Метод интервалов и простейшие рациональные неравенства: задания с ответами

Сначала найдём критические точки — значения, при которых выражение обращается в ноль или не имеет смысла.

У нас в числителе и знаменателе есть множитель (x-2). При x=2 дробь не определена, потому что знаменатель равен нулю. При этом это не обычный ноль выражения, а точка разрыва (в таких задачах её обязательно исключают из области определения).

Ещё одна критическая точка — x=4, потому что знаменатель (x-4) тоже обращается в ноль. Значит, и x=4 тоже не входит в область определения.

Теперь посмотрим на интервал (2;4). На этом промежутке:

• x-2 > 0,
• x+1 > 0,
• x-4 < 0.

Множитель (x-2) есть и в числителе, и в знаменателе. Поэтому он сокращается, но точку x=2 нельзя считать обычной точкой графика — она всё равно остаётся исключённой из области определения исходного выражения.

После сокращения знак выражения на интервале (2;4) определяется только выражением \frac{x+1}{x-4}. Так как x+1>0, а x-4<0, то вся дробь отрицательна.

Ответ: на промежутке (2;4) выражение отрицательно.

Почему это важно для ОГЭ: часто ученики ошибаются и думают, что если множитель сократился, то точка x=2 уже не влияет. Это неверно: при решении рациональных неравенств и анализе выражений нужно помнить, что нули знаменателя всегда исключаются, даже если такой множитель есть и в числителе. Ещё одна типичная ошибка — перепутать знак на промежутке и не учесть, что по разные стороны от точки 4 множитель (x-4) меняет знак.

Алгоритм на экзамене: 1) найти нули числителя и знаменателя; 2) отметить их на прямой; 3) выбрать любой тестовый промежуток и определить знак каждого множителя; 4) перемножить знаки и сделать вывод.

Нужно определить знак рационального выражения на заданном промежутке, не подставляя конкретные числа «в лоб», а используя метод интервалов. Это очень типичная задача ОГЭ: сначала находят критические точки, потом смотрят, как меняется знак на каждом промежутке.

1. Найдём критические точки.

Дано выражение

\(\dfrac{(x+1)(x-2)^2}{(x-4)(x+3)}\).

Критические точки — это:

• нули числителя: \(x=-1\) и \(x=2\);
• нули знаменателя: \(x=4\) и \(x=-3\).

Именно они разбивают числовую ось на промежутки. На промежутке \((2;4)\) знак может быть постоянным, потому что критических точек внутри него нет.

2. Разберём, меняется ли знак при переходе через точки.

Важно помнить правило:

• если множитель имеет нечётную степень, то при переходе через его ноль знак меняется;
• если степень чётная, то знак не меняется.

Здесь множитель \((x-2)^2\) имеет чётную степень, значит при прохождении через \(x=2\) знак не меняется.

3. Определим знак на промежутке \((2;4)\).

Возьмём любое число из этого промежутка, например \(x=3\), и посмотрим на знаки множителей:

• \(x+1=4>0\),
• \((x-2)^2=(1)^2>0\),
• \(x-4=-1<0\),
• \(x+3=6>0\).

Тогда знак всей дроби:

\(+\cdot +\,/\,( -\cdot + ) = -\).

Значит, на промежутке \((2;4)\) выражение отрицательное.

Правильный ответ: отрицательный знак, то есть «−».

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1. Разложи выражение на множители.
2. Найди нули числителя и знаменателя.
3. Определи, где есть чётные и нечётные степени.
4. Выбери любой удобный промежуток и проверь знак одного числа из него.

Частые ошибки:

• забывают, что точки, где знаменатель равен нулю, нельзя включать в ответ;
• считают, что при любой критической точке знак обязательно меняется;
• не замечают чётную степень, из-за чего ошибаются в анализе знаков.

В этой задаче внутри промежутка \((2;4)\) критических точек нет, поэтому достаточно проверить один удобный x. Это самый быстрый способ не потерять баллы на экзамене.

Нужно восстановить неравенство по готовому ответу на числовой прямой. В таких заданиях важно внимательно смотреть на границы промежутков и на то, включается ли точка в решение.

Дано множество решений: (−∞; −1) ∪ [2; +∞).

