Площадь фигур на клетчатой сетке (формулы): задания с ответами

Удобнее всего заметить, что фигура — это трапеция: нижнее основание AB горизонтальное, верхнее основание DC тоже горизонтальное, а боковые стороны наклонные.

1) Найдём длины оснований. Координаты точек A(1;1) и B(6;1) отличаются по x на 5, значит AB = 5. Точки D(2;4) и C(5;4) дают DC = 3.

2) Найдём высоту трапеции. Основания лежат на прямых y = 1 и y = 4, значит расстояние между ними равно 4 - 1 = 3. Это и есть высота: h = 3.

3) Используем формулу площади трапеции:

S = ((a + b) / 2) · h,

где a и b — основания, h — высота. Получаем:

S = ((5 + 3) / 2) · 3 = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Почему этот способ хороший для ОГЭ? Если фигура на клетчатой сетке похожа на трапецию, прямоугольник или треугольник, часто проще не считать клетки по отдельности, а сразу использовать известную формулу. Это экономит время и уменьшает риск ошибки.

Частые ошибки:

• путают длину основания с координатой точки;

• забывают, что высота — это не наклонная сторона, а расстояние между параллельными прямыми;

• считают клетки «на глаз» и получают неправильный ответ, если фигура скошена.

На экзамене всегда полезно сначала определить, к какой простой фигуре относится рисунок, а потом выбрать формулу.

Здесь фигура задана координатами вершин, и все вершины лежат в узлах клетчатой сетки. Это очень типичный формат для ОГЭ: площадь можно найти не только по рисунку, но и по координатам.

Шаг 1. Определим форму фигуры.
Точки A(1;1) и B(6;1) лежат на одной горизонтальной прямой, значит нижняя сторона AB горизонтальна. Точки D(2;4) и C(5;4) тоже лежат на одной горизонтальной прямой, значит верхняя сторона DC горизонтальна. Получается трапеция с параллельными основаниями AB и DC.

Шаг 2. Найдём длины оснований.
Длина отрезка AB равна разности абсцисс: 6 − 1 = 5.
Длина отрезка DC равна 5 − 2 = 3.

Шаг 3. Найдём высоту трапеции.
Основания лежат на прямых y = 1 и y = 4, значит расстояние между ними равно 4 − 1 = 3. Это и есть высота.

Шаг 4. Применим формулу площади трапеции.
S = (a + b) / 2 · h, где a и b — основания, h — высота.
Подставляем: S = (5 + 3) / 2 · 3 = 8 / 2 · 3 = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Как проверить себя: если фигура на клетчатой сетке выглядит симметрично по вертикали и верхнее основание короче нижнего, площадь должна быть разумной, не слишком большой и не слишком маленькой. В этой задаче можно было бы ещё разбить фигуру на прямоугольник и два одинаковых треугольника, но формула трапеции даёт самый быстрый путь.

Частые ошибки:

• путают длину стороны с разностью ординат, хотя для горизонтального отрезка нужно сравнивать абсциссы;
• забывают, что высота трапеции — это перпендикулярное расстояние между основаниями;
• считают по клеткам «на глаз» и теряют половинки клеток на границе.

На ОГЭ удобно сначала узнавать, не является ли фигура прямоугольником, треугольником, трапецией или их комбинацией. Если это возможно, используйте формулу — так меньше шансов ошибиться в счёте.

Удобнее всего заметить, что фигура здесь состоит из двух простых частей: прямоугольника и треугольника. Такой способ на ОГЭ часто быстрее и надёжнее, чем пытаться считать все клетки по отдельности.

1. Найдём размеры основания. Точки A и B лежат на одной горизонтали y = 1, значит нижняя сторона AB — горизонтальный отрезок. Его длина равна 6 - 1 = 5.

2. Найдём высоту фигуры. Верхние точки C и D лежат на горизонтали y = 5. Расстояние от нижней стороны до верхней равно 5 - 1 = 4. Это и есть высота всей фигуры.

3. Разобьём фигуру. Если провести вертикали из точек D(2;5) и C(4;5) вниз к основанию, то видно, что фигура состоит из:

• среднего прямоугольника шириной 4 и высотой 4;
• двух равных прямоугольных треугольников по бокам.

Но ещё проще увидеть, что вся фигура помещается в прямоугольник 5 × 4, а по углам сверху слева и справа «срезаны» два треугольника.

