Вписанные многоугольники и описанная окружность: задания с ответами

Рассмотрим свойства, которые здесь нужно использовать.

1) ABCD — трапеция, значит AB ∥ CD. Тогда углы при боковой стороне AD являются односторонними внутренними и в сумме дают 180°:
∠A + ∠D = 180°.

Из условия ∠A = 68°, значит
∠D = 180° − 68° = 112°.

2) Теперь используем, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность. У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°:
∠B + ∠D = 180°.

Подставим найденный угол ∠D = 112°:
∠B = 180° − 112° = 68°.

Но можно заметить более короткий путь: в вписанной трапеции она обязательно равнобедренная, поэтому углы при одном основании равны. Значит ∠A = ∠B, и сразу получаем ∠B = 68°.

Ответ: 68°.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте свойства трапеции и вписанного четырёхугольника.
• Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, а углы при каждом основании равны.
• Если такой факт забыли, всегда можно решать через два шага: сначала найти угол при боковой стороне через 180°, потом применить свойство вписанного четырёхугольника.
• Проверяйте, не получилось ли у вас одно и то же число для соседних углов, если они должны быть односторонними: в трапеции такие углы обычно не равны, а дают 180°.

Для равностороннего треугольника существует очень важная формула связи между стороной a и радиусом описанной окружности R:

R = a / √3.

Если в задаче нужно найти сторону, формулу надо преобразовать:

a = R·√3.

Теперь подставим данное значение радиуса:

a = 4√3 · √3.

Так как √3 · √3 = 3, получаем:

a = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12 см.

Почему это работает? У равностороннего треугольника центр описанной окружности, центр вписанной окружности и центр тяжести совпадают. Поэтому для него есть специальная короткая формула, которую полезно запомнить для ОГЭ.

Частые ошибки:

• путают радиус описанной окружности с радиусом вписанной окружности;
• используют формулы для произвольного треугольника вместо формулы для равностороннего;
• забывают, что при умножении √3 · √3 = 3.

Если запомнить формулу a = R√3, такие задачи решаются за несколько секунд.

Для таких задач нужно помнить одну важную формулу для описанной окружности треугольника:

R = a / (2·sin A),

где a — сторона, лежащая напротив угла A, а R — радиус описанной окружности.

В условии дана сторона AB = 10 см и угол ∠C. Сторона AB как раз лежит напротив угла C, значит можно сразу подставлять в формулу:

R = 10 / (2 · 0{,}8).

Сначала вычислим знаменатель: 2 · 0{,}8 = 1{,}6.

Тогда

R = 10 / 1{,}6 = 6{,}25.

Ответ: 6,25 см.

Почему это важно на ОГЭ? Задачи такого типа обычно решаются в одно действие, если сразу узнать, какая сторона лежит напротив данного угла. Частая ошибка — подставить не тот угол или забыть деление на 2 в формуле. Ещё одна ошибка — перепутать радиус описанной окружности с радиусом вписанной окружности. Чтобы не потерять балл, всегда проверяйте два шага: 1) сторона действительно напротив нужного угла; 2) в формуле есть множитель 2 в знаменателе.

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Это ключевой факт задачи.

1) Так как AB — диаметр описанной окружности, то AB = 10 см, а радиус равен 5 см. Но для решения нам важнее другое: любой угол, который опирается на диаметр, является прямым.

2) Значит, угол ACB — прямой. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, а сторона AB — его гипотенуза.

3) Теперь применяем теорему Пифагора:

AB² = AC² + BC²

Подставим числа:

10² = 6² + BC²

100 = 36 + BC²

BC² = 64

BC = 8

Итак, длина стороны BC равна 8 см.

Почему часто ошибаются: некоторые ученки берут радиус 5 см вместо диаметра 10 см и пытаются применять его как сторону треугольника. Это неверно. Если сказано, что центр окружности лежит на стороне треугольника, сначала надо понять: эта сторона — диаметр, а не радиус.