Это означает, что подходят все числа, которые меньше −1, а также все числа, которые не меньше 2.

Теперь переведём это на язык неравенств:

• промежуток (−∞; −1) соответствует неравенству x < −1;
• промежуток [2; +∞) соответствует неравенству x ≥ 2.

Так как на прямой объединены два промежутка, нужно записать два неравенства через союз «или»:

x < −1 или x ≥ 2.

Если записывать это в виде одного рационального неравенства, то удобно выбрать выражение, которое меняет знак в точках −1 и 2. Например, произведение (x+1)(x−2). Проверим знаки:

• на промежутке x < −1 оба множителя отрицательны, произведение положительно;
• на промежутке −1 < x < 2 множители разных знаков, произведение отрицательно;
• на промежутке x > 2 оба множителя положительны, произведение положительно.

Значит, искомое неравенство можно записать так:

(x+1)(x−2) ≥ 0.

Почему знак ≥, а не >? Потому что точка 2 включена в решение: она отмечена как принадлежащая промежутку квадратной скобкой. Точка −1 не включена, поэтому там должна быть строгая граница, а у выражения это соответствует тому, что в точке x = −1 произведение равно нулю, но промежуток с этой точкой не входит в решение только для отдельного ответа; в объединении решения граница задаётся через знак неравенства по всему выражению.

Правильный ответ: (x+1)(x−2) ≥ 0.

Частые ошибки:

• перепутать объединение промежутков с пересечением;
• не заметить, что квадратная скобка означает включение точки;
• вместо ≥ 0 поставить > 0 и потерять граничную точку 2;
• ошибиться в знаках множителей и получить неверные промежутки.

На ОГЭ удобно действовать так: сначала выписать все границы, затем определить, какие точки включены, потом восстановить знак на промежутках. Это помогает не терять лёгкие баллы в заданиях на метод интервалов.

Решим задачу спокойно и по шагам, как это нужно делать на ОГЭ.

1. Сначала упростим выражение, но не забудем про область определения.

Дано:

\[f(x)=\frac{(x-1)^2(x+3)}{(x-2)(x+3)}.\]

Здесь есть общий множитель \((x+3)\) в числителе и знаменателе. Если его сократить, получится

\[f(x)=\frac{(x-1)^2}{x-2},\]

но важно помнить: сокращать можно только там, где знаменатель не равен нулю. Поэтому исходное выражение не определено при \(x=2\) и при \(x=-3\).

Это очень частая ошибка: ученик сокращает дробь и забывает, что точка \(x=-3\) всё равно остаётся недопустимой. Даже если после сокращения она исчезла из формулы, из области определения она никуда не делась.

2. Проверим каждое утверждение.

Утверждение 1: при \(x=-4\) значение выражения отрицательно.

Подставим \(x=-4\) в упрощённую форму:

\[f(-4)=\frac{(-4-1)^2}{-4-2}=\frac{(-5)^2}{-6}=\frac{25}{-6}<0.\]

Значит, первое утверждение верно.

Утверждение 2: точка \(x=-3\) является точкой разрыва выражения.

Да, потому что в исходной дроби при \(x=-3\) знаменатель обращается в ноль. Следовательно, выражение не определено в этой точке, а значит, это точка разрыва.

Важно: даже если множитель \((x+3)\) сократился, точка \(-3\) остаётся исключённой. Это типичный экзаменационный момент.

Значит, второе утверждение верно.

Утверждение 3: на промежутке \((1;2)\) выражение положительно.

Рассмотрим знак дроби

\[\frac{(x-1)^2}{x-2}.\]

На промежутке \((1;2)\):

• \((x-1)^2>0\), потому что \(x\neq 1\) и квадрат положителен;
• \(x-2<0\), потому что \(x<2\).

Положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательное. Значит, на \((1;2)\) выражение отрицательно, а не положительно.

Следовательно, третье утверждение неверно.

3. Ответ.

Верны утверждения 1 и 2. Поэтому ответ: 12.

Как не потерять баллы в таких задачах:

• сначала всегда находите точки, где числитель равен нулю, а знаменатель равен нулю;
• не забывайте, что нули знаменателя — это точки, где выражение не определено;
• если есть общий множитель в числителе и знаменателе, после сокращения всё равно помните про «выколотую» точку;
• для определения знака на промежутке удобно смотреть знак каждого множителя отдельно.