4. Площадь большого прямоугольника: 5 · 4 = 20.

5. Площадь срезанных треугольников. Слева и справа основания этих треугольников равны по 1, а высота каждого равна 4. Тогда площадь каждого треугольника:

(1 · 4) / 2 = 2.

Таких треугольников два, значит их суммарная площадь равна 4.

6. Площадь фигуры: 20 - 4 = 16.

Ответ: 16.

Как не ошибиться на экзамене: если фигура дана на клетчатой сетке, всегда можно либо считать целые и половинки клеток, либо разбить её на прямоугольники и треугольники. Ошибка чаще всего возникает, когда забывают вычесть лишние части или неверно считают длину сторон по клеткам. Здесь все вершины стоят в узлах, поэтому длины удобно находить как разность координат.

Удобнее всего найти площадь такой фигуры способом дополнения до прямоугольника.

Сначала посмотрим, в какой прямоугольник помещается многоугольник. Его можно дополнить до прямоугольника с вершинами (1,1), (6,1), (6,6), (1,6). У этого прямоугольника стороны имеют длины 5 и 5, значит его площадь равна 25.

Теперь найдём, что лишнее внутри этого прямоугольника не входит в многоугольник. В правом верхнем углу вырезан прямоугольник с вершинами (4,4), (6,4), (6,6), (4,6). Его стороны равны 2 и 2, значит площадь этого выреза равна 4.

Тогда площадь искомого многоугольника:

25 - 4 = 21.

Ответ: 21.

Почему это хороший приём на ОГЭ: если фигура не является сразу прямоугольником или треугольником, её часто удобно достроить до простого прямоугольника и вычесть лишнюю часть. Это быстрее, чем пытаться считать по клеткам одну за другой.

Частые ошибки:

• Забывают, что клетка имеет площадь 1, и начинают считать стороны как количество клеток неправильно.
• Считают площадь внешнего прямоугольника, но не вычитают вырезанную часть.
• Ошибаются в размерах выреза: надо внимательно смотреть, какие координаты задают его стороны.

На экзамене всегда полезно сделать короткую проверку: если фигура занимает почти весь квадрат 5×5, то площадь должна быть немного меньше 25. Ответ 21 выглядит разумно и соответствует рисунку.

Удобнее всего найти площадь фигуры на клетчатой сетке через разбиение на простые части. Здесь вершины A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтали, а вершины D(2;5) и C(5;5) — тоже на одной горизонтали. Значит, фигуру можно рассматривать как трапецию с основаниями AB и DC.

1) Найдём длины оснований:

AB = 7 - 1 = 6,

DC = 5 - 2 = 3.

2) Высота трапеции — это расстояние между прямыми y = 1 и y = 5, то есть

h = 5 - 1 = 4.

3) Применим формулу площади трапеции:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания трапеции.

Тогда

S = (6 + 3) / 2 · 4 = 9 / 2 · 4 = 18.

Ответ: 18.

Почему так можно: когда у фигуры есть пара параллельных сторон, часто выгодно искать площадь по формуле трапеции. На ОГЭ это быстрее, чем считать все клеточки по отдельности.

Частые ошибки:

• перепутать основание и высоту; важно помнить, что высота — это не наклонная сторона, а расстояние между параллельными прямыми;
• забыть, что сторона клетки равна 1, поэтому длины отрезков в координатах равны разности координат;
• считать площадь прямоугольника 6·4 или 3·4 и забывать, что фигура не прямоугольная.

Совет для экзамена: если на рисунке видно, что две стороны параллельны, сначала проверяйте, не подходит ли формула трапеции. Это часто самый короткий путь к верному ответу.

Удобнее всего найти площадь такой фигуры, если заметить, что она состоит из двух прямоугольников.

Рассмотрим вершины по порядку: из точки A(1;1) идём вправо до B(5;1), затем вверх до C(5;4), потом влево до D(3;4), вниз до E(3;2), и наконец влево и вверх возвращаемся в точку A. Получается «ступенька».

Разобьём фигуру на части:

• нижний прямоугольник шириной 4 клетки и высотой 1 клетка: его площадь равна 4·1 = 4;
• верхний левый прямоугольник шириной 2 клетки и высотой 2 клетки: его площадь равна 2·2 = 4.

Складываем площади частей: 4 + 4 = 8.

Ответ: 8.

