Пересечение графиков с горизонтальной прямой: задания с ответами

Рассмотрим функцию $y=|x^2-4|$. Нужно найти наибольшее число общих точек её графика с горизонтальной прямой $y=k$.

Удобнее всего думать так: число общих точек — это число решений уравнения

$|x^2-4|=k$.

Так как правая часть — это значение горизонтальной прямой, то $k\ge 0$. Теперь раскроем модуль по определению:

$|x^2-4|=k$ эквивалентно системе двух случаев:

1) $x^2-4=k$, то есть $x^2=k+4$;

2) $x^2-4=-k$, то есть $x^2=4-k$.

Теперь посчитаем, сколько решений может быть в каждом случае.

Первый случай: $x^2=k+4$. Здесь $k\ge 0$, значит правая часть всегда положительна. Уравнение вида $x^2=A$, где $A>0$, имеет 2 решения: $x=\pm \sqrt{A}$.

Второй случай: $x^2=4-k$. Чтобы были решения, нужно $4-k\ge 0$, то есть $k\le 4$. Если $0<k<4$, то правая часть положительна, и это снова 2 решения. Если $k=4$, то получаем $x^2=0$, то есть одно решение $x=0$. Если $k=0$, то это уравнение совпадает с первым случаем, и точек меньше не станет.

Чтобы получить максимум, нужно выбрать такое $k$, при котором оба случая дают по 2 решения, и при этом эти решения не совпадают. Это происходит, например, при любом $k\in (0,4)$. Тогда:

• из $x^2=k+4$ получаем 2 точки;
• из $x^2=4-k$ получаем ещё 2 точки.

Итого максимум равен 4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ: не нужно сразу пытаться рисовать сложный график. Для таких задач удобно записать уравнение $\left|\mathrm{...}\right|=k$ и рассмотреть два обычных квадратных уравнения. Частая ошибка — забыть, что горизонтальная прямая задаёт неотрицательное значение $k$, или не заметить, что в одном из случаев корней может стать меньше из-за нуля. Здесь же максимум достигается при $0<k<4$, когда обе параболические части дают по две точки пересечения.

Нужно найти максимально возможное число точек пересечения графика функции y = |x^2 - 4x + 3| с горизонтальной прямой y = c.

Сначала посмотрим на выражение под модулем:

x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3).

Это квадратный трёхчлен, его график — парабола, которая пересекает ось Ox в двух точках: x = 1 и x = 3. Между этими корнями парабола ниже оси Ox, а вне этого промежутка — выше неё.

Теперь применим модуль. Все части графика, которые были ниже оси Ox, отражаются вверх. В результате график y = |x^2 - 4x + 3| имеет форму с двумя «горбами» и одной средней частью. По сути, это уже не обычная парабола, а график, составленный из двух кусков параболы, причём он весь лежит не ниже оси Ox.

Теперь подумаем о горизонтальной прямой y = c. Чтобы получить как можно больше точек пересечения, прямую нужно расположить так, чтобы она «задела» все возможные части графика.

У этого графика при некотором уровне c можно получить:

• по две точки пересечения с левым горбом;
• по две точки пересечения с правым горбом.

Итого получается 4 точки пересечения.

Почему не больше? Потому что каждая из двух ветвей после модуля ведёт себя как часть параболы, а горизонтальная прямая может пересекать одну параболическую дугу не более чем в двух точках. Так как таких дуг фактически две, общее число пересечений не может превысить 2 + 2 = 4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте, что модуль «поднимает» отрицательную часть графика вверх;
• не считайте только пересечения исходной параболы: после модуля график меняется;
• для максимума нужно представить положение прямой, при котором она пересекает график в наибольшем числе точек.

Рассмотрим функцию f(x)=|x^2-4x-5|. В задачах на пересечение графика с горизонтальной прямой важно понять, как выглядит сам график и сколько раз одна и та же горизонтальная прямая может его пересечь.

Сначала разберём выражение под модулем:

x^2-4x-5=(x-5)(x+1).

Отсюда видно, что квадратный трёхчлен имеет две различные точки нуля: x=-1 и x=5. Между ними он отрицателен, а вне этого промежутка — положителен.

