — забыть второй член \(-2ab\) или ошибиться со знаком. Если аккуратно выполнить оба шага, задача решается быстро и без сложных вычислений.

Чтобы найти выражение, равное дроби с корнем в знаменателе, нужно рационализировать знаменатель, то есть избавиться от корня внизу.

Дано выражение:

\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}\).

Знаменатель имеет вид суммы \(a+b\), поэтому нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{5}-2\):

\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}\).

Тогда получаем:

\(\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\).

В знаменателе применяется формула разности квадратов:

\((\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1\).

Значит, дробь упрощается до

\(\sqrt{5}-2\).

Это и есть искомое равное выражение.

Ответ: \(\sqrt{5}-2\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не умножайте только знаменатель — нужно умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение.
• Если в знаменателе сумма корня и числа, берите разность тех же слагаемых: \(\sqrt{5}-2\).
• Следите за знаками: самая частая ошибка — написать \(\sqrt{5}+2\) вместо \(\sqrt{5}-2\) или потерять минус при раскрытии скобок.

Быстрая проверка полезна на экзамене: если после рационализации в знаменателе получилось число \(1\), значит, преобразование выполнено верно.

Сначала посмотрим на подкоренные выражения. В обоих корнях есть общий множитель 5:

\(\sqrt{12\cdot 5}+\sqrt{27\cdot 5}\).

Используем свойство корней: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), если \(a\ge 0\), \(b\ge 0\). Тогда

\(\sqrt{12\cdot 5}=\sqrt{12}\cdot\sqrt{5}\), а \(\sqrt{27\cdot 5}=\sqrt{27}\cdot\sqrt{5}\).

Теперь разложим числа 12 и 27 на множители с полным квадратом:

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\),

\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}\).

Подставим это в выражение:

\(\sqrt{12\cdot 5}+\sqrt{27\cdot 5}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}+3\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\).

Теперь оба слагаемых одинаковые по корню, значит их можно сложить как обычные подобные слагаемые:

\((2+3)\sqrt{3}\sqrt{5}=5\sqrt{15}.\)

Итак, правильный ответ: \(5\sqrt{15}\).

Почему это важно для ОГЭ: в заданиях на корни часто нужно сначала упростить каждое слагаемое отдельно, а уже потом складывать. Нельзя сразу складывать подкоренные числа: \(\sqrt{12\cdot 5}+\sqrt{27\cdot 5}\ne\sqrt{39\cdot 5}\).

Частые ошибки:

• пытаться сложить числа под корнем напрямую;
• не заметить, что \(12\) и \(27\) можно разложить на произведение с полным квадратом;
• остановиться на ответе \(\sqrt{60}+\sqrt{135}\), хотя выражение можно упростить дальше.

Проверка: \(\sqrt{60}=2\sqrt{15}\), \(\sqrt{135}=3\sqrt{15}\), значит сумма действительно равна \(5\sqrt{15}\).

Чтобы найти равное выражение, нужно избавиться от корня в знаменателе. Для этого используют умножение на сопряжённое выражение.

Для знаменателя \(\sqrt{5}+2\) сопряжённое — это \(\sqrt{5}-2\). Умножим дробь на \(\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}\), то есть на 1, поэтому значение дроби не изменится:

\[\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}.\]

В знаменателе получаем разность квадратов:

\[(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1.\]

Тогда вся дробь равна

\[\sqrt{5}-2.\]

Значит, правильный ответ — \(\sqrt{5}-2\).

Почему это важно на ОГЭ: часто ученики умножают только знаменатель или забывают поменять знак во втором слагаемом. Ещё одна типичная ошибка — раскрыть скобки неверно: нужно помнить формулу \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Если увидеть в знаменателе сумму или разность с корнем, сразу ищите сопряжённое выражение — это самый быстрый способ получить рациональный знаменатель и не потерять баллы.

Здесь нужно заметить, что перед нами сопряжённые выражения: одно отличается от другого только знаком между одинаковыми слагаемыми. Для таких произведений удобно сразу применять формулу разности квадратов:

(a-b)(a+b)=a²-b².

В нашем случае можно взять a=3, b=\sqrt{5}. Тогда

(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3²-(\sqrt{5})²=9-5=4.

Ответ: 4.

Почему это работает? Если раскрыть скобки по распределительному закону, то средние слагаемые взаимно уничтожатся: 3\cdot\sqrt{5} и -3\cdot\sqrt{5}. Поэтому и получается разность квадратов.

Частые ошибки:

• путают знак и пишут сумму квадратов вместо разности;
• возводят в квадрат только число 3, но забывают возвести в квадрат корень;
• считают, что (\sqrt{5})²=\sqrt{25}, хотя на самом деле это просто 5.

На ОГЭ полезно сначала узнать формулу по структуре, а уже потом считать. Это экономит время и уменьшает риск ошибки.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n \ne 0.

Проверим каждый вариант.

