Неполные квадратные уравнения: задания с ответами

Решим уравнение по шагам. Это неполное квадратное уравнение вида x² = kx. В таких заданиях удобно перенести всё в одну часть и вынести общий множитель.

1. Переносим всё в одну часть:

x² - 6x = 0.

2. Выносим x за скобки:

x(x - 6) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому:

x = 0 или x - 6 = 0, откуда x = 6.

Значит, корни уравнения: 0 и 6.

По условию нужно выбрать меньший корень. Меньший из них — 0.

Ответ: 0.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте перенести все слагаемые в одну часть;
• после вынесения множителя обязательно приравнивайте к нулю каждый множитель;
• если по условию нужно выбрать меньший или больший корень, сначала найдите оба корня, а потом только выбирайте нужный.

Это неполное квадратное уравнение вида x² = a. Такие уравнения решаются очень быстро: нужно извлечь квадратный корень из обеих частей и не забыть, что квадрат числа может получиться и из положительного, и из отрицательного числа.

Решим уравнение:

x² = 49

Тогда

x = ±√49

√49 = 7, значит оба корня уравнения:

x = 7 и x = -7.

По условию нужно записать наибольший корень. Сравниваем числа: 7 > -7, значит наибольший корень — 7.

Почему нельзя написать только один корень сразу? Потому что уравнение вида x² = 49 имеет два действительных решения. Частая ошибка на ОГЭ — написать только 7, забыв про -7, или наоборот перепутать, какой из корней больше. Если в условии просят выбрать наибольший или наименьший корень, сначала обязательно найдите оба корня, а потом сравните их.

Ответ: 7.

Это неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0, где нет линейного члена с x. Такие уравнения удобно решать в три шага:

1. Переносим свободный член в другую часть: 2x² = 18.

2. Делим обе части на 2: x² = 9.

3. Извлекаем квадратный корень: x = 3 и x = -3.

Теперь нужно выбрать наименьший корень. Из чисел -3 и 3 меньшее — -3.

Ответ: -3.

Полезно помнить типичную схему для таких задач: сначала получить x², потом найти два корня, а затем внимательно выбрать тот, который меньше. Частая ошибка — написать только один корень, например 3, или перепутать знак при извлечении квадратного корня. Ещё одна ошибка — забыть, что при положительном числе под корнем всегда получаются два корня, если уравнение сводится к виду x² = a при a > 0.

Рассмотрим уравнение x² - 9 = 0. Это неполное квадратное уравнение вида x² = a, поэтому его удобно сначала привести к этому виду.

Перенесём число 9 в правую часть:

x² = 9.

Теперь нужно найти все действительные числа, квадрат которых равен 9. Мы знаем, что:

3² = 9 и (-3)² = 9.

Значит, у уравнения два действительных корня:

x = 3 и x = -3.

Почему нельзя написать только один корень? Потому что квадрат и положительного, и отрицательного числа может быть одинаковым. Это частая ошибка в ОГЭ: ученик находит только +корень и забывает про -корень.

Проверка:

если x = 3, то 3² - 9 = 9 - 9 = 0;

если x = -3, то (-3)² - 9 = 9 - 9 = 0.

Оба значения подходят, значит ответ верный.

Итог: правильный вариант — тот, где указаны оба корня: -3 и 3.

Это неполное квадратное уравнение вида ax^2 + bx = 0, то есть в нём нет свободного члена. Такие уравнения удобно решать вынесением общего множителя за скобки.

Шаг 1. Вынесем общий множитель 6x:

6x^2 - 18x = 6x(x - 3).

Шаг 2. Теперь используем правило нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Значит:

6x = 0 или x - 3 = 0.

Из первого уравнения получаем x = 0. Из второго: x = 3.

Ответ: 0 и 3.

Почему это важно помнить на ОГЭ: многие ученики находят только один корень — обычно x = 3 — и забывают про x = 0, который часто появляется в уравнениях вида ax^2 + bx = 0. Ещё одна типичная ошибка — делить всё уравнение на x. Так делать нельзя, потому что при x = 0 деление на ноль невозможно, и можно потерять корень.

Полезный алгоритм для таких заданий: 1) вынести общий множитель; 2) приравнять каждый множитель к нулю; 3) аккуратно проверить оба корня. Это быстрый и надёжный способ получить полный ответ.

Решим уравнение по правилу нулевого произведения. Это типичный способ для неполных квадратных уравнений вида ax²+bx=0.

Сначала вынесем общий множитель x за скобки:

3x² - 12x = x(3x - 12).

Теперь уравнение имеет вид произведения двух множителей, равного нулю:

x(3x - 12)=0.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Значит, получаем два уравнения:

x=0

или

3x - 12 = 0.

Решим второе:

3x = 12, значит x = 4.

Итак, корни уравнения: 0 и 4.

Почему это важно для ОГЭ: в таких заданиях часто теряют корень x=0, потому что сразу переходят ко второму множителю. Это ошибка. Когда вы выносите x за скобки, обязательно проверяйте оба случая: первый множитель равен нулю и второй множитель равен нулю.

Правильный ответ: 0 и 4.

Рассмотрим уравнение $x^2=49$. Это неполное квадратное уравнение вида $x^2=a$. Для таких уравнений нужно вспомнить правило: если $a>0$, то уравнение имеет два действительных корня: $x=\pm \sqrt{a}$.