Как действовать на ОГЭ: сначала находите сторону-диаметр, потом определяете прямой угол, затем применяете теорему Пифагора. Это стандартный и очень быстрый алгоритм.

Ключевая идея здесь очень важная для ОГЭ: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности. Это следует из свойства: прямой угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

1) Найдём гипотенузу AB. Радиус окружности равен 5, значит диаметр равен 2R = 10. Следовательно, AB = 10.

2) Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AC² + BC² = AB².

Подставим известные значения:

6² + BC² = 10².

36 + BC² = 100,

BC² = 64,

BC = 8.

Ответ: 8.

Частые ошибки в таких задачах:

• путают радиус и диаметр и берут гипотенузу равной 5 вместо 10;
• забывают, что в теореме Пифагора работают квадраты сторон, а не сами стороны;
• получают неверный ответ, если сразу пытаются вычитать катет из гипотенузы: так делать нельзя.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала определить, что треугольник прямоугольный, затем вспомнить связь гипотенузы с диаметром окружности, и только потом применять теорему Пифагора. Так вы быстро и без лишних вычислений найдёте ответ.

Обозначим радиус описанной окружности через R, а высоту равностороннего треугольника — через h. В таких задачах важно помнить связь между элементами равностороннего треугольника и его описанной окружностью.

Для равностороннего треугольника существует удобная формула:

R = a / √3,

где a — сторона треугольника. Тогда

a = R√3.

Теперь используем формулу высоты равностороннего треугольника:

h = a√3 / 2.

Подставим вместо a выражение через радиус:

h = (R√3)·√3 / 2 = 3R/2.

Подставляем R = 8:

h = 3·8 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Почему это важно на ОГЭ: многие путают радиус описанной окружности с радиусом вписанной окружности. Здесь нужен именно радиус описанной окружности, поэтому формула получается h = 3R/2. Если запомнить эту связь, такие задачи решаются очень быстро.

Частая ошибка: сначала находят сторону, но забывают правильно вычислить высоту, или подставляют формулу для вписанной окружности. Проверяйте: если треугольник равносторонний, то высота всегда больше радиуса описанной окружности в 1,5 раза.

Для правильного треугольника есть важная формула связи стороны a и радиуса R описанной окружности:

R = a / √3.

Нам нужно найти сторону, значит, формулу надо преобразовать:

a = R·√3.

Подставим R = 4 см:

a = 4·√3 = 4√3 см.

Итак, правильный ответ: 4√3 см.

Почему именно так? У правильного треугольника все стороны равны, а центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от всех вершин. Для такого треугольника радиус описанной окружности связан со стороной не как в произвольном треугольнике, а по специальной формуле.

Типичная ошибка — перепутать описанную и вписанную окружности. Если использовать неверную формулу, можно получить 4/√3 или 12, но это не подходит для описанной окружности правильного треугольника.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Узнать, что треугольник правильный.
2. Вспомнить формулу R = a/√3.
3. Выразить сторону: a = R√3.
4. Подставить число и аккуратно вычислить.

Такой алгоритм помогает не терять лёгкие баллы в заданиях на окружности и правильные многоугольники.

Ключевой факт для этой темы такой: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Значит, радиус описанной окружности — это расстояние от центра до любой вершины, а оно равно половине гипотенузы.

В задаче гипотенуза AB = 18. Тогда

R = AB / 2 = 18 / 2 = 9.

Ответ: 9.

Почему это верно? Если треугольник прямоугольный, то окружность, проходящая через все его вершины, имеет центр в середине гипотенузы. Это удобное специальное свойство позволяет находить радиус без дополнительных вычислений по сторонам или углам.

Частые ошибки:

• путают гипотенузу с катетом;
• пытаются применять сложные формулы для произвольного треугольника, хотя здесь есть простое свойство;
• забывают, что радиус — это именно половина гипотенузы, а не вся гипотенуза.

На ОГЭ такие задачи лучше решать в одно действие: сначала определить, что треугольник прямоугольный, затем сразу вспомнить формулу R = c / 2, где c — гипотенуза.

