Периметр, расстояние и углы на решётке: задания с ответами

Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. В задачах на клетчатой решётке самое удобное решение — посмотреть, сколько клеток отделяет центр от окружности по горизонтали или по вертикали, если точка лежит на одной линии сетки с центром.

В условии сказано, что от центра O до точки пересечения окружности с горизонтальной линией сетки вправо расстояние равно 6 клеткам. Это и есть радиус, потому что эта точка лежит на окружности, а от центра до окружности расстояние всегда одинаково.

Значит, радиус окружности равен 6.

Почему так решается именно в таких задачах? На клетчатой сетке часто не нужно строить сложные вычисления: если окружность изображена так, что радиус идёт вдоль линии сетки, достаточно просто посчитать клетки. Это один из самых быстрых способов получить ответ на ОГЭ.

Частая ошибка: путать радиус с диаметром. Диаметр — это расстояние через центр от одной точки окружности до другой, то есть он в 2 раза больше радиуса. Здесь же дано расстояние только от центра до окружности, значит это именно радиус, а не диаметр.

Ответ: 6.

Рассмотрим, что такое высота треугольника. Высота — это отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно к противоположной стороне. Здесь нужно найти высоту из точки C к стороне AB.

Координаты точек: A(1;1), B(7;1), C(4;5). Заметим важную особенность: у точек A и B одинаковая ордината, значит сторона AB лежит на прямой y = 1, то есть это горизонтальная прямая.

Если сторона горизонтальна, то перпендикуляр к ней — вертикальный отрезок. Поэтому высота из точки C опускается вертикально вниз на прямую y = 1. Её длина равна разности ординат точки C и прямой AB:

h = 5 - 1 = 4.

Можно рассуждать и геометрически: если опустить из точки C перпендикуляр к стороне AB, то основание высоты будет в точке с той же абсциссой, что и C, то есть на линии x = 4. Но для длины достаточно просто увидеть расстояние по вертикали до прямой y = 1.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте высоту с медианой: медиана идёт к середине стороны, а высота — перпендикулярна стороне.
• Если сторона горизонтальная, длина высоты находится как разность ординат.
• Если сторона вертикальная, длина высоты находится как разность абсцисс.
• Если сторона наклонная, нужно использовать формулу расстояния от точки до прямой или аккуратное геометрическое построение.

В этой задаче всё проще, потому что сторона AB лежит на горизонтальной прямой. Значит, ответ можно найти быстро, без сложных вычислений.

Если две окружности концентрические, то у них один и тот же центр. В таком случае расстояние между окружностями понимают как разность их радиусов: нужно узнать, насколько дальше от центра расположена большая окружность по сравнению с меньшей.

В задаче дано:

• радиус меньшей окружности: 3 клетки;
• радиус большей окружности: 7 клеток.

Тогда расстояние между окружностями равно:

7 − 3 = 4 (клетки).

Значит, правильный ответ — 4.

Почему нельзя складывать радиусы? Сумма радиусов нужна в других задачах, например, если речь идёт о расстоянии между центрами двух окружностей, расположенных снаружи друг от друга при касании. Но когда окружности имеют общий центр, нас интересует именно разница расстояний от этого центра.

Частая ошибка — взять не радиусы, а диаметры. Диаметр здесь не нужен. Даже если его найти, потом всё равно придётся делить пополам, а это только увеличивает риск ошибки. На ОГЭ лучше сразу работать с радиусами.

Полезный алгоритм для таких задач:

1. Убедиться, что окружности концентрические, то есть центр один.
2. Определить радиус каждой окружности по клеткам.
3. Вычесть меньший радиус из большего.

В этой задаче: 7 − 3 = 4.

Найдём периметр треугольника ABC, то есть сложим длины всех его сторон: AB + BC + CA.

1. Найдём сторону AB.
Точки A(-2,0) и B(2,0) лежат на одной горизонтальной прямой, значит длина отрезка равна разности их абсцисс:
AB = 2 - (-2) = 4.

2. Найдём сторону AC.
От точки A(-2,0) до точки C(0,3) нужно пройти на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Это катеты прямоугольного треугольника, поэтому используем теорему Пифагора:
AC = √(2² + 3²) = √13.

3. Найдём сторону BC.
От точки B(2,0) до точки C(0,3) нужно пройти на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх. Длина не меняется от знака направления, поэтому:
BC = √(2² + 3²) = √13.

4. Сложим стороны.
P = AB + AC + BC = 4 + √13 + √13 = 4 + 2√13.

Ответ: 4 + 2√13.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте число клеток по горизонтали и вертикали с длиной наклонной стороны. Для наклонного отрезка нельзя просто сложить 2 и 3 — нужно применять теорему Пифагора. Ещё одна частая ошибка — забыть, что периметр включает все три стороны.

