Геометрическая прогрессия: задания с ответами

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁·qⁿ⁻¹.

Здесь дан первый член b₁ = 3, знаменатель q = 2 и нужно найти шестой член, то есть b₆.

Подставляем значения в формулу:

b₆ = 3·2⁶⁻¹ = 3·2⁵.

Теперь вычисляем степень: 2⁵ = 32.

Тогда b₆ = 3·32 = 96.

Ответ: 96.

Частая ошибка на ОГЭ — поставить в степень 6 вместо 5. В формуле всегда степень равна n−1, а не n. Ещё одна ошибка — перепутать геометрическую прогрессию с арифметической: здесь каждый следующий член получают умножением на одно и то же число q, а не прибавлением.

Полезный алгоритм на экзамене такой: 1) выписать формулу; 2) аккуратно заменить b₁, q и n; 3) сначала найти степень, потом умножить. Если делать именно в таком порядке, легко избежать вычислительных ошибок и не потерять простой балл.

Для геометрической прогрессии используют формулу n-го члена:

b_n = b₁ · q^n-1.

Здесь дано: b₁ = 5, q = 2, нужно найти b₆. Подставляем номер члена в формулу:

b₆ = 5 · 2^6-1 = 5 · 2⁵.

Теперь вычисляем степень: 2⁵ = 32. Тогда

b₆ = 5 · 32 = 160.

Ответ: 160.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают показатель степени и вместо n-1 подставляют n. Это типичная ошибка. Для шестого члена нужно возводить знаменатель в пятую степень, потому что первый член уже соответствует q⁰. Ещё одна частая ошибка — не до конца вычислить степень перед умножением. Удобно сначала отдельно найти q^n-1, а потом умножить на b₁.

Используем основную формулу n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ · q^n-1.

По условию известно, что b₄ = 54, а знаменатель прогрессии q = 3. Подставим эти данные в формулу:

54 = b₁ · 3^4-1.

Сначала вычислим показатель степени: 4 - 1 = 3. Тогда получаем:

54 = b₁ · 3³ = b₁ · 27.

Теперь выразим b₁, разделив обе части уравнения на 27:

b₁ = 54 / 27 = 2.

Ответ: 2.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забудьте, что в формуле стоит степень n - 1, а не n;
• сначала подставляйте числа в формулу, а потом выполняйте вычисления;
• если нужно найти первый член, делите известный член на q^n-1, а не на сам q;
• проверяйте ответ: если b₁ = 2, то 2 · 3³ = 54, значит, всё верно.

Используем основное свойство геометрической прогрессии: каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q — знаменатель прогрессии.

Нам даны два члена: b₄ = 24 и b₇ = 192. Между ними три шага: от 4-го к 5-му, от 5-го к 6-му и от 6-го к 7-му. Значит,

b₇ = b₄ · q³.

Подставим известные значения:

192 = 24 · q³.

Разделим обе части на 24:

q³ = 8.

Тогда q = 2, потому что 2³ = 8.

Теперь найдём b₅. Это следующий член после b₄, значит:

b₅ = b₄ · q = 24 · 2 = 48.

Ответ: 48.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала внимательно посчитайте, сколько шагов между известными членами. Частая ошибка — взять степень 2 вместо 3. Затем находите q из уравнения и только после этого подставляете его в формулу для нужного члена. Если перепутать геометрическую прогрессию с арифметической, можно получить неверный ответ.

Используем основную формулу n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ · q^n-1.

Нам известны: b₄ = 54 и q = 3. Подставим эти данные в формулу:

54 = b₁ · 3^4-1 = b₁ · 3³ = b₁ · 27.

Теперь выразим первый член:

b₁ = 54 / 27 = 2.

Ответ: 2.

Почему так делаем? В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q. Поэтому чтобы дойти от первого члена до четвёртого, нужно умножить b₁ на q три раза, то есть на q³. Отсюда и появляется показатель n-1.