Сначала найдём критические точки выражения: это нули числителя и точки, в которых знаменатель равен нулю.

Для функции

\(f(x)=\dfrac{(x+2)(x-1)^2}{x-3}\)

критические точки: \(x=-2\), \(x=1\), \(x=3\).

• При \(x=-2\) числитель обращается в ноль, значит значение выражения равно 0.
• При \(x=1\) тоже числитель равен 0, но множитель \((x-1)^2\) имеет чётную кратность.
• При \(x=3\) знаменатель равен 0, значит это точка разрыва, и она не входит в область определения.

Теперь разберём, меняется ли знак при прохождении через каждую точку.

• Множитель \((x+2)\) имеет кратность 1, значит при переходе через \(-2\) знак меняется.
• Множитель \((x-1)^2\) имеет чётную кратность 2, значит при переходе через \(1\) знак не меняется.
• Знаменатель \((x-3)\) имеет кратность 1, поэтому при переходе через \(3\) знак тоже меняется.

Удобно начать с любого промежутка и определить знак, подставляя, например, число справа от всех критических точек: возьмём \(x=4\).

Тогда

\((4+2)>0,\quad (4-1)^2>0,\quad (4-3)>0,\)

значит на промежутке \((3,+\infty)\) знак положительный.

Дальше идём влево:

• через \(x=3\) знак меняется, значит на \((1,3)\) знак отрицательный;
• через \(x=1\) знак не меняется, значит на \((-2,1)\) знак тоже отрицательный;
• через \(x=-2\) знак меняется, значит на \((-∞,-2)\) знак положительный.

Итак, схема знаков такая:

\(+\;\big|\;0\;\big|\;-\;\big|\;0\;\big|\;-\;\big|\;\text{разрыв}\;\big|\;+\)

по интервалам \((-\infty,-2),\ (-2,1),\ (1,3),\ (3,+\infty)\).

Правильный ответ — тот вариант, где стоит последовательность \(+,-,-,+\).

Частые ошибки:

• считать, что в точке \(x=1\) знак должен меняться, хотя кратность чётная;
• забыть, что \(x=3\) — это не ноль функции, а точка разрыва;
• пытаться включить точки \(-2\), \(1\) или \(3\) в промежутки, хотя знаки рассматривают именно на интервалах.

На ОГЭ удобно запомнить правило: нечётная кратность — знак меняется, чётная — не меняется. Это помогает быстро проверять таблицу знаков без лишних вычислений.

Сначала находим критические точки: это нули числителя и точки, где знаменатель равен нулю.

1) Числитель \((x-1)(x+2)=0\) при \(x=1\) и \(x=-2\). В этих точках дробь равна нулю.

2) Знаменатель \(x-3=0\) при \(x=3\). Эта точка не входит в область определения, значит это точка разрыва.

Теперь разбиваем числовую прямую на интервалы: \((-∞,-2)\), \((-2,1)\), \((1,3)\), \((3,∞)\).

Определим знак выражения на каждом интервале. Удобно взять по одной точке из каждого промежутка, но в ОГЭ часто быстрее рассуждать по знакам множителей.

Проверим знаки:

• на \((-∞,-2)\): \((x-1)<0\), \((x+2)<0\), \((x-3)<0\), значит числитель положительный, знаменатель отрицательный, дробь отрицательна;
• на \((-2,1)\): \((x-1)<0\), \((x+2)>0\), \((x-3)<0\), значит числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, дробь положительна;
• на \((1,3)\): \((x-1)>0\), \((x+2)>0\), \((x-3)<0\), значит дробь отрицательна;
• на \((3,∞)\): все три множителя положительны, значит дробь положительна.

Нам нужно \(>0\), то есть берём интервалы, где выражение положительно: \((-2,1)\) и \((3,∞)\).

Почему точки \(-2\) и \(1\) не включаем? Потому что неравенство строгое \(>0\), а в этих точках дробь равна нулю. Почему \(3\) не включаем? Потому что знаменатель обращается в ноль, а делить на ноль нельзя.

Ответ: \((-2,1)\cup(3,∞)\).