Чтобы найти длину отрезка между двумя точками на квадратной решётке, удобно использовать формулу расстояния между точками.

Сначала определим, на сколько клеток точки отличаются по горизонтали и по вертикали:

• по горизонтали: от 2 до 6 — это 4 клетки;
• по вертикали: от 1 до 4 — это 3 клетки.

Теперь мысленно получаем прямоугольный треугольник, где отрезок AB — это гипотенуза, а катеты равны 4 и 3. Тогда по теореме Пифагора:

AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Частая ошибка на ОГЭ — просто сложить 4 и 3 и получить 7. Так делать нельзя: расстояние по диагонали считается не сложением, а через квадратный корень из суммы квадратов смещений. Ещё одна типичная ошибка — перепутать координаты или знак разности. Но в этой задаче знак неважен, потому что смещения возводятся в квадрат. Главное — правильно посчитать, сколько клеток нужно пройти по горизонтали и по вертикали.

Полезный алгоритм для таких заданий: 1) найти горизонтальное смещение; 2) найти вертикальное смещение; 3) возвести их в квадрат; 4) сложить; 5) извлечь корень. Если смещения образуют классическую тройку 3–4–5, ответ можно сразу распознать как 5.

Найдём периметр треугольника как сумму длин его сторон:

1) Сторона AB лежит горизонтально: точки A(1,1) и B(5,1) имеют одинаковую ординату, значит длина равна разности абсцисс:

|5 - 1| = 4.

2) Сторона AC лежит вертикально: точки A(1,1) и C(1,4) имеют одинаковую абсциссу, значит длина равна разности ординат:

|4 - 1| = 3.

3) Сторона BC — наклонная. Для неё используем теорему Пифагора. Между точками B(5,1) и C(1,4) горизонтальное смещение равно 4, вертикальное — 3. Тогда:

BC = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

4) Периметр:

P = AB + AC + BC = 4 + 3 + 5 = 12.

Ответ: 12.

Как это делать на ОГЭ: сначала посмотрите, какие стороны идут по линиям сетки. Если сторона горизонтальная или вертикальная, её длина находится сразу по клеткам. Если сторона наклонная, надо брать два смещения — по горизонтали и по вертикали — и применять теорему Пифагора. Частая ошибка — считать наклонную сторону просто по количеству клеток вдоль одной линии или забывать, что периметр это сумма всех трёх сторон, а не только двух видимых.

Чтобы найти периметр треугольника на координатной плоскости (или на квадратной решётке), нужно последовательно найти длины всех трёх сторон и затем сложить их.

1. Найдём длину стороны AB.
Точки A(1,1) и B(7,1) лежат на одной горизонтали, значит расстояние между ними равно разности абсцисс: 7 − 1 = 6. Поэтому AB = 6.

2. Найдём длину стороны AC.
От точки A до точки C нужно пройти на 3 клетки вправо и на 4 клетки вверх. Это можно увидеть по координатам: от (1,1) до (4,5) изменение по x равно 3, по y равно 4. Тогда по теореме Пифагора:
AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

3. Найдём длину стороны BC.
От B(7,1) до C(4,5) изменение по x равно 3 клетки влево, по y равно 4 клетки вверх. Значит длина стороны такая же:
BC = √(3² + 4²) = 5.

4. Найдём периметр.
Периметр — это сумма длин всех сторон:
P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Если сторона горизонтальная или вертикальная, не нужно применять Пифагора — достаточно просто посчитать клетки.
• Если сторона наклонная, удобно сначала найти приращения по x и y, а затем использовать прямоугольный треугольник.
• Не забудьте сложить все три стороны, а не только две.

Частая ошибка: считать по диагонали клетки как обычные клетки. Для наклонных отрезков нужно учитывать и горизонтальный, и вертикальный сдвиг.

Найдём длины всех сторон треугольника по координатам вершин. На клетчатой решётке с шагом 1 расстояние между двумя узлами удобно находить либо как обычное расстояние между точками, либо, если сторона наклонная, через прямоугольный треугольник.

1) Сторона AB. Точки A(1,1) и B(5,1) лежат на одной горизонтали, значит длина AB равна разности их абсцисс: 5 - 1 = 4.

2) Сторона AC. От точки A(1,1) до точки C(3,4) нужно пройти на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Тогда AC — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3. По теореме Пифагора:

AC = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.

3) Сторона BC. От B(5,1) до C(3,4) нужно пройти на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх. Длина стороны такая же:

BC = √(2² + 3²) = √13.

4) Периметр. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:

P = AB + AC + BC = 4 + √13 + √13 = 4 + 2√13.

Ответ: 4 + 2√13.

