Неравенства: задания с ответами

Рассмотрим неравенство $(x-2)(x+1)\le 0$.

Это произведение двух линейных множителей. Такой вид удобен тем, что сначала можно найти, при каких значениях переменной каждый множитель обращается в ноль:

$x-2=0$ при $x=2$,

$x+1=0$ при $x=-1$.

Эти числа делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty ,-1)$, $(-1,2)$ и $(2,\infty )$.

Теперь определим знак произведения на каждом промежутке. Удобно взять по одному числу из каждого промежутка:

• если $x<-1$, например $x=-2$, то $(-2-2)(-2+1)=(-4)(-1)>0$;
• если $-1<x<2$, например $x=0$, то $(0-2)(0+1)=-2<0$;
• если $x>2$, например $x=3$, то $(3-2)(3+1)=4>0$.

Нам нужно, чтобы произведение было $\le 0$, то есть отрицательным или равным нулю. Значит, подходит промежуток, где выражение отрицательно, а также точки, в которых оно равно нулю: это $[-1,2]$.

Ответ: $[-1,2]$.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала находите нули каждого множителя — это границы промежутков.
• При знаке $\le$ или $\ge$ не забывайте включать корни в ответ.
• Если произведение двух множителей, удобно не раскрывать скобки, а сразу исследовать знаки на числовой прямой.
• Частая ошибка — выбрать промежутки, где произведение положительно, хотя нужно $\le 0$.

Здесь удобно применить формулу разности квадратов:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Сначала посмотрим на выражение \((x-3)^2-16\). Оно уже почти записано в нужном виде: первая часть — это квадрат двучлена, а число 16 тоже можно представить как квадрат числа:

\(16=4^2\).

Тогда получаем:

\((x-3)^2-16=(x-3)^2-4^2\).

Теперь применяем формулу разности квадратов, где

\(a=x-3\), \(b=4\).

Тогда:

\((x-3)^2-4^2=((x-3)-4)((x-3)+4)\).

Упрощаем скобки:

\((x-3)-4=x-7\),

\((x-3)+4=x+1\).

Итог:

\((x-3)^2-16=(x-7)(x+1)\).

Почему это важно для ОГЭ: такие задания проверяют умение замечать структуру выражения, а не раскрывать скобки «в лоб». Если вы сразу видите форму \(a^2-b^2\), то решаете быстро и без лишних вычислений.

Частые ошибки:

• забывают, что 16=4^2, и пишут неверные множители;
• теряют сдвиг внутри скобок: вместо \((x-3)\) ошибочно берут просто \(x\);
• перепутывают знаки: пишут \((x-3-4)(x-3-4)\), хотя при разности квадратов должны быть два разных множителя;
• не проверяют ответ умножением назад.

Проверка: \((x-7)(x+1)=x^2-6x-7\), а \((x-3)^2-16=x^2-6x+9-16=x^2-6x-7\). Совпадает.

Здесь используется формула разности квадратов:

\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).

В нашем выражении можно выделить:

\((x-4)^2-9=(x-4)^2-3^2\), потому что \(9=3^2\).

Теперь применяем формулу:

\((x-4)^2-3^2=((x-4)-3)((x-4)+3)\).

Упростим скобки:

\((x-4)-3=x-7\),

\((x-4)+3=x-1\).

Итак, получаем:

\((x-4)^2-9=(x-7)(x-1)\).

Почему это важно на ОГЭ: такие выражения часто нужно быстро узнавать без долгого раскрытия скобок. Если вы сначала раскроете квадрат, а потом снова будете пытаться разложить, легко потерять время и сделать ошибку в знаках. Гораздо надёжнее сразу увидеть разность квадратов.

Частые ошибки:

• забывают, что \(9=3^2\), и не приводят выражение к виду разности квадратов;
• путают знаки в ответе, например пишут \((x-1)(x+7)\);
• ошибочно считают, что \((x-4)^2-9=(x-4-9)^2\), но это неверно: здесь не разность внутри квадрата, а разность двух квадратов.

Проверка: если раскрыть \((x-7)(x-1)\), получим \(x^2-8x+7\). А если раскрыть исходное выражение, то \((x-4)^2-9=x^2-8x+16-9=x^2-8x+7\). Значит, разложение верно.

Правильный ответ: \((x-7)(x-1)\).