Типичная ошибка — забыть исключить точку разрыва \(x=3\) или включить корни числителя при строгом знаке. В задачах на метод интервалов всегда сначала выписывают нули числителя и знаменателя, а потом аккуратно отмечают, где выражение положительно или отрицательно.

Сначала упростим выражение, но очень важно делать это аккуратно: сокращать можно только общий множитель, а точки, в которых знаменатель обращается в ноль, всё равно остаются запрещёнными.

Имеем:

f(x)=\dfrac{(x+2)^3(x-1)}{(x+2)^2(x-4)}=\dfrac{(x+2)(x-1)}{x-4}, но при этом x=-2 и x=4 исключаются из области определения. Точка x=1 — ноль числителя.

Значит, критические точки: -2, 1, 4. Они разбивают числовую ось на интервалы:

(-∞; -2), (-2; 1), (1; 4), (4; +∞).

Теперь определим знак на каждом промежутке. Удобно помнить правило: при переходе через точку, где множитель входит в нечётной степени, знак меняется; при чётной степени — не меняется. Здесь после сокращения у множителя (x+2) осталась степень 1, у (x-1) тоже степень 1, у (x-4) в знаменателе степень 1, значит знак будет меняться при переходе через каждую из критических точек.

Проверим знак на одном из промежутков, например на (4; +∞). Возьмём x=5: (5+2)(5-1)/(5-4)=7·4/1>0. Значит на (4; +∞) знак +.

Тогда при переходе через x=4 знак меняется на противоположный: на (1; 4) будет −. Ещё один переход через x=1 снова меняет знак: на (-2; 1) будет +. И, наконец, при переходе через x=-2 знак меняется ещё раз: на (-∞; -2) будет −.

Итак, схема знаков такая:

(-∞; -2) — ; (-2; 1) + ; (1; 4) − ; (4; +∞) +

Правильный вариант — тот, где именно такая последовательность знаков.

Частые ошибки:

• забывают, что x=-2 остаётся запрещённой точкой после сокращения;
• включают точки разрыва в ответ как обычные нули;
• ошибочно считают, что при кратности 2 знак должен меняться;
• не проверяют хотя бы один промежуток подстановкой удобного числа.

На ОГЭ полезно действовать по алгоритму: 1) упростить дробь, 2) выписать все критические точки, 3) отметить их на оси, 4) выбрать знак на одном промежутке, 5) переходить по соседним промежуткам, меняя или не меняя знак в зависимости от кратности. Это помогает быстро и без лишних вычислений найти верную таблицу.

Решаем неравенство методом интервалов.

1. Находим критические точки. Числитель x−3 обращается в ноль при x=3 — это нуль числителя. Знаменатель x+1 обращается в ноль при x=-1 — это точка разрыва, её нельзя включать в ответ.

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы: (−∞;−1), (−1;3), (3;+∞).

3. Определяем знак дроби на каждом интервале. Удобно взять по одной точке из каждого промежутка:

• при x=−2: (−2−3)/(−2+1)=−5/−1>0, значит на (−∞;−1) знак «плюс»;
• при x=0: (0−3)/(0+1)=−3/1<0, значит на (−1;3) знак «минус»;
• при x=4: (4−3)/(4+1)=1/5>0, значит на (3;+∞) знак «плюс».

4. Выбираем интервалы, где дробь положительна. Так как нужно >0, берём только положительные промежутки: (−∞;−1) ∪ (3;+∞).

5. Почему точки не входят в ответ? Точка x=−1 не входит, потому что в ней знаменатель равен нулю и выражение не определено. Точка x=3 тоже не входит, потому что требуется строгое неравенство >0, а в нуле числителя значение дроби равно нулю, не положительно.

Частые ошибки:

• включить точку x=−1 в ответ — это неверно;
• взять только один из двух положительных интервалов;
• перепутать знак дроби на интервалах.

Правильный ответ: (−∞;−1) ∪ (3;+∞).

Рассмотрим неравенство

\[\frac{(x-1)(x+2)}{(x-3)^2} \ge 0.\]

Чтобы решить его методом интервалов, сначала находим критические точки — те значения, при которых выражение равно нулю или не существует.

