Числовые неравенства на прямой: задания с ответами

Рассмотрим неравенство x \ge -2.

Знак \ge означает, что подходят все числа, которые больше -2 или равны -2. Значит, граничное число -2 входит в множество решений.

Тогда множество решений записывается как интервал [ -2; +\infty ). Почему именно так:

• квадратная скобка слева показывает, что граница включена;
• плюс бесконечность всегда записывают с круглой скобкой, потому что бесконечность не является числом и “включить” её нельзя;
• луч на координатной прямой идёт вправо, потому что нужны числа, большие -2.

Если на рисунке была бы закрашенная точка в -2 и штриховка (или луч) вправо, это было бы правильным изображением. Если точка была бы пустой, это соответствовало бы строгому неравенству x > -2, а это уже другое множество.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1. Сначала смотри на знак: > и < — граница не входит; \ge и \le — входит.
2. Потом определяй направление: если число должно быть больше границы, луч идёт вправо; если меньше — влево.
3. Не забывай про бесконечность: с ней всегда используются круглые скобки.

Итак, правильный ответ — интервал [ -2; +\infty ) и изображение с закрашенной точкой в -2 и лучом вправо.

Рассмотрим рисунок по шагам.

1) Закрашенная точка в числе −2 означает, что граница −2 входит в промежуток. Значит, в неравенстве нужен нестрогий знак: ≤ или ≥, а не < и не >.

2) Штриховка идёт вправо от точки. На числовой прямой вправо расположены большие числа. Это значит, что переменная x принимает значения больше или равные −2.

3) Получаем неравенство: x ≥ -2.

Почему другие ответы неверны?

- x ≤ -2 — это штриховка влево, то есть числа меньше −2.

- x > -2 — направление верное (вправо), но знак строгий, а закрашенная точка показывает, что число −2 надо включить.

- x < -2 — и направление, и знак не совпадают с рисунком.

Совет для ОГЭ: сначала смотрите на точку (закрашена или нет), потом — на направление штриховки. Это помогает быстро выбрать правильный знак и не потерять лёгкий балл.

Сначала разберём, что означает рисунок на координатной прямой.

1. Определяем граничную точку. На рисунке отмечена точка −2. Она является границей промежутка.

2. Смотрим, включена ли граница. Точка закрашена, значит число −2 входит в промежуток. В таких случаях в записи используется знак ≤ или ≥, а не строгие знаки < и >.

3. Определяем направление закрашивания. Закрашена часть слева от точки −2. Это означает, что подходят все числа, которые меньше −2.

Итак, нужно записать: x ≤ −2.

Почему не подходят другие варианты?

• x < −2 — неверно, потому что закрашенная точка показывает, что −2 включено.
• x ≥ −2 — неверно, потому что закрашивание идёт не вправо, а влево.
• x = −2 — неверно, потому что это означало бы только одну точку, а на рисунке показан целый промежуток.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда смотри на вид точки (закрашенная или пустая), потом на направление штриховки. Это самый надёжный алгоритм для таких заданий.

Сначала читаем рисунок по двум признакам: тип точки и направление штриховки.

1) Закрашенная точка означает, что граничное число входит в множество решений. Значит, в записи будет знак ≤ или ≥, а не < или >.

2) Штриховка идёт вправо. На координатной прямой вправо располагаются числа больше данного. Значит, нужно взять знак ≥.

3) Граница — это число −2. Поэтому получаем неравенство:

x ≥ −2

Проверим смысл: подходят все числа, которые больше −2, а также само число −2. Это точно совпадает с закрашенной точкой и штриховкой вправо.

Почему легко ошибиться:

• если перепутать закрашенную и пустую точку, можно поставить неправильный знак равенства;
• если забыть, что вправо на прямой — это «больше», можно записать не тот знак;
• если не обратить внимание на число в точке, можно потерять правильную границу.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: 1) найди число у точки; 2) проверь, закрашена точка или нет; 3) посмотри, куда идёт штриховка; 4) запиши неравенство. Этот алгоритм помогает не терять лёгкие баллы.

Нужно научиться читать промежуток на числовой прямой. Здесь важны две вещи: куда идёт закраска и включена ли граница.