Частые ошибки:

• путают формулу и пишут b_n = b₁ · qⁿ — это неверно;
• делят на q, а нужно делить на q^n-1;
• ошибаются в степени: для b₄ нужно q³, а не q⁴.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала всегда выписывайте формулу, затем аккуратно подставляйте номер члена и только после этого находите степень знаменателя. Это помогает избежать типичных ошибок и быстро получать правильный ответ.

Здесь описан геометрический рост: на каждом шаге количество саженцев умножается на одно и то же число, то есть образуется геометрическая прогрессия. Если в начале было a саженцев, а коэффициент роста равен q, то после n шагов получаем формулу:

A = a · qⁿ,

где A — конечное количество, a — начальное количество, q — коэффициент роста, n — число шагов.

В задаче дано: q = 3, n = 4, A = 243. Подставим в формулу:

243 = a · 3⁴.

Вычисляем степень: 3⁴ = 81. Тогда

243 = a · 81.

Чтобы найти начальное количество, нужно разделить конечное количество на множитель роста:

a = 243 / 81 = 3.

Ответ: 3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• если спрашивают начальное количество, обычно нужно делить, а не умножать;
• не перепутайте число шагов: показатель степени — это именно 4;
• сначала найдите qⁿ, потом делите итог на это число.

Типичная ошибка — взять 243 · 3⁴ или 243 / 3. Это неверно, потому что за 4 шага число увеличивалось не один раз, а четыре раза подряд.

Полезный алгоритм для таких задач: записать формулу A = a · qⁿ, подставить известные данные, найти степень и затем выразить a.

Здесь описан процесс геометрического роста: каждый день количество рыбок увеличивается в одно и то же число раз. Это значит, что мы имеем дело с геометрической прогрессией.

Обозначим начальное количество рыбок за a, коэффициент роста за q, а число дней за n. Тогда конечное количество выражается формулой:

A = a · qⁿ.

По условию:

a = 18, q = 3, A = 486.

Подставим в формулу:

486 = 18 · 3ⁿ.

Теперь найдём, во сколько раз конечное количество больше начального:

486 : 18 = 27.

Значит,

3ⁿ = 27.

Так как 27 = 3³, получаем:

n = 3.

Ответ: 3.

Как рассуждать на ОГЭ: если в задаче сказано «увеличивалось в несколько раз каждый шаг», сначала обязательно записывайте формулу A = a · qⁿ. Затем делите конечное значение на начальное и находите степень числа q.

Частые ошибки:

• путают и умножают конечное число на коэффициент роста вместо того, чтобы делить;
• забывают, что n стоит в показателе степени;
• не проверяют, что число должно представляться в виде степени основания.

Такие задания на экзамене помогают быстро получить баллы, если сразу узнавать формулу геометрического роста и аккуратно работать с делением и степенями.

Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется важное свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних.

Если числа идут так: 4, x, 100, то можно записать уравнение:

x² = 4 · 100.

Считаем произведение:

x² = 400.

Теперь находим корни:

x = 20 или x = -20.

Но по условию x должно быть отрицательным, значит подходит только:

x = -20.

Ответ: -20.

Полезно помнить для ОГЭ: в таких задачах сначала всегда пишут уравнение x² = ab, а потом не забывают проверить дополнительное условие. Частая ошибка — найти оба корня и по невнимательности записать положительный, хотя в условии требуется отрицательный. Ещё одна ошибка — пытаться искать средний член как в арифметической прогрессии, то есть по формуле среднего арифметического. Здесь это не подходит: в геометрической прогрессии работает именно произведение крайних членов.

Для решения таких задач нужно помнить формулу n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ · qⁿ⁻¹,

где b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель, а n — номер нужного члена.

В задаче дано: b₁ = 3, q = 2, нужно найти b₆. Значит, подставляем в формулу n = 6:

b₆ = 3 · 2⁶⁻¹ = 3 · 2⁵.

Теперь вычисляем степень: 2⁵ = 32. Тогда

b₆ = 3 · 32 = 96.

