Интервалы, полуинтервалы и отрезки: задания с ответами

Нужно научиться читать интервальную запись и переводить её в геометрический образ на координатной прямой.

Рассмотрим запись [−2; +∞).

1) Число −2 — это левая граница. Квадратная скобка [ означает, что граница включена, то есть точка −2 принадлежит множеству. На рисунке это показывают закрашенной точкой.

2) Знак +∞ показывает, что множество продолжается вправо без конца. Бесконечность нельзя “закрасить” как обычную точку, потому что это не число. Поэтому справа рисуют луч вправо.

Итак, множество состоит из всех чисел, которые не меньше −2: x ≥ −2.

Значит, правильный графический образ — закрашенная точка в −2 и луч вправо.

Почему другие варианты неверны:

• Если в варианте показан луч влево, это уже множество чисел x ≤ −2, а не x ≥ −2.

• Если в точке −2 стоит пустой кружок, это означает, что число −2 не входит в множество, а квадратная скобка говорит об обратном.

• Если изображён конечный отрезок, это тоже ошибка: знак +∞ показывает, что справа конец отсутствует.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала смотри на скобку у конечной границы — круглая или квадратная; затем определяй направление: к +∞ — вправо, к −∞ — влево. Так можно быстро выбрать правильный ответ и не перепутать изображение.

Нужно прочитать запись промежутка и понять, какие точки входят в множество.

Запись [-3; 2] означает отрезок. Квадратные скобки показывают, что обе границы включены: и число -3, и число 2 принадлежат множеству. Все числа между ними тоже входят.

Значит, на числовой прямой это будет закрашенная часть от -3 до 2 с закрашенными (закрытыми) точками на концах.

Теперь разберём варианты:

• Интервал (-3; 2) — неверно, потому что круглая скобка означает, что конец не входит.
• Полуинтервал [-3; 2) или (-3; 2] — неверно, потому что в записи отрезка должны быть включены обе границы.
• Множество x, для которых x < -3 или x > 2 — это уже не отрезок, а объединение двух лучей.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала смотри на скобки. Квадратная скобка = граница входит, круглая = не входит. Если с обеих сторон стоят квадратные скобки, то это всегда отрезок.

Ответ: отрезок [-3; 2].

Нужно перевести запись промежутка в его изображение на координатной прямой. Разберём запись [−2; 3) по частям.

1) Левая граница — это число −2. Квадратная скобка [ означает, что граница входит в промежуток. На прямой это показывают закрашенной точкой в точке −2.

2) Правая граница — это число 3. Круглая скобка ) означает, что граница не входит в промежуток. На прямой это показывают пустой точкой в точке 3.

3) Между числами −2 и 3 нужно выделить все точки промежутка. Значит, между этими двумя точками проводится отрезок линии.

Итак, правильное изображение: закрашенная точка в −2, пустая точка в 3 и выделенный участок между ними.

Полезное правило для ОГЭ: квадратная скобка — точка закрашена, круглая — точка пустая. Частая ошибка — перепутать, какая граница входит в промежуток. Ещё одна ошибка — забыть, что в записи [−2; 3) левая граница включена, а правая нет.

Поэтому правильный ответ — тот вариант, где изображён промежуток [−2; 3) именно с закрашенной точкой слева и пустой точкой справа.

Сначала внимательно читаем рисунок словами. Если на координатной прямой закрашена точка -2 и при этом заштрихована область справа от неё, то это означает: берём все числа, которые не меньше -2.

Запись такого промежутка зависит от двух признаков:

• точка закрашена — граница входит в промежуток, значит нужны квадратные скобки;
• заштриховано вправо — промежуток идёт до плюс бесконечности, а у бесконечности всегда ставят круглую скобку, потому что бесконечность нельзя включить как обычное число.

Значит, правильная запись: [-2; +∞).

Почему другие варианты были бы неверными:

• (-2; +∞) — неверно, потому что при открытой скобке число -2 не входило бы в промежуток, а на рисунке точка закрашена;
• (-∞; -2] — это область слева от -2, а на рисунке закрашено справа;
• [-2; 0) — это отрезок только до 0, а на рисунке область продолжается дальше вправо без границы.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: 1) найди границу; 2) проверь, закрашена ли точка; 3) посмотри, куда идёт штриховка — влево или вправо; 4) подбери скобки. Главное не перепутать направление и не забыть, что у бесконечности всегда стоит круглая скобка.