• Числитель равен нулю, если \(x-1=0\) или \(x+2=0\). Получаем точки \(x=1\) и \(x=-2\).
• Знаменатель равен нулю, если \((x-3)^2=0\), то есть при \(x=3\). Это точка разрыва, и она никогда не входит в ответ.

Теперь делим числовую прямую точками \(-2\), \(1\) и \(3\) на интервалы:

\((-\infty,-2)\), \((-2,1)\), \((1,3)\), \((3,+\infty)\).

Дальше определяем знак дроби на каждом промежутке. Удобно помнить важный факт: квадрат в знаменателе \((x-3)^2\) всегда положителен при \(x\ne 3\). Значит, знак всей дроби определяется только числителем \((x-1)(x+2)\).

Исследуем знак числителя:

• на \((-\infty,-2)\): оба множителя отрицательны? Проверим на примере \(x=-3\): \((-4)(-1)=+\), значит дробь положительна;
• на \((-2,1)\): возьмём \(x=0\): \((-1)(2)=-\), значит дробь отрицательна;
• на \((1,3)\): возьмём \(x=2\): \((1)(4)=+\), значит дробь положительна;
• на \((3,+\infty)\): возьмём \(x=4\): \((3)(6)=+\), значит дробь положительна.

Теперь выбираем, где выполняется условие \(\ge 0\): подходят промежутки, где знак «плюс», а также точки, в которых дробь равна нулю, если они не запрещены знаменателем.

Точки \(x=-2\) и \(x=1\) входят в ответ, потому что обращают числитель в ноль, а знаменатель в этих точках не равен нулю. Точка \(x=3\) не входит, так как в ней знаменатель равен нулю.

Итак, решение:

\[(-\infty,-2] \cup [1,3) \cup (3,+\infty).\]

Частая ошибка — забыть, что при неравенстве \(\ge 0\) нули числителя нужно включать в ответ, если в этих точках выражение определено. Ещё одна типичная ошибка — пытаться включить точку разрыва \(x=3\). Этого делать нельзя никогда.

Рассмотрим неравенство

\(\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3} \ge 0\).

Здесь удобно применять метод интервалов: нужно найти критические точки, разбить числовую ось на интервалы и определить знак выражения на каждом из них.

1. Находим критические точки.

Числитель равен нулю, когда:

\((x-1)(x+2)=0\), то есть \(x=1\) и \(x=-2\).

Знаменатель равен нулю, когда \(x-3=0\), то есть \(x=3\). Эта точка не входит в область допустимых значений, потому что делить на ноль нельзя.

Значит, числовая ось делится на интервалы:

\((-∞,-2)\), \((-2,1)\), \((1,3)\), \((3,+∞)\).

2. Определяем знак на каждом интервале.

Удобно проверить знак в каждой области по множителям.

Возьмём, например, точки:

• на \((-∞,-2)\) возьмём \(x=-3\): числитель \((-)\cdot(-)=+\), знаменатель \((-)= -\), вся дробь \(-\);
• на \((-2,1)\) возьмём \(x=0\): числитель \((-)·(+)= -\), знаменатель \((-)= -\), дробь \(+\);
• на \((1,3)\) возьмём \(x=2\): числитель \((+)·(+)= +\), знаменатель \((-)= -\), дробь \(-\);
• на \((3,+∞)\) возьмём \(x=4\): числитель \((+)·(+)= +\), знаменатель \((+)= +\), дробь \(+\).

Нам нужны те промежутки, где выражение неотрицательно, то есть \(\ge 0\): это интервалы, где знак \(+\), а также точки, в которых числитель равен нулю.

3. Учитываем граничные точки.

Точки \(x=-2\) и \(x=1\) делают числитель равным нулю, значит значение дроби там равно 0. Так как стоит знак \(\ge 0\), эти точки включаем.

Точку \(x=3\) включать нельзя, потому что знаменатель обращается в ноль.

Итак, решение:

\(x\in[-2;1]\cup(3;+\infty)\).

Ответ: именно это множество решений нужно выбрать среди вариантов.

Частые ошибки в ОГЭ:

• забывают исключить точку, где знаменатель равен нулю;
• не включают корни числителя при знаке \(\ge\) или \(\le\);
• ошибаются в знаке на одном из промежутков, если не проверяют каждый интервал отдельно;
• путают знак дроби: важно учитывать знак и числителя, и знаменателя.