Ответ: 96.

Полезно запомнить типичную ошибку: многие по невнимательности ставят в степень n, а не n−1. Это неверно, потому что первый член b₁ уже соответствует нулевой степени: b₁ = b₁ · q⁰. Поэтому для шестого члена степень будет именно 5.

На ОГЭ удобно действовать по короткому алгоритму: 1) выписать формулу; 2) аккуратно подставить b₁, q и номер члена; 3) отдельно посчитать степень; 4) умножить. Так вы снижаете риск ошибки и быстро получаете балл.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии через известный член:

\(b_n=b_k\cdot q^{\,n-k}\).

Здесь удобно взять известный третий член, поэтому:

\(b_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-3}\).

По условию нужно найти такой номер \(n\), при котором

\(12\cdot\left(\frac12\right)^{n-3}=\frac34\).

Решим уравнение по шагам.

1) Разделим обе части на 12:

\(\left(\frac12\right)^{n-3}=\frac{3/4}{12}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}\).

2) Представим \(\frac{1}{16}\) как степень двойки:

\(\frac{1}{16}=\left(\frac12\right)^4\).

Тогда получаем:

\(\left(\frac12\right)^{n-3}=\left(\frac12\right)^4\).

3) Так как основания одинаковые и \(\frac12\neq 1\), приравниваем показатели:

\(n-3=4\), откуда \(n=7\).

Ответ: 7.

Как проверять себя на ОГЭ: подставьте \(n=7\) в формулу: \(b_7=12\cdot(\frac12)^4=12/16=3/4\), всё верно.

Частая ошибка — забыть, что номер члена должен быть натуральным числом. Если после решения получается нецелое число или отрицательное, значит такого члена в прогрессии нет. Ещё одна типичная ошибка — неверно записать формулу, перепутав \(n-3\) и \(3-n\). В геометрической прогрессии важно аккуратно следить за степенью.

Для геометрической прогрессии используется формула n-го члена:

b_n = b₁ · q^n-1.

Здесь дан первый член b₁ = 6, знаменатель q = 2, нужно найти пятый член, то есть b₅.

Подставим значения в формулу:

b₅ = 6 · 2^5-1 = 6 · 2⁴.

Считаем степень: 2⁴ = 16.

Теперь умножаем:

6 · 16 = 96.

Значит, b₅ = 96.

Ответ: 96.

Как не ошибиться на ОГЭ: часто путают формулу геометрической прогрессии с арифметической. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число, а не прибавлением. Ещё одна частая ошибка — взять степень n вместо n-1. В формуле всегда степень именно n-1, потому что первый член b₁ уже дан и не требует умножения на q.

Проверка: если b₁ = 6, то b₂ = 12, b₃ = 24, b₄ = 48, b₅ = 96. Полученный ответ совпадает с последовательным умножением на 2, значит решение верное.

Это задача на геометрическую прогрессию, потому что величина каждый раз умножается на одно и то же число. Здесь начальный объём равен 3 мл, а коэффициент роста за один шаг равен 2.

Шаг 1. Найдём число шагов роста. Один шаг — это 10 минут. За 50 минут произойдёт:

50 : 10 = 5 шагов.

Шаг 2. Применим формулу геометрической прогрессии. Если начальное значение равно a₀, а коэффициент роста — q, то после n шагов получаем:

a = a₀ · qⁿ.

Подставляем данные:

3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96.

Ответ: 96 мл.

Почему это важно для ОГЭ: часто путают количество минут и количество шагов. В формулу нужно подставлять именно число увеличений, а не время. Ещё одна типичная ошибка — умножить только на 2 или на 5 вместо возведения в степень. Если рост происходит много раз подряд, всегда используйте степень.

Как проверить себя: после 1 шага было бы 6 мл, после 2 шагов — 12 мл, после 3 — 24 мл, после 4 — 48 мл, после 5 — 96 мл. Значит, ответ получился реалистичным и верным.