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника удобно использовать формулу

\(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\),

где \(a\) — сторона треугольника, лежащая напротив угла \(\alpha\), а \(R\) — радиус описанной окружности.

В задаче дана сторона \(BC = 6\sqrt{2}\). Она лежит напротив угла \(A = 45^\circ\), значит можно сразу подставить эти значения в формулу:

\(R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2\sin 45^\circ}\).

Теперь вспомним, что \(\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем:

\(R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6\).

Ответ: \(6\).

Почему это работает: формула связывает сторону и противолежащий ей угол через радиус описанной окружности. Это один из самых коротких способов решения таких задач на ОГЭ.

Частые ошибки:

• берут не тот угол — важно, чтобы угол был против данной стороне;
• забывают делить на 2 в формуле;
• ошибаются в значении синуса стандартного угла;
• не сокращают корни аккуратно.

Полезный приём для экзамена: если даны одна сторона и противолежащий ей угол, сразу вспоминайте формулу \(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\). Это позволяет быстро получить ответ без лишних построений.

Для равностороннего треугольника есть две очень важные формулы:

1) радиус описанной окружности: R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}, где a — сторона треугольника;

2) высота равностороннего треугольника: h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

В задаче дан радиус описанной окружности: R = 4 см. Сначала выразим сторону треугольника:

a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.

Теперь найдём высоту:

h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\cdot 3}{2} = 6 см.

Ответ: 6 см.

Как рассуждать на ОГЭ: если сказано, что треугольник равносторонний и дана описанная окружность, нужно вспомнить связь именно с радиусом описанной окружности, а не с вписанной. Это самая частая ошибка. Ещё одна типичная ошибка — перепутать высоту со стороной треугольника.

Короткий алгоритм: 1) найти сторону через радиус описанной окружности; 2) подставить сторону в формулу высоты; 3) аккуратно упростить корни.

Такой способ позволяет быстро и без лишних вычислений получить верный ответ.

Используем формулу радиуса описанной окружности треугольника:

R = a / (2·sin α),

где a — сторона, лежащая напротив угла α.

В нашей задаче стороне BC = 8 противолежит угол ∠A = 30°, значит подставляем именно эти данные:

R = 8 / (2·sin 30°).

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда:

R = 8 / (2·1/2) = 8 / 1 = 8.

Ответ: 8.

Почему это важно понимать: часто в таких задачах путают, какой угол нужно брать. Формула работает только для противолежащего угла, то есть угла напротив данной стороны. Если взять соседний угол, ответ будет неверным.

Ещё одна частая ошибка — забыть множитель 2 в знаменателе. Поэтому удобно запомнить формулу целиком: R = a / (2·sin α).

На экзамене такие задачи решаются быстро: сначала находите сторону и противолежащий ей угол, затем подставляете их в формулу и вычисляете синус стандартного угла.

Ключевая идея здесь очень простая: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Это одно из самых важных свойств темы «Вписанные многоугольники и описанная окружность».

В задаче сказано, что трапеция ABCD вписана в окружность. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности, и четырёхугольник является вписанным. Тогда углы ∠A и ∠C — противоположные, а значит:

∠A + ∠C = 180°.

Подставим известное значение:

68° + ∠C = 180°

Теперь находим неизвестный угол:

∠C = 180° - 68° = 112°.

Ответ: 112°.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала проверьте, что четырёхугольник вписан в окружность.
2. Вспомните правило: противоположные углы дополняют друг друга до 180°.
3. Составьте простое уравнение вида x + известный угол = 180°.
4. Вычтите известный угол из 180°.

Частые ошибки:

• путают противоположные углы со смежными;
• забывают, что свойство работает именно для вписанного четырёхугольника;
• ошибочно прибавляют угол к 180° вместо вычитания.

Чтобы не потерять балл, всегда сначала отмечайте на чертеже, какие углы противоположные. В этой задаче это ∠A и ∠C, значит ответ находится сразу по формуле 180° - 68°.