A. В этой группе есть число \sqrt{5}. Число 5 не является полным квадратом, значит \sqrt{5} — иррациональное. Следовательно, вся группа не подходит.

B. Здесь есть \sqrt{49}, а это 7, то есть целое число. Также -3,75 — конечная десятичная дробь, значит рациональное; 2/9 — обыкновенная дробь, тоже рациональное. Вся группа состоит только из рациональных чисел.

C. В этой группе есть 0,2(7) — периодическая десятичная дробь, а значит она рациональна, но есть и \sqrt{2}. Так как 2 не полный квадрат, \sqrt{2} иррационально. Значит, вариант не подходит.

D. Число \sqrt{18} можно упростить: \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. Так как \sqrt{2} иррационально, то и 3\sqrt{2} иррационально. Значит, этот вариант тоже не подходит.

Ответ: B.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: сначала смотрите на корни. Если под корнем полный квадрат (например, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...), то корень рационален. Если не полный квадрат — корень обычно иррационален. Затем проверяйте дроби и десятичные записи: конечные и периодические дроби — рациональные.

Типичные ошибки: считать любой корень иррациональным, не упрощая его; забывать, что периодическая дробь рациональна; путать \sqrt{18} и \sqrt{16}. На экзамене всегда сначала упрощайте выражение, а потом делайте вывод.

Сначала нужно упростить корень. Число 72 содержит полный квадратный множитель: 72 = 36 \cdot 2. Поэтому

\(\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\).

Подставим это в выражение:

\((\sqrt{72}-3)^2 = (6\sqrt{2}-3)^2\).

Теперь применяем формулу квадрата разности:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Здесь \(a=6\sqrt{2}\), \(b=3\). Тогда

\((6\sqrt{2}-3)^2 = (6\sqrt{2})^2 - 2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3 + 3^2\).

Вычислим по частям:

\((6\sqrt{2})^2 = 36\cdot 2 = 72\),

\(2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3 = 36\sqrt{2}\),

\(3^2 = 9\).

Получаем:

\(72 - 36\sqrt{2} + 9 = 81 - 36\sqrt{2}\).

Это и есть правильное значение выражения.

Почему нельзя сразу возводить в квадрат корень? Частая ошибка — писать \(\sqrt{72}=\sqrt{36+2}\) или считать, что \(\sqrt{72}=36\sqrt{2}\). Нужно помнить: корень из произведения можно разбивать, а корень из суммы — нельзя.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала всегда проверяйте, можно ли вынести из-под корня полный квадрат; затем аккуратно применяйте формулу \((a-b)^2\); в конце обязательно проверьте знаки у среднего члена.

Следовательно, правильный ответ: \(81 - 36\sqrt{2}\).

Нужно выбрать группу, в которой все числа рациональные.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, \(n \neq 0\). К рациональным относятся:

• целые числа;
• обыкновенные дроби;
• десятичные дроби с конечной записью;
• десятичные дроби с периодической записью;
• корни, которые после вычисления дают целое число.

Проверим варианты.

A. \(\sqrt{16}=4\), а 4 — целое число, значит рациональное. Число \(-2,5\) — конечная десятичная дробь, значит рациональное. Дробь \(\frac{7}{9}\) — тоже рациональная. Вся группа состоит только из рациональных чисел.

B. \(\sqrt{5}\) — иррациональное число, потому что 5 не является полным квадратом. Значит, группа не подходит, даже если остальные числа рациональны.

C. \(\sqrt{2}\) — иррациональное число, так как 2 не является полным квадратом. Следовательно, вся группа не является рациональной.

D. \(\sqrt{10}\) — иррациональное число. Кроме того, запись \(0,1010010001\ldots\) — бесконечная непериодическая десятичная дробь, а такая дробь тоже иррациональна. Значит, группа не подходит.

Ответ: A.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда ищите самые простые признаки. Если есть корень, проверьте, является ли подкоренное число полным квадратом. Если есть десятичная дробь, посмотрите, конечная ли она или периодическая. Если дробь бесконечная и без периода, то она иррациональна. Очень частая ошибка — считать, что любой корень иррационален. Это неверно: например, \(\sqrt{16}=4\) — рациональное число.

Используем главное свойство квадратного корня: \(\sqrt{mn}=\sqrt m\cdot\sqrt n\), если \(m\ge 0\) и \(n\ge 0\). В нашем выражении под каждым корнем есть общий множитель 5, поэтому удобно сначала выделить его.

Преобразуем каждое слагаемое отдельно:

\(\sqrt{18\cdot 5}=\sqrt{18}\cdot\sqrt{5}\), а \(18=9\cdot 2\), значит \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2\). Тогда \(\sqrt{18\cdot 5}=3\sqrt2\cdot\sqrt5=3\sqrt{10}\).

Аналогично:

\(\sqrt{8\cdot 5}=\sqrt{8}\cdot\sqrt5\), а \(8=4\cdot 2\), значит \(\sqrt{8}=2\sqrt2\). Тогда \(\sqrt{8\cdot 5}=2\sqrt2\cdot\sqrt5=2\sqrt{10}\).