Сначала приведём подобные слагаемые, чтобы увидеть общий множитель:

6x + 12 - 2x^2 - 4x = -2x^2 + 2x + 12.

Теперь вынесем общий множитель -2:

-2x^2 + 2x + 12 = -2(x^2 - x - 6).

Остаётся разложить квадратный трёхчлен x^2 - x - 6. Нужно найти два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это -3 и 2. Поэтому:

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).

Тогда всё выражение равно:

-2(x - 3)(x + 2).

Это и есть правильное разложение на множители. В ОГЭ важно не терять знаки: очень частая ошибка — забыть, что при вынесении -2 все знаки внутри скобок меняются. Ещё одна типичная ошибка — остановиться после вынесения общего множителя и не разложить выражение до конца. В заданиях на преобразование в произведение обычно нужно получить именно произведение множителей, а не оставить ответ в виде суммы. Полезный приём самопроверки: раскройте скобки обратно и убедитесь, что получается исходное выражение.

Рассмотрим неравенство $\frac{-5}{x^2-1}\ge 0$.

Шаг 1. Определим знак числителя. Числитель равен $-5$, это отрицательное число и оно не зависит от $x$. Значит, знак дроби полностью определяется знаком знаменателя, но с учетом того, что числитель отрицательный.

Шаг 2. Найдём, где знаменатель равен нулю. Решаем уравнение $x^2-1=0$. Получаем $x^2=1$, откуда $x=\pm 1$. Эти точки нельзя включать в ответ, потому что в них знаменатель обращается в ноль, а делить на ноль нельзя.

Шаг 3. Определим знак дроби на промежутках. Разбиваем числовую прямую точками $-1$ и $1$ на три промежутка:

• $x<-1$,
• $-1<x<1$,
• $x>1$.

Знаменатель $x^2-1$ положителен при $-1<x<1$ и отрицателен при $x<-1$ или $x>1$. Так как числитель отрицательный, то дробь будет неотрицательной тогда, когда знаменатель отрицательный.

Значит, подходят промежутки $x<-1$ и $x>1$.

Шаг 4. Записываем ответ. Множество решений:

$(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$.

Частая ошибка — включать точки $-1$ и $1$ в ответ. Этого делать нельзя, потому что в этих точках выражение не определено. Ещё одна ошибка — выбрать центральный промежуток, не учитывая, что числитель отрицательный. При решении таких задач всегда сначала находите нули знаменателя, а потом определяйте знак дроби на каждом промежутке.

Рассмотрим неравенство \(\dfrac{5}{x^2-4x+3} \ge 0\).

1. Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен обращаться в ноль. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).

Значит, \(x\neq 1\) и \(x\neq 3\).

2. Определим знак дроби. Числитель равен \(5\), а это положительное число. Поэтому знак дроби определяется только знаком знаменателя. Чтобы дробь была \(\ge 0\), при положительном числителе знаменатель должен быть положительным.

Итак, нужно решить неравенство:

\((x-1)(x-3) > 0\).

3. Найдём промежутки, где произведение положительно. Нули множителей: \(x=1\) и \(x=3\). Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

• \((-∞;1)\)
• \((1;3)\)
• \((3;+\infty)\)

Проверим знак на каждом промежутке:

— при \(x=0\): \((0-1)(0-3)=(-1)\cdot(-3)>0\), значит на \((-∞;1)\) знак положительный;
— при \(x=2\): \((2-1)(2-3)=1\cdot(-1)<0\), значит на \((1;3)\) знак отрицательный;
— при \(x=4\): \((4-1)(4-3)=3\cdot1>0\), значит на \((3;+\infty)\) знак положительный.

Подходят промежутки, где знаменатель положителен, то есть:

\((-∞;1)\cup(3;+\infty)\).

4. Почему скобки круглые? Точки \(1\) и \(3\) нельзя включать в ответ, потому что в этих точках знаменатель равен нулю, а дробь не определена. Это очень частая ошибка на ОГЭ: ученики иногда включают корни знаменателя, если видят знак \(\ge\) или \(\le\). Но для дробей точки разрыва никогда не входят в множество решений.

Ответ: \((-∞;1)\cup(3;+\infty)\).

Как не потерять балл на экзамене: всегда сначала выписывайте ОДЗ, потом определяйте знак дроби, и только после этого записывайте ответ. Для дроби с постоянным положительным числителем достаточно исследовать знак знаменателя.