Значит, график функции с модулем устроен так:

• на промежутках x<-1 и x>5 график совпадает с параболой y=x^2-4x-5;
• на промежутке -1\le x\le 5 отрицательная часть отражается вверх, и получается y=-(x^2-4x-5)=-x^2+4x+5.

Итак, график состоит из двух “ветвей” параболы, причём верхняя часть внутри промежутка между корнями — это одна дуга, а снаружи — ещё две симметричные ветви исходной параболы. Для горизонтальной прямой это означает, что пересечений может быть больше, чем у обычной параболы.

Теперь найдём максимальное число пересечений. Удобно представить себе уровень y=k выше точки излома в вершине отражённой части, но ниже некоторых высоких участков графика. Тогда одна горизонтальная прямая может пересечь:

• левую внешнюю ветвь — в 1 точке;
• среднюю верхнюю дугу — в 2 точках;
• правую внешнюю ветвь — в 1 точке.

Всего получается 1+2+1=4 точки пересечения.

Больше четырёх быть не может, потому что каждая часть графика — это параболическая ветвь, а горизонтальная прямая с одной параболической дугой пересекается не более чем в двух точках. У нас таких частей три, но средняя часть даёт максимум две точки, а две внешние — по одной точке каждая для одного и того же уровня k. Поэтому общий максимум равен 4.

Ответ: 4.

Полезный экзаменационный приём: если дано y=|ax^2+bx+c|, сначала найдите корни трёхчлена. Если у него две различные точки пересечения с осью Ox, график обычно делится на три части, и максимальное число пересечений с горизонтальной прямой чаще всего равно 4. Частая ошибка — считать только одну параболу и забывать, что модуль отражает отрицательную часть вверх.

Ключевая идея здесь очень простая: при переходе от y=f(x) к y=|f(x)| все значения функции, которые были ниже оси Ox, становятся положительными и отражаются вверх симметрично относительно оси Ox. А часть графика, которая уже была выше оси Ox, не меняется.

Разберём исходный график по точкам: он проходит через (-4;2), (-2;-2), (0;0), (2;-2), (4;2). Видно, что на отрезках около x=-2 и x=2 значения функции отрицательные, а в точках x=-4, 0, 4 график лежит на или выше оси Ox.

Теперь применяем модуль:

• точка (-4;2) останется (-4;2);
• точка (-2;-2) перейдёт в (-2;2);
• точка (0;0) останется (0;0);
• точка (2;-2) перейдёт в (2;2);
• точка (4;2) останется (4;2).

Значит, правильный график — это ломаная через точки (-4;2), (-2;2), (0;0), (2;2), (4;2). Он выглядит как исходный график, у которого две нижние «впадины» подняты вверх.

Почему легко ошибиться? Частая ошибка — отразить весь график относительно оси Ox. Это неверно: при модуле меняются только отрицательные значения функции. Ещё одна ошибка — забыть, что нули функции сохраняются. Если f(x)=0, то и |f(x)|=0.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Найди участки графика ниже оси Ox.
2. Подними их вверх зеркально.
3. Проверь нули: они должны остаться на оси Ox.
4. Сравни полученную форму с вариантами ответа.

Правильный ответ — вариант, где график проходит через точки (-4;2), (-2;2), (0;0), (2;2), (4;2).

Рассуждаем по шагам.

1) Сначала вспомним, как выглядит график функции вида y = |f(x)|. Если у исходной функции f(x) есть часть графика ниже оси Ox, то после взятия модуля эта часть отражается вверх, над ось Ox. В итоге весь график оказывается не ниже оси Ox.

2) В нашей задаче f(x) = x^2 - 4x + 3 — это квадратичная функция, значит её график — парабола. Найдём, где она пересекает ось Ox:

x^2 - 4x + 3 = 0

(x-1)(x-3)=0, значит корни: x=1 и x=3.

Это важно: у параболы есть две точки пересечения с осью Ox, а между ними значение функции отрицательно. После взятия модуля эта нижняя дуга отразится вверх.

3) Теперь подумаем о горизонтальной прямой y=c. Чтобы пересечений было как можно больше, прямую надо провести так, чтобы она задела как можно больше «ветвей» графика.