Полезный алгоритм для экзамена: нули числителя и знаменателя → интервалы → знаки → ответ с учётом включения/исключения точек.

Рассмотрим неравенство

\[\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} \ge 0.\]

Это рациональное неравенство, поэтому удобно решать его методом интервалов.

Шаг 1. Найдём критические точки.

Критические точки — это значения, при которых числитель равен нулю или знаменатель равен нулю:

• \(x-2=0\Rightarrow x=2\),
• \(x+1=0\Rightarrow x=-1\),
• \(x-4=0\Rightarrow x=4\) — эта точка не входит в область определения, потому что в знаменателе ноль.

Разбиваем числовую прямую на интервалы: \((-∞,-1)\), \((-1,2)\), \((2,4)\), \((4,+∞)\).

Шаг 2. Определим знак выражения на каждом интервале.

Удобно рассуждать по знакам множителей.

• На \((-∞,-1)\): \(x-2<0\), \(x+1<0\), \(x-4<0\). Тогда числитель положительный, а знаменатель отрицательный, значит дробь отрицательная.
• На \((-1,2)\): \(x-2<0\), \(x+1>0\), \(x-4<0\). Числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, значит дробь положительная.
• На \((2,4)\): \(x-2>0\), \(x+1>0\), \(x-4<0\). Числитель положительный, знаменатель отрицательный, значит дробь отрицательная.
• На \((4,+∞)\): все три множителя положительны, значит дробь положительная.

Шаг 3. Учтём знак неравенства.

Нужно \(\ge 0\), то есть берём промежутки, где выражение положительно, и точки, где оно равно нулю.

Выражение равно нулю при \(x=-1\) и \(x=2\), потому что в этих точках числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю.

Точку \(x=4\) брать нельзя, так как выражение не определено.

Ответ:

\[[-1,2]\cup(4,+\infty).\]

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте исключать точки, где знаменатель равен нулю;
• если знак нестрогий \(\ge\) или \(\le\), то нули числителя можно включать;
• проверяйте знак на каждом интервале, а не только в одной точке «на глаз»;
• удобно делать таблицу знаков — это снижает риск ошибки.

Рассмотрим неравенство

\(\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-3)^2} > 0\).

Для метода интервалов сначала находим критические точки:

• нули числителя: \(x=2\) и \(x=-1\);
• точка разрыва знаменателя: \(x=3\), потому что \((x-3)^2=0\) при \(x=3\).

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы:

\((-∞,-1)\), \((-1,2)\), \((2,3)\), \((3,+∞)\).

Теперь определим знак дроби на каждом интервале. Важно помнить, что квадрат в знаменателе всегда положителен при \(x\neq 3\), поэтому знак дроби определяется только числителем \((x-2)(x+1)\).

Проверим знаки числителя:

• если \(x<-1\), оба множителя отрицательны? Проверим на примере \(x=-2\): \((-2-2)(-2+1)=(-4)\cdot(-1)=+\), значит дробь положительна;
• если \(-1<x<2\), например \(x=0\): \((0-2)(0+1)=(-2)\cdot 1=-\), значит дробь отрицательна;
• если \(2<x<3\), например \(x=2.5\): \((0.5)(3.5)=+\), значит дробь положительна;
• если \(x>3\), например \(x=4\): \((2)(5)=+\), значит дробь положительна.

Нам нужны положительные значения, потому что знак неравенства строгий: \(>0\).

Значит, подходят интервалы \((-∞,-1)\), \((2,3)\) и \((3,+∞)\).

Точки \(x=-1\) и \(x=2\) не входят в ответ, потому что в этих точках числитель равен нулю, а строгое неравенство \(>0\) ноль не допускает. Точка \(x=3\) тоже не входит, потому что там знаменатель обращается в ноль, то есть выражение не определено.

Ответ: \((-∞,-1)\cup(2,3)\cup(3,+∞)\).

Как не потерять балл на ОГЭ: всегда отдельно отмечайте нули числителя и точки разрыва знаменателя. При строгих знаках \(>\), \(<\) граничные точки не включаются. Если в знаменателе стоит квадрат, его удобно считать положительным на всех допустимых значениях, и тогда знак дроби проще определять по числителю.