Решим неравенство по стандартному алгоритму: сначала перенесём всё в одну часть, затем разложим на множители и исследуем знаки.

Имеем:

$(x-2)^2 < 3(x-2)$

Перенесём правую часть влево:

$(x-2)^2 - 3(x-2) < 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-2)$:

$(x-2)((x-2)-3) < 0$

Получаем:

$(x-2)(x-5) < 0$

Критические точки: $x=2$ и $x=5$. Они делят числовую прямую на три промежутка:

1) $(-\infty,2)$
2) $(2,5)$
3) $(5,+\infty)$

Произведение двух линейных множителей отрицательно тогда, когда множители разных знаков. Для произведения $(x-2)(x-5)$ это происходит между корнями, то есть на промежутке $(2,5)$.

Так как знак строгий «< 0», сами точки $2$ и $5$ не входят в ответ.

Ответ: $(2;5)$.

Почему это важно на ОГЭ: такие задания часто решаются именно через разложение на множители. Если забыть вынести общий множитель, можно сильно усложнить себе задачу. Ещё одна типичная ошибка — включать границы в ответ, хотя здесь неравенство строгое.

Полезный приём: если после преобразования получилось произведение двух линейных множителей, сразу находите нули каждого множителя и определяйте знаки на промежутках. Это самый надёжный способ не потерять балл.

Сначала вспомним ключевую идею метода интервалов: если произведение двух множителей не больше нуля, то нам нужны те промежутки, где множители имеют разные знаки, а также точки, где произведение равно нулю.

1) Найдём нули множителей:

x - 2 = 0 при x = 2,

x + 3 = 0 при x = -3.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: (-∞, -3), (-3, 2), (2, +∞).

2) Определим знак произведения на каждом промежутке.

Возьмём точку слева, например x = -4: тогда x - 2 < 0 и x + 3 < 0, произведение положительное.

Возьмём точку между корнями, например x = 0: тогда x - 2 < 0, а x + 3 > 0, произведение отрицательное.

Возьмём точку справа, например x = 3: оба множителя положительны, значит произведение опять положительное.

Так как требуется ≤ 0, выбираем промежуток, где произведение отрицательно, и обязательно включаем корни, потому что в них произведение равно нулю:

[-3; 2].

3) Почему именно так? При ≤ 0 подходят и отрицательные значения, и ноль. Поэтому точки -3 и 2 входят в ответ.

Правильный ответ: [-3; 2].

Частые ошибки:

• забывают включить корни при знаке ≤ или ≥;
• путают, где произведение положительно, а где отрицательно;
• берут не тот промежуток между корнями.

Чтобы не потерять балл на ОГЭ, всегда делайте три шага: найдите нули множителей, отметьте их на прямой и проверьте знак произведения на каждом промежутке.

Здесь удобно заметить, что данное выражение имеет вид разности квадратов:

\[(x-4)^2-25=(x-4)^2-5^2.\]

Для разности квадратов есть формула:

\[u^2-v^2=(u-v)(u+v).\]

В нашем случае роль u играет выражение \(x-4\), а роль v — число 5. Тогда

\[(x-4)^2-5^2=((x-4)-5)((x-4)+5).\]

Теперь аккуратно упрощаем скобки:

\[((x-4)-5)=x-9,\quad ((x-4)+5)=x+1.\]

Получаем ответ:

\[(x-9)(x+1).\]

Почему это важно для ОГЭ? Частая ошибка — сначала раскрывать скобки и перемножать всё вручную. Это дольше и повышает риск ошибки в знаках. Если сразу увидеть формулу разности квадратов, задание решается очень быстро.

На что обращать внимание:

• нельзя забывать, что \(25=5^2\);
• в первой скобке должен быть знак «минус» между \(x-4\) и 5, во второй — «плюс»;
• после разложения полезно проверить себя: перемножьте полученные множители и убедитесь, что снова выходит \((x-4)^2-25\).

Итак, правильное разложение: \((x-9)(x+1)\).

Здесь нужно заметить разность квадратов. Выражение имеет вид

$(x-3)^2-25$ = $a^2-b^2$, где $a=x-3$, а $b=5$, потому что $25=5^2$.