После взятия модуля график фактически состоит из двух частей: внешних участков параболы и отражённой средней части. Если выбрать подходящий уровень c>0, то горизонтальная прямая может пересечь:

• левую внешнюю ветвь — 1 раз,
• левую часть отражённой дуги — 1 раз,
• правую часть отражённой дуги — 1 раз,
• правую внешнюю ветвь — 1 раз.

Итого получается 4 пересечения.

4) Больше 4 быть не может, потому что уравнение |x^2 - 4x + 3| = c сводится к двум квадратным уравнениям:

x^2 - 4x + 3 = c и x^2 - 4x + 3 = -c.

Каждое из них может дать не более двух решений, значит всего решений не больше четырёх.

Ответ: 4.

Полезный приём для ОГЭ: если видите модуль у квадратичной функции, сразу думайте, что график может дать до 4 пересечений с горизонтальной прямой. Но это именно максимум, а не всегда столько будет — многое зависит от уровня c.

Частая ошибка — считать только исходную параболу и забывать, что отрицательная часть после модуля «поднимается» вверх. Ещё одна ошибка — забывать, что при c=0 пересечений может быть меньше, чем максимум.

Рассмотрим функцию y=|x^2-4x+3|. Здесь внутри модуля стоит квадратный трёхчлен. Его удобно сначала разложить на множители:

x^2-4x+3=(x-1)(x-3).

У параболы y=x^2-4x+3 есть два корня: x=1 и x=3. Это значит, что график этой параболы пересекает ось Ox в двух точках, а между корнями он расположен ниже оси Ox, вне этого промежутка — выше оси.

Теперь важно понять, что делает модуль. График функции y=|x^2-4x+3| получается так: та часть параболы, которая была выше оси Ox, остаётся на месте, а та часть, которая была ниже оси Ox, отражается вверх симметрично относительно оси Ox. Поэтому итоговый график состоит из двух «ветвей», которые направлены вверх и встречаются в точках x=1 и x=3 на уровне y=0.

Теперь нужно понять, сколько максимум раз горизонтальная прямая y=k может пересечь этот график. Для этого полезно мысленно смотреть на уравнение:

|x^2-4x+3|=k.

Если k<0, решений нет, потому что модуль не бывает отрицательным. Если k=0, то решения только в точках, где выражение под модулем равно нулю: x=1 и x=3, то есть 2 точки пересечения. Но нам нужен максимум.

При k>0 уравнение равносильно системе из двух уравнений:

x^2-4x+3=k и x^2-4x+3=-k.

Каждое из них — квадратное уравнение. Первое может дать до 2 решений, и второе тоже может дать до 2 решений. Значит, всего можно получить до 4 точек пересечения. Этот максимум действительно достижим: например, при некоторых положительных значениях k обе параболы x^2-4x+3=k и x^2-4x+3=-k имеют по два действительных корня.

Следовательно, наибольшее число общих точек графика с горизонтальной прямой равно 4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ: не забывайте, что модуль может превратить одну параболу в две части, поэтому считать нужно не по исходной параболе, а по уравнению вида |…|=k. Частая ошибка — думать, что максимум всегда 2 точки, как у обычной параболы. Для графика с модулем максимум часто удваивается.

Нужно найти такие значения m, при которых уравнение f(x)=m имеет ровно три решения. Это означает, что горизонтальная прямая y=m должна пересечь график функции в трёх точках.

Разберём функцию по кускам.

1) Участок \(y=x+2\), \(-2\le x\le 0\).

Здесь \(x\) меняется от \(-2\) до \(0\), значит \(y\) меняется от \(0\) до \(2\). Этот участок даёт ровно одно пересечение для каждого \(m\in[0,2]\).

2) Участок \(y=2-x\), \(0<x\le 2\).

При \(x\to 0+\) значение \(y\to 2\), но точка \(x=0\) не входит в промежуток. При \(x=2\) получаем \(y=0\), и эта точка входит. Значит, на этом участке значения \(y\) лежат в промежутке \([0,2)\). Для любого \(m\in[0,2)\) здесь есть одно решение, а при \(m=2\) решения нет.

3) Участок \(y=x-2\), \(2<x\le 4\).