1) Точка -3 отмечена пустым кружком. Это значит, что число -3 не входит в промежуток. Следовательно, знак равенства использовать нельзя.

2) Закрашивание идёт вправо от точки -3. На координатной прямой вправо расположены числа, которые больше данного числа. Значит, речь идёт о числах, больших -3.

Итак, получаем неравенство: x > -3.

Почему не подходят другие варианты?

• x ≥ -3 — было бы верно, если бы точка -3 была закрашенной (закрытой), то есть если бы граница входила в промежуток.
• x < -3 и x ≤ -3 — это промежутки влево от -3, а на рисунке закраска направлена вправо.

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1. Сначала смотри, какая точка на границе и как она изображена: пустая или закрашенная.
2. Потом смотри, в какую сторону идёт штриховка.
3. Если закраска вправо — ставим > или ≥.
4. Если закраска влево — ставим < или ≤.
5. Если точка пустая — знак строгий, если закрашенная — нестрогий.

Типичная ошибка — перепутать пустой и закрашенный кружок. Из-за этого вместо x > -3 часто ошибочно пишут x ≥ -3. На экзамене всегда проверяй: пустая точка означает, что граница не входит.

Сначала внимательно читаем неравенство: x > -2. Знак > означает «больше», то есть подходят все числа, которые расположены правее числа -2 на числовой прямой.

Теперь проверяем, входит ли граничная точка -2 в ответ. Поскольку неравенство строгое, знак равенства отсутствует, значит число -2 не входит в промежуток. На прямой это обозначают пустой (не закрашенной) точкой.

Остаётся записать промежуток: (-2; +∞). Скобка ( слева показывает, что граница не включена, а бесконечность всегда пишется только с круглой скобкой.

Почему другие варианты неверны:

• если взять [-2; +∞), то это будет уже нестрогое неравенство x ≥ -2;
• если выбрать (-∞; -2), то получится множество чисел меньше -2, то есть противоположное направление;
• если написать [-2; +∞) или (-2; -∞), это тоже ошибка в записи промежутка: важно не перепутать границы и направление.

Алгоритм для ОГЭ: 1) смотри на знак неравенства; 2) определяй, включается ли граница; 3) выбирай направление на прямой; 4) записывай промежуток с правильными скобками. Это помогает быстро и без ошибок решать такие задания.

Сначала определим, что означает тип точки. Если точка закрашенная, то граничное число входит в множество решений. Значит, знак будет ≤ или ≥, а не строгий < или >.

Теперь посмотрим на направление штриховки. Штриховка вправо от числа 2 означает все числа, которые больше 2. На координатной прямой значения увеличиваются вправо, поэтому вправо от 2 расположены числа больше 2.

Объединяем оба признака:

• точка закрашена — число 2 включается;
• штриховка вправо — нужны числа больше 2.

Получаем неравенство: x ≥ 2.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда смотри на точку, потом на направление штриховки. Частая ошибка — перепутать закрашенную и пустую точку. Ещё одна ошибка — думать, что вправо всегда означает знак «<». На самом деле на числовой прямой вправо — это больше, а влево — меньше.

Следовательно, верный ответ: x ≥ 2.

На рисунке важно заметить две вещи: вид граничной точки и направление закраски.

1. Пустая точка в 3 означает, что число 3 не входит в множество. Это соответствует строгому неравенству: знак будет > или <, а в записи промежутка — круглая скобка.

2. Луч направлен вправо. Это значит, что подходят числа, большие 3. Если бы луч шёл влево, речь шла бы о числах меньше 3.

Значит, множество задаётся неравенством x > 3, а в интервальной записи это (3; +∞).

Почему другие ответы были бы неверны:

• x ≥ 3 или [3; +∞) — неверно, потому что при закрашенной точке число 3 было бы включено, а здесь точка пустая.
• x < 3 или (−∞; 3) — неверно, потому что закраска должна идти влево, а не вправо.
• x ≤ 3 или (−∞; 3] — неверно по обеим причинам: и знак не тот, и точка должна быть закрашенной, если 3 включается.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала смотри на точку: пустая — строгий знак, закрашенная — нестрогий.
2. Потом смотри на направление луча: вправо — больше, влево — меньше.
3. Проверяй запись промежутка: круглая скобка для невключённой границы, квадратная — для включённой.