Нужно внимательно прочитать рисунок на координатной прямой и понять два признака: границы промежутка и включены ли они.

1) Левая граница здесь равна -2, правая — 3.

2) В точке -2 стоит закрашенная точка. Это значит, что число -2 входит в промежуток. Для включённой границы ставят квадратную скобку [.

3) В точке 3 точка не закрашена. Значит, число 3 не входит в промежуток. Для невключённой границы ставят круглую скобку ).

Поэтому запись промежутка такая: [-2; 3).

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала назови числа на концах отрезка, потом отдельно проверь каждую точку: закрашена она или нет. Многие ошибки возникают из-за того, что ученик правильно находит числа, но путает скобки. Помни: закрашенная точка = граница входит, пустая точка = граница не входит.

Дан интервал (-3; +∞). Нужно понять, какие числа в него входят.

Сначала смотрим на левую границу — число -3. Круглая скобка ( означает, что граница не входит в промежуток. Значит, число -3 само по себе не подходит.

Дальше смотрим на знак бесконечности +∞. Бесконечность не является числом и не может быть “включена” в интервал, поэтому справа всегда пишут круглую скобку. Такая запись означает, что берутся все числа, которые больше -3.

Если записать это неравенством, получится: x > -3. На координатной прямой это изображается как пустая точка в -3 и луч вправо.

Разберём варианты:

• A — неверно: здесь сказано “больше или равно -3”, но знак “или равно” был бы при квадратной скобке, а не при круглой.
• B — неверно: это числа меньше -3, то есть луч влево, а у нас луч вправо.
• C — верно: это именно все числа, которые больше -3.
• D — неверно: здесь -3 включено, но в записи (-3; +∞) точка -3 не входит.

Как не потерять балл на ОГЭ: всегда сначала определяйте, входит ли граница по виду скобки. Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит. Если справа стоит бесконечность, это почти всегда луч, а не отрезок.

Сначала внимательно читаем, как отмечены концы промежутка на координатной прямой.

1) Левая граница равна −2,5. Точка закрашена, значит это число входит в промежуток. Для включённой границы используют квадратную скобку слева.

2) Правая граница равна 1,5. Точка незакрашена, значит это число не входит в промежуток. Для невключённой границы используют круглую скобку справа.

3) Так как выделен весь участок между этими числами, запись промежутка будет:

[−2,5; 1,5)

Это и есть правильный ответ.

Как не ошибиться на ОГЭ:

— сначала определяйте, какая граница левая, а какая правая;
— затем смотрите на вид точки: закрашенная = число входит, пустая = не входит;
— помните правило: квадратная скобка означает включение границы, круглая — исключение.

Частая ошибка — перепутать скобки местами или написать границы в неверном порядке. Всегда записывайте сначала меньшее число, потом большее.

Сначала нужно определить, какие числа являются границами промежутка. По условию левая граница — это −2, правая — 3.

Теперь важно посмотреть на вид точек на концах.

• Закрашенная точка означает, что граничное число входит в промежуток.
• Незакрашенная точка означает, что граничное число не входит в промежуток.

Значит, число −2 входит, а число 3 не входит. Поэтому слева ставим квадратную скобку, а справа — круглую скобку.

Получаем промежуток: [−2; 3).

Почему это важно на ОГЭ: очень часто ошибки возникают не в самих числах, а именно в скобках. Если перепутать хотя бы одну из них, ответ будет неверным. Поэтому полезно действовать по короткому алгоритму:

1. Найти левую и правую границы.
2. Проверить, закрашены ли точки на концах.
3. Подобрать скобки: закрашенная — [ ], незакрашенная — ( ).

Ответ: [−2; 3).

Сначала читаем рисунок по шагам, как это делают на ОГЭ.

1. Находим границы промежутка. В условии сказано, что левая граница — это число -2, а правая — число 3. Значит, искомый промежуток лежит между этими числами.