Здесь \(y\) меняется от \(0\) до \(2\), но значение \(0\) не достигается, потому что \(x=2\) не входит в промежуток. При \(x=4\) получаем \(y=2\). Значит, этот участок даёт одно решение при \(m\in(0,2]\).

Теперь посчитаем число пересечений в зависимости от \(m\):

• если \(m=0\), то на 1-м участке есть 1 пересечение, на 2-м есть 1 пересечение, на 3-м нет пересечения. Итого 2;
• если \(0<m<2\), то каждый из трёх участков даёт по одному пересечению. Итого 3;
• если \(m=2\), то 1-й участок даёт 1 пересечение, 2-й не даёт, 3-й даёт 1 пересечение. Итого 2;
• если \(m<0\) или \(m>2\), пересечений нет.

Значит, ровно три точки пересечения бывают только при \(0<m<2\).

Ответ: \(0<m<2\).

Как не ошибиться на ОГЭ: всегда отдельно проверяйте границы промежутков. Здесь именно они решают всё: в точке \(m=2\) один из участков не даёт пересечения, а при \(m=0\) тоже теряется одна точка. Типичная ошибка — посчитать все три участка одинаково и забыть, что некоторые концы промежутков открытые.

Нужно найти такие значения m, при которых прямая y = m пересекает график функции ровно в двух точках. Для кусочно-заданной функции это всегда удобно делать по частям: отдельно рассмотреть каждую ветвь и посчитать, сколько решений у уравнения f(x)=m даёт каждая часть на своей области определения.

1. Левая часть: \(x<0\), \(y=2x+1\)

Это прямая. Решим уравнение:

\(2x+1=m\Rightarrow x=\dfrac{m-1}{2}.\)

Но эта точка подходит только если \(x<0\). Значит,

\(\dfrac{m-1}{2}<0 \Rightarrow m<1.\)

Итак, левая ветвь даёт:

• 1 точку пересечения, если \(m<1\);
• 0 точек, если \(m\ge 1\).

2. Правая часть: \(x\ge 0\), \(y=x^2-4\)

Теперь решаем:

\(x^2-4=m\Rightarrow x^2=m+4.\)

Чтобы решения были, нужно \(m+4\ge 0\), то есть \(m\ge -4\).

Так как здесь ещё условие \(x\ge 0\), то даже если уравнение даёт два корня \(x=\pm\sqrt{m+4}\), подходит только неотрицательный корень. Поэтому:

• если \(m>-4\), то правая ветвь даёт 1 точку пересечения;
• если \(m=-4\), то \(x=0\) — тоже 1 точка;
• если \(m<-4\), то 0 точек.

Значит, правая часть даёт 1 точку при всех \(m\ge -4\).

3. Складываем число точек

Нужно ровно 2 общие точки. Возможны только такие случаи:

• левая часть даёт 1 точку и правая даёт 1 точку;
• другие варианты не подходят, потому что правая ветвь никогда не даёт 2 точки из-за условия \(x\ge 0\).

Чтобы левая часть дала 1 точку, нужно \(m<1\). Чтобы правая часть тоже дала 1 точку, нужно \(m\ge -4\).

Итак, получаем:

\(-4\le m<1.\)

Ответ: именно на этом промежутке горизонтальная прямая пересекает график ровно в двух точках.

Почему здесь легко ошибиться?

• Можно забыть про область определения каждой части и посчитать лишнюю точку.
• Можно перепутать, что у параболы \(x^2=m+4\) обычно два корня, но здесь подходит только один, потому что задано \(x\ge 0\).
• Важно отдельно проверить границу \(m=-4\): там пересечение не исчезает, а остаётся одна точка на правой ветви.

Как действовать на ОГЭ: всегда сначала находите число пересечений для каждой части отдельно, затем складывайте их и только после этого выписывайте условие на параметр.

Рассмотрим идею без точного построения всех точек. Сначала вспомним, что график функции y = x^2 - 4x - 5 — это парабола, ветви которой направлены вверх. У любой параболы с горизонтальной прямой может быть не больше двух точек пересечения.

Но в задаче стоит модуль: y = |x^2 - 4x - 5|. Это означает, что та часть параболы, которая оказалась ниже оси Ox, отражается симметрично вверх. Поэтому новый график состоит как бы из двух частей: верхней части обычной параболы и отражённой вверх нижней части.