Итог: правильная запись — x > 3 (или (3; +∞)).

Нужно внимательно прочитать изображение на координатной прямой. Здесь есть две важные детали: какая точка является границей и включена ли эта точка в промежуток.

1) Граничная точка — это число −1. Именно от него начинается или заканчивается промежуток.

2) Точка закрашенная, значит, значение −1 входит в промежуток. В таких случаях в неравенстве ставят знак ≤ или ≥, а не строгий знак < или >.

3) Штриховка идёт вправо. Это значит, что берутся числа, большие или равные −1. То есть переменная x удовлетворяет условию x ≥ −1.

Почему другие варианты неверны:

• x < −1 — это значения слева от −1, то есть в противоположную сторону.
• x ≤ −1 — здесь направление слева, хотя точка действительно закрашена.
• x > −1 — направление верное, но тогда точка должна быть пустой, потому что −1 не включается.

Полезный приём для ОГЭ: сначала определяйте точку, потом смотрите на её вид (закрашенная или пустая), и только после этого выбирайте знак неравенства. Если точка закрашена — неравенство нестрогое; если пустая — строгое. Затем по направлению штриховки решайте, нужен знак < или >.

Ответ: x ≥ −1.

Сначала определим граничную точку. На рисунке это число -2 — именно в этой точке начинается или заканчивается промежуток.

Теперь смотрим на вид точки. Она закрашенная, значит, точка входит в множество решений. В таком случае нужно использовать знак ≤ или ≥, а не строгие знаки < и >.

Далее определяем направление заштрихованной области. Она идёт вправо, а это означает, что берутся числа, которые больше граничного числа. Значит, переменная должна быть больше или равна -2.

Получаем неравенство: x ≥ -2.

Как рассуждать на ОГЭ быстро:

• закрашенная точка — знак ≤ или ≥;
• пустая точка — знак < или >;
• вправо на прямой — больше;
• влево — меньше.

Частые ошибки:

• путают вправо и влево;
• ставят строгий знак вместо нестрогого, хотя точка закрашена;
• забывают, что при движении вправо числа становятся больше.

Итак, правильный ответ — x ≥ -2.

На рисунке нужно понять две вещи: какая точка является граничной и входит ли она в промежуток.

1. Определяем граничную точку. Здесь отмечено число −2. Это граница промежутка: все подходящие значения находятся по одну сторону от неё.

2. Смотрим на вид точки. Точка закрашенная, значит, число −2 входит в промежуток. Тогда в неравенстве нужен нестрогий знак: ≤ или ≥.

3. Определяем направление. Заштрихована область влево от точки. На координатной прямой это означает все числа, которые меньше −2. Если бы штриховка шла вправо, это были бы числа больше −2.

Значит, верное неравенство: x ≤ −2.

Почему не подходят другие варианты?

• x < −2 — неверно, потому что закрашенная точка означает включение границы.
• x ≥ −2 или x > −2 — неверно, потому что штриховка идёт не вправо, а влево.

Как не терять баллы на ОГЭ: сначала всегда смотрите на точку (закрашена или нет), потом на направление луча. Это самый надёжный алгоритм. Если точка закрашена — знак нестрогий; если пустая — строгий.

На числовой прямой закрашенная точка означает, что граничное число входит в промежуток. А заштрихованный луч вправо показывает все числа, которые больше этой границы.

Граница здесь равна -\frac{3}{2}. Значит, нужно записать неравенство для всех x, которые не меньше этой точки:

x >= -\frac{3}{2}

Проверим логику:

• если бы точка была пустой, то знак был бы строгий: x > -\frac{3}{2};
• если бы луч был заштрихован влево, то получилось бы неравенство с < или ≤;
• здесь луч направлен вправо, значит выбираем > или ≥.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда смотрите на точку (закрашена или нет), потом на направление луча. Именно эта последовательность помогает не перепутать знаки.