Важно: в задачах на клетчатой сетке часто ошибаются, если считают только целые клетки на глаз и забывают про разбиение фигуры на простые прямоугольники. Ещё одна частая ошибка — перепутать координаты вершин или не заметить, что фигура имеет «вырез». На ОГЭ лучше всего сначала определить, можно ли разбить фигуру на прямоугольники, треугольники или трапеции. Это обычно самый надёжный способ.

У трапеции удобно сначала определить, какие стороны являются основаниями. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтальной прямой, значит отрезок AB — нижнее основание. Точки D(3;5) и C(5;5) тоже лежат на одной горизонтальной прямой, значит DC — верхнее основание.

Теперь найдём длины оснований и высоту.

• AB = 7 - 1 = 6.
• DC = 5 - 3 = 2.
• Высота трапеции — это расстояние между прямыми y=1 и y=5, то есть 5 - 1 = 4.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания, h — высота.

Подставляем:

S = (6 + 2) / 2 · 4 = 8 / 2 · 4 = 4 · 4 = 16.

Ответ: 16.

Как это решать на ОГЭ без ошибок: если фигура нарисована на клетчатой сетке и у неё есть горизонтальные стороны, часто выгодно искать именно основания и высоту. Не нужно считать все клетки по одной, если можно быстро применить формулу. Частая ошибка — перепутать высоту с наклонной стороной или взять разность по x вместо разности по y для расстояния между горизонтальными прямыми. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в формулу входят оба основания, а не только одно.

Здесь удобно найти площадь фигуры по разбиению на более простые части. Все вершины лежат в узлах сетки, значит координаты можно использовать как обычные длины в клетках.

Посмотрим на фигуру внимательнее. Основание AB лежит на горизонтальной линии сетки и имеет длину 6 − 1 = 5 клеток. Верхняя сторона CD тоже горизонтальна и имеет длину 5 − 2 = 3 клетки. Расстояние между этими прямыми равно 4 − 1 = 3 клеткам. Значит фигура — трапеция.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания, h — высота.

Подставим значения:

S = (5 + 3) / 2 · 3 = 8 / 2 · 3 = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Как можно проверить себя? На клетчатой сетке полезно мысленно разбивать фигуру на прямоугольник и два треугольника или сразу узнавать простую фигуру, например трапецию. Частая ошибка — перепутать длину стороны с высотой. Высота в трапеции — это не наклонная сторона, а расстояние между параллельными основаниями, то есть здесь именно 3 клетки.

Ещё одна типичная ошибка — считать клетки по вершинам, а не по промежуткам между ними. Если сторона идёт от точки с координатой 1 до точки с координатой 6, то длина равна 5, а не 6. На ОГЭ это важно, потому что ответ часто теряется именно из-за такой невнимательности.

Полезный приём: если фигура на сетке похожа на трапецию, прямоугольник, треугольник или их комбинацию, сначала попробуйте узнать знакомую форму и применить формулу. Это обычно быстрее и надёжнее, чем считать все клетки по отдельности.

Используем формулу площади треугольника через основание и высоту:

S = 1/2 · a · h.

Сначала посмотрим на удобное основание. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтальной линии, значит отрезок AB можно взять за основание. Его длина равна разности координат по оси x:

AB = 7 - 1 = 6.

Теперь найдём высоту. Вершина C(4;5) находится на 4 клетки выше линии y = 1, потому что основание AB лежит на уровне y = 1, а у точки C координата y = 5. Значит высота треугольника равна:

h = 5 - 1 = 4.

Подставляем в формулу:

S = 1/2 · 6 · 4 = 12.

Ответ: 12.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

• Сначала выберите сторону, которая лежит горизонтально или вертикально — так легче найти основание.
• Высота к такому основанию тоже будет горизонтальной или вертикальной, поэтому её удобно считать по клеткам.
• Не путайте длину основания с количеством точек: считать нужно именно клетки (разность координат).
• Если фигура нарисована на сетке, всегда можно проверить ответ: площадь должна быть меньше площади прямоугольника, в который помещается треугольник.

Частая ошибка: ученики берут за высоту наклонную сторону или считают высоту «на глаз». Но высота всегда перпендикулярна основанию. В этой задаче основание горизонтальное, значит высота должна быть вертикальной.

У прямоугольного треугольника площадь находят по формуле

S = (a · b) / 2,

где a и b — катеты, то есть две стороны, образующие прямой угол.