Как не ошибиться на ОГЭ: не нужно складывать количество клеток по диагонали как 2 + 3 = 5 — это неверно. Для наклонной стороны сначала находят горизонтальный и вертикальный “шаги”, а потом применяют теорему Пифагора. Ещё одна частая ошибка — забыть одну из сторон при вычислении периметра.

Найдём периметр треугольника, то есть сумму длин его сторон. Здесь удобно сначала определить, какие стороны уже можно найти сразу по клеткам, а для наклонной стороны применить теорему Пифагора.

1. Сторона AB. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтали, значит длина отрезка равна разности абсцисс: 7 - 1 = 6.

2. Сторона AC. Между точками A(1;1) и C(4;5) смещение по горизонтали равно 4 - 1 = 3, а по вертикали — 5 - 1 = 4. Значит, сторона AC — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора:

AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

3. Сторона BC. Для точек B(7;1) и C(4;5) смещения такие же: по горизонтали 7 - 4 = 3, по вертикали 5 - 1 = 4. Поэтому

BC = √(3² + 4²) = 5.

4. Периметр. Складываем все стороны:

P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Как не потерять баллы на ОГЭ: 1) не путайте длину по клеткам с координатной разностью; 2) для горизонтальных и вертикальных отрезков Пифагор не нужен; 3) если сторона наклонная, сначала найдите катеты по клеткам, а потом аккуратно примените формулу √(a²+b²); 4) после вычислений обязательно проверьте, что все три стороны учтены в периметре.

В таких задачах на клетчатой решётке сначала нужно внимательно определить, какие стороны треугольника являются катетами. Если треугольник прямоугольный и его катеты лежат вдоль линий сетки, то их длины можно сразу взять по числу клеток: в условии это 6 и 8.

Дальше находим гипотенузу по теореме Пифагора:

$c^2=6^2+8^2$

$c^2=36+64=100$

Значит, $c=10$.

Теперь складываем все стороны треугольника:

$6+8+10=24$

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ОГЭ: не забывайте, что периметр — это сумма всех трёх сторон, а не только катетов. Ещё одна частая ошибка — сразу писать длину диагонали по клеткам без теоремы Пифагора. Даже если ответ получается «красивым», его нужно обосновать вычислением.

Чтобы найти длину отрезка между двумя точками на квадратной решётке, удобно использовать теорему Пифагора. Сначала нужно понять, на сколько клеток точки смещены по горизонтали и по вертикали.

Для точек A(2; 1) и B(7; 5) получаем:

по оси x: 7 − 2 = 5,
по оси y: 5 − 1 = 4.

Это значит, что между точками можно построить прямоугольный треугольник с катетами 5 и 4. Тогда длина отрезка AB — это гипотенуза:

AB = √(5² + 4²) = √(25 + 16) = √41.

Значит, правильный ответ — √41.

Важно не допустить типичных ошибок:

• не складывать смещения как 5 + 4 — это не длина отрезка;
• не забывать квадратный корень в конце;
• не путать координаты и количество клеток: сначала считают разности по осям, потом применяют формулу.

На ОГЭ такие задачи решаются быстро, если действовать по алгоритму: 1) найти горизонтальное и вертикальное смещение; 2) записать теорему Пифагора; 3) аккуратно упростить корень. Это помогает получить лёгкий балл без лишних вычислений.

Ищем кратчайшее расстояние от точки до прямой. В геометрии это всегда перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Это очень важная идея для ОГЭ: нельзя брать просто длину наклонного отрезка до любой точки на прямой, потому что он не будет самым коротким.

Сначала найдём уравнение прямой AC. Точки A(1;1) и C(5;3) задают направление прямой. Её угловой коэффициент равен (3-1)/(5-1)=2/4=1/2. Значит, уравнение можно записать так: y-1=(1/2)(x-1). Умножим на 2: 2y-2=x-1, то есть x-2y+1=0.

Теперь используем формулу расстояния от точки B(x_0;y_0) до прямой Ax+By+C=0:

d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}

Подставим B(2;5) в уравнение x-2y+1=0:
числитель: |2-2·5+1|=|-7|=7;
знаменатель: \sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5.

Получаем d=7/\sqrt5. Если рационализовать знаменатель, то d=7\sqrt5/5. Это и есть правильный ответ.

Как не ошибиться на экзамене:

• Не путайте расстояние до прямой с расстоянием до точки на этой прямой.
• Если прямая наклонная, не пытайтесь считать расстояние по клеткам вдоль ломаной — нужен именно перпендикуляр.
• Проверяйте знак в формуле: в модуле он не важен, поэтому в ответе расстояние всегда неотрицательно.

Ответ: 7/\sqrt5.