Теперь складываем однотипные корни:

\(3\sqrt{10}+2\sqrt{10}=5\sqrt{10}\).

Значит, правильный ответ: \(5\sqrt{10}\).

Почему так можно делать? Потому что после преобразования оба слагаемых стали одинаковыми по виду: у них одинаковая иррациональная часть \(\sqrt{10}\). Складывать можно только такие «одинаковые корни», как обычные подобные слагаемые.

Частые ошибки:

• пытаться сложить корни сразу: \(\sqrt{18\cdot 5}+\sqrt{8\cdot 5}\ne\sqrt{26\cdot 5}\);
• забывать вынести полный квадрат из-под корня: из \(18\) нужно выделить \(9\), из \(8\) — \(4\);
• ошибочно писать \(\sqrt{18\cdot 5}=\sqrt{90}=9\sqrt{10}\) — это неверно, потому что \(\sqrt{90}=3\sqrt{10}\), так как \(90=9\cdot 10\).

На ОГЭ удобно действовать по алгоритму: разложить подкоренные числа на множители → вынести полный квадрат → привести подобные корни. Это помогает не терять лёгкие баллы в заданиях на упрощение иррациональных выражений.

Нужно найти выражение, равное дроби с корнем в знаменателе. Главная идея здесь — избавиться от иррациональности в знаменателе с помощью сопряжённого выражения.

Дано:

\(\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\)

К знаменателю \(3+\sqrt{5}\) сопряжённым является выражение \(3-\sqrt{5}\). Если умножить числитель и знаменатель на это сопряжённое выражение, значение дроби не изменится:

\[\dfrac{1}{3+\sqrt{5}} \cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}.\]

Теперь используем формулу разности квадратов:

\[(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4.\]

Получаем:

\[\dfrac{1}{3+\sqrt{5}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{4}.\]

Значит, правильный ответ — A.

Почему остальные варианты неверны:

• B содержит знак \(+\sqrt{5}\) в числителе. Это не результат рационализации данного знаменателя.
• C — это дробь с другим знаменателем. Она не равна исходному выражению: если рационализовать \(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}\), получится совсем другое значение.
• D отличается в 2 раза от правильного ответа, значит, это неэквивалентное выражение.

Частая ошибка на ОГЭ: учащиеся умножают только знаменатель на сопряжённое выражение или забывают, что нужно умножить и числитель, и знаменатель. Тогда значение дроби меняется. Ещё одна типичная ошибка — неверно раскрыть скобки и написать \(9+5\) вместо \(9-5\).

Как быстро проверять себя: после рационализации в знаменателе не должно остаться корня, а ответ должен быть действительно равен исходной дроби. Если получилось выражение вида \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}\), значит, преобразование выполнено верно.

Используем формулу квадрата суммы:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Здесь $a=3$, $b=\sqrt{5}$. Тогда

$(3+\sqrt{5})^2=3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2$.

Вычислим каждую часть:

$3^2=9$, $(\sqrt{5})^2=5$, а $2\cdot 3\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5}$.

Складываем:

$9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}$.

Ответ нужно оставлять точным, без десятичных приближений. Частая ошибка на ОГЭ — забыть средний член $2ab$ или неправильно возвести в квадрат корень: $(\sqrt{5})^2$ обязательно равно $5$, а не $\sqrt{25}$ в записи без упрощения. Проверяйте себя по трём частям формулы: квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение и квадрат второго слагаемого.

Сначала вспомним основное свойство квадратного корня: \(\sqrt{mn}=\sqrt m\cdot\sqrt n\), если \(m\ge 0\) и \(n\ge 0\). Именно это свойство помогает упростить выражения вида \(\sqrt{a\cdot k}+\sqrt{b\cdot k}\).

В нашем примере общий множитель под корнем — число \(5\). Тогда:

\(\sqrt{12\cdot 5}=\sqrt{12}\cdot\sqrt 5\),

\(\sqrt{27\cdot 5}=\sqrt{27}\cdot\sqrt 5\).

Теперь упростим корни с числами 12 и 27:

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt 3\),

\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt 3\).

Подставляем:

\(\sqrt{12\cdot 5}+\sqrt{27\cdot 5}=2\sqrt 3\cdot\sqrt 5+3\sqrt 3\cdot\sqrt 5\).

Теперь оба слагаемых стали однотипными, поэтому можно сложить коэффициенты:

\((2+3)\sqrt 3\sqrt 5=5\sqrt{15}\).

Ответ: \(5\sqrt{15}\).

Как не ошибиться на ОГЭ: не пытайтесь складывать корни “внутри” напрямую, то есть неверно писать \(\sqrt{12\cdot 5+27\cdot 5}\). Сначала нужно вынести общий множитель из-под корня, а затем привести подобные иррациональные слагаемые. Это типичный и очень полезный приём: если под корнями есть общий множитель, постарайтесь его выделить — тогда выражение часто сильно упрощается.