Теперь посмотрим на горизонтальную прямую y = c. Чтобы число пересечений было максимальным, нужно выбрать такое c, при котором прямая пересечёт обе части графика как можно больше раз. Для графика модуля квадратичной функции максимальное число пересечений с горизонтальной прямой равно 4.

Почему именно 4? Если прямая проходит выше оси Ox и не касается вершины отражённой части, она может пересечь левую и правую «дуги» графика по два раза: всего 4 точки. Это и есть максимум.

Ответ: 4.

Типичная ошибка: некоторые ученики отвечают 2, потому что вспоминают про обычную параболу и забывают, что модуль отражает отрицательную часть графика вверх. На ОГЭ важно сначала понять, как преобразуется график, а уже потом считать пересечения.

Короткий алгоритм для таких задач: 1) мысленно построить график без модуля; 2) отбросить нижнюю часть и отразить её вверх; 3) представить горизонтальную прямую и посчитать, сколько раз она может пересечь получившуюся линию. Для y = |ax^2+bx+c| максимум обычно равен 4, если график действительно имеет «две поднятые ветви».

Чтобы построить график функции y=|f(x)|, нужно помнить главное правило: модуль «убирает» отрицательные значения функции. Это означает следующее:

1. Все части графика, которые были выше оси Ox, остаются без изменений.

2. Все части графика, которые были ниже оси Ox, нужно отразить симметрично вверх относительно оси Ox.

3. В результате у графика y=|f(x)| все значения y становятся неотрицательными, то есть график не может лежать ниже оси Ox.

Как решать такие задания на экзамене:

сначала внимательно смотрим, где исходный график расположен выше оси Ox, а где ниже; затем мысленно «поднимаем» вверх только нижние части; после этого сравниваем получившуюся форму с вариантами ответа. Очень важно не перепутать модуль функции с модулем аргумента: здесь меняется не x, а именно значения f(x).

Типичная ошибка — отразить весь график целиком. Это неверно, потому что верхняя часть не меняется. Другая частая ошибка — оставить ниже оси Ox хотя бы один участок. Но для y=|f(x)| это невозможно: весь график должен быть не ниже оси Ox.

Следовательно, правильный ответ — тот вариант, где верхняя часть исходного графика сохранена, а нижняя часть отражена вверх относительно оси Ox.

Нужно найти такие значения уровня горизонтальной прямой \(y=m\), при которых уравнение \(f(x)=m\) имеет ровно три решения. Каждое решение — это точка пересечения графика функции с прямой.

Рассмотрим части функции по отдельности.

1) Левая часть: \(f(x)=x^2-4x+3\) при \(x\le 2\).

Преобразуем квадратный трёхчлен:

\(x^2-4x+3=(x-2)^2-1\).

Это парабола с вершиной \((2,-1)\), причём на участке \(x\le 2\) она идёт вниз к вершине и принимает значения от \(-1\) вверх до \(+\infty\):

\(m\ge -1\).

Но важно не только это, а сколько решений даёт уравнение \(x^2-4x+3=m\) на промежутке \(x\le 2\).

Решаем:

\((x-2)^2=m+1\).

Если \(m<-1\), решений нет.

Если \(m=-1\), есть одно решение \(x=2\).

Если \(m>-1\), есть два корня \(x=2\pm\sqrt{m+1}\), но только левый корень \(x=2-\sqrt{m+1}\le 2\) подходит, а правый \(x=2+\sqrt{m+1}>2\) не подходит. Значит, на левой части графика при любом \(m>-1\) получается одно пересечение.

2) Правая часть: \(f(x)=2x-1\) при \(x>2\).

Это возрастающая прямая. Уравнение \(2x-1=m\) даёт

\(x=\dfrac{m+1}{2}\).

Чтобы точка принадлежала правой части, нужно \(x>2\), то есть

\(\dfrac{m+1}{2}>2 \Rightarrow m>3\).

Значит, правая часть даёт:

• 0 пересечений при \(m\le 3\),
• 1 пересечение при \(m>3\).