В задаче сказано, что катет AB = 8 клеток, а катет AC = 5 клеток. Значит, нужно подставить эти значения в формулу:

S = (8 · 5) / 2 = 40 / 2 = 20.

Итак, площадь треугольника равна 20.

Почему часто ошибаются? Некоторые учащиеся видят две стороны и умножают их, получая 40, но забывают, что треугольник — это половина прямоугольника с такими же сторонами. Поэтому обязательно нужно делить результат пополам.

Как быстро проверять себя на ОГЭ:

• найди прямой угол;
• посчитай длины катетов в клетках;
• применяй формулу S = ab/2;
• не забудь поделить произведение на 2.

Удобнее всего найти площадь фигуры, если разбить её на простые части или воспользоваться координатным способом. Здесь вершины лежат в узлах сетки, а значит можно считать площадь по клеткам.

Рассмотрим фигуру как трапецию с параллельными сторонами сверху и снизу.

• Нижнее основание: от точки слева до точки справа 4 клетки.
• Верхнее основание: от верхней левой точки до верхней правой точки 2 клетки.
• Высота: от верхней стороны до нижней стороны 6 клеток.

Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания, h — высота.

Подставляем:

S = (4 + 2) / 2 · 6 = 3 · 6 = 18.

Но здесь важно не ошибиться: фигура на рисунке не является трапецией в обычном виде, если смотреть только на внешнюю форму, поэтому лучше проверять площадь по клеткам или разбиением. Разобьём фигуру на прямоугольник и два треугольника:

• прямоугольная средняя часть: 2 × 6 = 12;
• левая треугольная часть: основание 2, высота 6, площадь 6;
• правая треугольная часть: основание 2, высота 6, площадь 6.

Но эти треугольники вместе с прямоугольником дают слишком большую площадь, значит такое разбиение не соответствует контуру фигуры. Это типичная ошибка: ученик смотрит только на отдельные отрезки и не проверяет, какие части действительно входят в многоугольник.

Посчитаем корректно по координатам вершин: возьмём клетки за единицу и запишем точки как (2;8), (4;2), (8;4), (6;8). Тогда по формуле площади многоугольника получаем:

S = 30.

Следовательно, правильный ответ — 30.

Как не потерять баллы на таких задачах:

• сначала отметьте, сколько клеток приходится на основания и высоту;
• если фигура наклонная, не пытайтесь считать только целые клетки — учитывайте половинки;
• проверяйте результат здравым смыслом: площадь не может быть меньше числа целых клеток внутри фигуры и не должна сильно расходиться с оценкой по разбиению.

В этой задаче верный ответ: 30.

Удобнее всего найти площадь такой фигуры, если мысленно разбить её на прямоугольники. Здесь многоугольник можно рассматривать как большой прямоугольник, из которого вырезан маленький прямоугольник.

1. Найдём площадь большого прямоугольника.
Если взять внешнюю границу от точки A до точки C, то получим прямоугольник со сторонами 4 и 3: по оси x от 1 до 5 — это 4 клетки, по оси y от 1 до 4 — это 3 клетки. Его площадь равна
4 · 3 = 12.

2. Найдём площадь вырезанной части.
В правом верхнем углу из этого прямоугольника убран маленький прямоугольник со сторонами 2 и 1: по оси x от 3 до 5 — 2 клетки, по оси y от 3 до 4 — 1 клетка. Его площадь равна
2 · 1 = 2.

3. Вычтем лишнюю часть.
Площадь исходного многоугольника:

12 - 2 = 10.

Ответ: 10.

Почему это важно на ОГЭ?
Для фигур на клетчатой сетке не всегда нужно считать каждую клетку по отдельности. Часто быстрее и надёжнее увидеть прямоугольник, треугольник или другую простую фигуру, а затем сложить или вычесть площади. Это особенно полезно, если стороны фигуры идут по линиям клеток.

Типичные ошибки:

• считают только целые клетки и забывают, что фигуру можно разбить удобнее;
• ошибаются в количестве клеток по горизонтали или вертикали;
• не замечают, что часть фигуры нужно вычесть, а не прибавить;
• путают площадь и периметр.

Как не потерять балл: сначала найдите самую простую фигуру, внутри которой лежит многоугольник, потом определите, какую часть надо убрать. На клетчатой сетке это почти всегда самый быстрый способ.