Тогда применяем формулу:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Подставляем вместо $a$ и $b$:

$((x-3)-5)((x-3)+5)$.

Можно немного упростить скобки:

$(x-8)(x+2)$.

Это и есть правильное разложение, значит верный ответ — B.

Почему другие варианты неверны:

• A сразу записывает уже упрощённый ответ, но здесь он совпадает с правильным только если аккуратно раскрыть скобки. Однако в вариантах ответа нужно выбрать именно разложение через формулу; кроме того, в экзаменационных заданиях важно не путать результат и промежуточную запись.

• C — это не разложение на множители, а просто переписанное исходное выражение.

• D получается, если неверно представить числа в скобках и потерять сдвиг на 3.

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1) Проверьте, не является ли выражение разностью квадратов.
2) Если видите константу, запишите её как квадрат числа: например, $25=5^2$.
3) Примените формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
4) Аккуратно перенесите весь двучлен из первой скобки, не теряя знак минус.

Частая ошибка: ученики раскрывают скобки и начинают считать «в лоб». На самом деле такие выражения в ОГЭ часто удобнее сразу разлагать по формуле. Это экономит время и помогает не сделать вычислительных ошибок.

Решим неравенство по стандартному алгоритму для ОГЭ.

1. Уберём скобки с помощью замены или вынесения общего множителя.

В выражении (x - 2)^2 < 3(x - 2) удобно заметить, что обе части содержат одинаковое выражение (x - 2). Перенесём всё в одну сторону:

(x - 2)^2 - 3(x - 2) < 0.

Теперь вынесем общий множитель (x - 2):

(x - 2)((x - 2) - 3) < 0, то есть

(x - 2)(x - 5) < 0.

2. Найдём нули множителей.

Произведение обращается в ноль при:

x = 2 и x = 5.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

(-∞; 2), (2; 5), (5; +∞).

3. Определим знаки произведения.

Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть отрицательным. Для произведения двух линейных множителей это происходит между корнями, если старший коэффициент положительный. Здесь получается именно такой случай.

Проверим на промежутке (2; 5): первый множитель (x - 2) > 0, второй (x - 5) < 0, значит произведение отрицательно.

На промежутках (-∞; 2) и (5; +∞) оба множителя имеют одинаковый знак, поэтому произведение положительно.

Следовательно, множество решений:

(2; 5).

Ответ: это открытый интервал от 2 до 5.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• не забывайте переносить всё в одну сторону;
• после разложения на множители ищите именно точки, где выражение равно нулю;
• если знак строгий (< или >), граничные точки не включаются;
• частая ошибка — выбрать (-∞; 2) ∪ (5; +∞), но это ответ для знака > 0, а не для < 0.

Итак, правильное решение — (2; 5).

Решим неравенство по алгоритму, который часто используют в ОГЭ: сначала перенесём всё в одну часть, затем вынесем общий множитель и применим метод интервалов.

1. Переносим всё в одну часть.

Имеем:

(x-4)² > 3(x-4).

Перенесём правую часть влево:

(x-4)² - 3(x-4) > 0.

2. Вынесем общий множитель.

В обоих слагаемых есть множитель (x-4), значит:

(x-4)[(x-4)-3] > 0.

Упростим скобки:

(x-4)(x-7) > 0.

3. Найдём нули каждого множителя.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

x-4=0 → x=4,

x-7=0 → x=7.

Эти точки делят числовую прямую на интервалы:

(-∞;4), (4;7), (7;+∞).

4. Определим знак произведения на интервалах.

- Если x<4, то оба множителя отрицательны, значит произведение положительно.
- Если 4<x<7, то первый множитель положителен, второй отрицателен, значит произведение отрицательно.
- Если x>7, то оба множителя положительны, значит произведение положительно.

Нам нужно строгое неравенство > 0, значит берём интервалы, где произведение положительно, а точки 4 и 7 не включаем.

Ответ: (-∞;4) ∪ (7;+∞).

Как не потерять баллы: при знаке > или < граничные точки не включаются; если бы было ≥ или ≤, тогда точки 4 и 7 надо было бы включить. Ещё одна частая ошибка — забыть вынести общий множитель и сразу пытаться угадывать ответ без анализа знаков. Для ОГЭ безопаснее всегда делать именно так: привести к произведению, найти нули, разбить прямую на интервалы и проверить знаки.