Теперь подберём уровень \(m\), при котором общее число пересечений равно 3.

С левой частью мы всегда получаем 1 пересечение при \(m>-1\). Чтобы всего стало 3, правая часть должна дать ещё 2 пересечения. Но правая часть — это линейная функция, она может дать только 0 или 1 пересечение.

Значит, надо внимательнее проверить логику: два пересечения на левой части тоже возможны, если учитывать границу разбиения.

При \(m>-1\) у параболы на всей прямой действительно два корня, а на участке \(x\le 2\) подходит только один. В точке \(x=2\) при \(m=-1\) есть одно касание.

Итак, левая часть не может дать больше одного пересечения. Правая часть тоже не может дать больше одного пересечения. Следовательно, ровно три пересечения невозможны.

Однако это противоречит ответам, значит нужно проверить, не даёт ли точка стыка \(x=2\) пересечение обеим частям одновременно при \(m=3\).

В точке \(x=2\): левая формула даёт \(f(2)=2^2-8+3=-1\), а правая часть в точке \(x=2\) не определена, потому что условие \(x>2\). Значит, общая точка только одна, а не две.

Итак, пересчитаем аккуратно. Чтобы всего было 3 пересечения, одна часть должна дать 2 пересечения, а другая 1 пересечение. Это возможно только если на левой части было бы два подходящих корня, но мы уже видели, что из двух корней квадратного уравнения на промежутке \(x\le 2\) подходит только один. Значит, нужно изменить взгляд: график слева — парабола, но на промежутке \(x\le 2\) она идёт от \(+\infty\) вниз к \(-1\), а потом заканчивается в вершине. Для горизонтальной прямой \(y=m\):

• при \(m>-1\) — одно пересечение слева;
• при \(m=-1\) — одно касание слева;
• при \(m<-1\) — пересечений слева нет.

Справа: одно пересечение только при \(m>3\).

Следовательно, возможны только общее число пересечений 0, 1 или 2, но не 3.

Ответ: таких значений \(m\) не существует.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала отдельно посмотрите на каждую часть графика и выясните, сколько пересечений может дать каждая из них. Очень частая ошибка — считать по формуле корни на всей прямой, не учитывая ограничение на \(x\). В задачах с кусочной функцией это особенно важно: лишние корни нужно обязательно отбросить.

Рассмотрим график функции y = |x^2 - 4x - 5| и разберёмся, почему ответ именно 4.

Сначала полезно вспомнить, как выглядит функция без модуля: y = x^2 - 4x - 5. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём её нули:

x^2 - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0, значит, x = -1 и x = 5.

Значит, исходная парабола пересекает ось Ox в двух точках и между этими корнями лежит ниже оси Ox. А теперь важно учесть модуль: все отрицательные значения функции отражаются вверх. То есть часть графика, которая была ниже оси Ox, после взятия модуля окажется над осью и «поднимется» вверх симметрично относительно оси Ox.

Теперь нужно понять, сколько раз горизонтальная прямая y = c может пересечь такой график максимально. Максимум достигается, когда прямая проходит через уровень, на котором график имеет две части: одну от верхней ветви параболы и ещё одну от отражённой части. Для функции вида |квадратичная функция| это возможно максимум в четырёх точках.

Почему не больше? У квадратного трёхчлена уравнение f(x) = c может иметь не более двух решений, и уравнение f(x) = -c тоже не более двух решений. А уравнение |f(x)| = c равносильно системе двух уравнений:

f(x) = c и f(x) = -c.

Значит, общее число решений не может превышать 4. Для подходящего положительного значения c это число действительно достигается: одна горизонтальная прямая пересечёт график дважды на правой и левой части верхней ветви и ещё дважды на отражённой внутренней части.

Ответ: 4.

Частая ошибка на ОГЭ — забыть, что модуль удваивает возможные пересечения: нужно учитывать и уровень f(x)=c, и уровень f(x)=-c. Ещё одна ошибка — считать только исходную параболу, не отражая отрицательную часть вверх. Чтобы не потерять балл, всегда делайте короткий анализ: 1) сколько корней у квадратичной функции; 2) как модуль меняет график; 3) сколько максимум решений дают уравнения f(x)=c и f(x)=-c.