В нашем случае $a=49$, значит:

$x=\pm \sqrt{49}=\pm 7$.

Получаем два корня: $-7$ и $7$. По условию нужно указать наибольший корень. Сравниваем: большее число — это $7$.

Ответ: 7.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала обязательно находите оба корня, если под корнем положительное число. Потом внимательно читаете условие: «наименьший» или «наибольший». Частая ошибка — написать только один из корней или перепутать знак. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что при извлечении квадратного корня из числа нужно учитывать и плюс, и минус.

Решим уравнение разложением на множители. Это типичный способ для неполных квадратных уравнений вида ax^2 + bx = 0.

Шаг 1. Вынесем общий множитель x за скобку:

3x^2 - 12x = x(3x - 12).

Теперь у нас получилось произведение двух множителей, равное нулю:

x(3x - 12) = 0.

Шаг 2. Используем правило нуля произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Поэтому получаем два уравнения:

x = 0

или

3x - 12 = 0.

Решим второе уравнение:

3x = 12, значит x = 4.

Ответ: 0 и 4.

Почему это работает? Мы не делили уравнение на x, а именно вынесли его как общий множитель. Это важно, потому что при делении на выражение, которое может быть равно нулю, можно потерять корень. Здесь корень x = 0 как раз появился из первого множителя.

Частая ошибка на ОГЭ — увидеть уравнение 3x^2 - 12x = 0 и сразу поделить обе части на x. Так делать нельзя: при x = 0 деление не определено, и этот корень можно потерять. Ещё одна ошибка — после разложения написать только один корень, например x = 4, забыв про x = 0.

Полезный экзаменационный алгоритм:

1) вынести общий множитель;

2) представить уравнение в виде произведения;

3) приравнять каждый множитель к нулю;

4) проверить, что нашли все корни.

В этом задании правильный ответ: 0 и 4.

Это неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Здесь важно сначала выделить x², а потом извлечь квадратный корень.

Решим уравнение по шагам:

1) Перенесём свободный член в другую часть:

5x² = 45.

2) Разделим обе части на 5:

x² = 9.

3) Теперь извлекаем квадратный корень:

x = 3 и x = -3.

Так как по условию нужно выбрать наименьший корень, сравниваем числа -3 и 3. Меньшим является -3.

Ответ: -3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте, что уравнение вида x² = 9 имеет два корня: положительный и отрицательный;
• при выборе наименьшего корня нужно помнить, что отрицательное число меньше положительного;
• частая ошибка — написать только 3, забыв про -3;
• ещё одна ошибка — потерять знак при переносе числа через знак равенства.

В подобных заданиях удобный алгоритм такой: перенести число, разделить на коэффициент при x², извлечь корень, выбрать меньший. Это быстрый и надёжный способ получить балл на экзамене.

Это неполное квадратное уравнение вида x² + k = 0. В таких уравнениях нет линейного члена bx, поэтому решать их можно очень быстро.

Шаг 1. Переносим свободный член в другую сторону.
Из уравнения x² - 81 = 0 получаем:
x² = 81.

Шаг 2. Извлекаем квадратный корень.
Если x² = 81, то x = 9 или x = -9, потому что и 9² = 81, и (-9)² = 81.

Шаг 3. Выбираем меньший корень.
Из двух корней 9 и -9 меньшим является -9.

Ответ: -9.

Частая ошибка: написать только положительный корень 9. При уравнении вида x² = a всегда нужно помнить про два корня, если a > 0: x = ±√a. На ОГЭ за такие задания часто теряют балл именно из-за забытых знаков.

Как запомнить алгоритм: сначала привести к виду x² = число, потом выписать два корня, и только после этого выбрать нужный по условию.

Это неполное квадратное уравнение вида x² = a. В таких уравнениях нет линейного члена, поэтому решать его можно сразу с помощью извлечения квадратного корня.

У нас записано: x² = 49.

Чтобы найти все решения, нужно вспомнить: если квадрат числа равен 49, то само число может быть двумя значениями — 7 и −7, потому что:

7² = 49 и (−7)² = 49.

Значит, корни уравнения: x = −7 и x = 7.

По условию нужно записать больший корень. Из двух чисел −7 и 7 большее — это 7.

Ответ: 7.

Полезно помнить для ОГЭ: если уравнение имеет вид x² = a и a > 0, то обычно получаются два корня: x = ±√a. Частая ошибка — записать только один корень или забыть про отрицательный корень. В задачах на выбор большего корня нужно внимательно сравнить найденные значения и выбрать большее число. Если корни выглядят как −√a и √a, то большим всегда является положительный корень.

Это неполное квадратное уравнение вида x² = k. Здесь нет линейного члена x и нет свободного члена слева, поэтому решается оно очень просто: нужно извлечь квадратный корень из правой части.

Имеем: x² = 49. Тогда числа, квадрат которых равен 49, — это x = 7 и x = -7, потому что 7² = 49 и (-7)² = 49.

В задании просят выбрать больший корень. Из двух решений большее число — это 7.

Ответ: 7.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не забывайте, что у уравнения x² = k при k > 0 обычно два корня: положительный и отрицательный.
• Если в условии просят больший корень, нужно выбрать именно положительный корень.
• Не путайте «извлечь квадратный корень» с ответом только \sqrt{k}. Для уравнения нужно записать оба решения, если не сказано иначе.

Для проверки можно подставить найденный корень в уравнение: 7² = 49, значит решение верное.