2. Определяем, входят ли границы в промежуток. Если точка закрашенная, то граница включается в промежуток. Если точка пустая, то граница не включается.

Здесь:

• в точке -2 стоит закрашенная точка, значит, число -2 входит в промежуток;
• в точке 3 стоит пустая точка, значит, число 3 не входит в промежуток.

3. Записываем промежуток. В русском обозначении это будет [-2; 3).

Квадратная скобка [ показывает, что число входит в промежуток, а круглая скобка ) — что не входит. Поэтому правильный ответ: [-2; 3).

Почему легко ошибиться:

• часто путают, какая точка что означает: закрашенная — включаем, пустая — не включаем;
• забывают, что запись идёт слева направо: сначала меньшая граница, потом большая;
• ошибаются в скобках: вместо [-2; 3) пишут (-2; 3] или [-2; 3].

Полезный алгоритм для экзамена: 1) найди левую и правую границы; 2) посмотри на точки; 3) выбери скобки; 4) проверь, что левая граница меньше правой.

Разберём запись промежутка [−2; 3) по частям.

Слева стоит квадратная скобка [. Это означает, что левая граница включена, то есть число −2 принадлежит промежутку.

Справа стоит круглая скобка ). Это означает, что правая граница не включена, то есть число 3 не принадлежит промежутку.

Значит, нужны все числа от −2 до 3, причём −2 входит, а 3 не входит. Такое множество на прямой записывают как [−2; 3).

Это и есть полуинтервал: одна граница включена, другая исключена. В ОГЭ важно не перепутать скобки: [ ] — точка входит, ( ) — точка не входит.

Ответ: правильный вариант тот, где указан промежуток [−2; 3).

Как не ошибиться: сначала смотрите на скобки, потом на числа. Многие ученики сначала читают только границы и забывают, что именно скобки определяют, включается ли крайняя точка. Это типичная и очень обидная ошибка, потому что сами числа могут быть верными, а ответ — неверным из-за одной скобки.

Нужно определить, какой геометрический объект задаёт запись [-3; 2].

Главный признак здесь — квадратные скобки с обеих сторон. Это означает, что обе граничные точки -3 и 2 входят в множество. Значит, речь идёт не об интервале, а именно об отрезке.

На числовой прямой это выглядит так: отмечаем точки -3 и 2, а все точки между ними закрашиваем. Так как границы включены, точки -3 и 2 тоже считаются частью ответа.

Проверим типы промежутков:

• (-3; 2) — интервал, концы не входят;
• [-3; 2] — отрезок, оба конца входят;
• [-3; 2) или (-3; 2] — полуинтервалы, входит только один конец.

Значит, правильный ответ — вариант, в котором изображён закрашенный участок от -3 до 2 с закрашенными (включёнными) концами.

Как не ошибиться на ОГЭ: всегда сначала смотри на скобки. Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит. Если квадратные скобки стоят с двух сторон, это отрезок.

Частая ошибка: выбрать рисунок с пустыми кружками на концах. Это было бы неверно, потому что для [-3; 2] обе границы должны быть отмечены как принадлежащие множеству.

Сначала определим, какие значения входят в промежуток, а какие нет.

Закрашенная точка в точке -3 означает, что число -3 включено в промежуток. Для включённой границы в записи используют квадратную скобку слева: [.

Незакрашенная точка в точке 2 означает, что число 2 не включено в промежуток. Для не включённой границы в записи используют круглую скобку справа: ).

Так как выделена вся часть между числами -3 и 2, нужно записать промежуток от -3 до 2, причём слева граница включена, а справа нет:

[-3; 2)

Как не ошибиться на ОГЭ:

• закрашенная точка = граница входит в промежуток;
• незакрашенная точка = граница не входит;
• левая граница пишется первой, правая — второй;
• в русской записи промежутков обычно используют точку с запятой между числами: [-3; 2).

Частые ошибки:

• написать (-3; 2), забыв, что -3 включено;
• написать [-3; 2], ошибочно включив число 2;
• перепутать порядок границ и записать (2; -3], что неверно.

Правильный ответ: [-3; 2).