Разложение на множители: задания с ответами

Сначала попробуем разложить многочлен на множители. Для этого удобно сгруппировать слагаемые:

x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x^3 - 4x^2) + (-x + 4).

В каждой группе вынесем общий множитель:

x^2(x - 4) - 1(x - 4).

Теперь видно общий множитель (x - 4):

(x - 4)(x^2 - 1) = 0.

Дальше используем формулу разности квадратов:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Получаем:

(x - 4)(x - 1)(x + 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит:

• x - 4 = 0, откуда x = 4;
• x - 1 = 0, откуда x = 1;
• x + 1 = 0, откуда x = -1.

Ответ: -1, 1, 4.

Почему это важно для ОГЭ: в таких задачах часто путают количество корней. Степень уравнения третья, но это не значит, что обязательно будут три разных корня. Иногда корень повторяется, а иногда после разложения получается меньше различных корней. Поэтому всегда нужно:

1. перенести всё в одну часть и приравнять к нулю;
2. попробовать сгруппировать слагаемые;
3. вынести общий множитель;
4. разложить выражение до конца;
5. приравнять каждый множитель к нулю.

Типичная ошибка: заметить только один множитель, например x - 4, и остановиться. Тогда можно потерять остальные корни 1 и -1. Ещё одна ошибка — неверно раскрыть скобки при проверке. Полезно в конце мысленно подставить найденные значения в исходное уравнение, чтобы убедиться, что все корни подходят.

Решим уравнение аккуратно и без лишних преобразований:

(x-3)² = (x+1)².

Здесь удобно использовать свойство: если два квадрата равны, то сами выражения под квадратом могут быть равны либо противоположны по знаку.

Способ 1. Через разность квадратов

Перенесём всё в одну часть:

(x-3)² - (x+1)² = 0.

Это разность квадратов:

A² - B² = (A-B)(A+B),

где A = x-3, B = x+1.

Тогда

((x-3) - (x+1))((x-3) + (x+1)) = 0.

Упростим скобки:

(-4)(2x-2) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Число -4 не равно нулю, значит остаётся:

2x - 2 = 0, откуда x = 1.

Проверка: (1-3)² = (-2)² = 4, и (1+1)² = 2² = 4. Всё верно.

Ответ один: x = 1.

Почему часто ошибаются?

1) Путают знак при раскрытии скобок: (x-3) - (x+1) нужно писать особенно внимательно, не забывая, что минус перед скобкой меняет знаки внутри.

2) Пытаются сразу извлечь квадратный корень и получают лишние или неполные ответы. В таких заданиях лучше либо разложить на множители, либо приравнять выражения под квадратом: x-3 = x+1 или x-3 = -(x+1). Первое даёт невозможное равенство -3 = 1, второе даёт x = 1.

3) Забывают проверить ответ подстановкой. На ОГЭ это полезно: проверка помогает не потерять балл из-за арифметической ошибки.

Итог: все действительные корни уравнения — только 1.

Решим уравнение аккуратно, используя основной приём темы: перенести всё в одну часть, вынести общий множитель и применить правило нулевого произведения.

Дано уравнение:

(x+2)³ = 4(x+2).

Перенесём правую часть в левую:

(x+2)³ - 4(x+2) = 0.

Теперь видим общий множитель (x+2). Вынесем его за скобки:

(x+2)((x+2)² - 4) = 0.

Далее разложим разность квадратов:

(x+2)((x+2)-2)((x+2)+2) = 0,

то есть

(x+2)x(x+4) = 0.

По правилу нулевого произведения хотя бы один множитель должен быть равен нулю:

• x+2 = 0, тогда x = -2;
• x = 0;
• x+4 = 0, тогда x = -4.

Ответ по возрастанию: -4, -2, 0.

Почему это важно для ОГЭ? В таких заданиях легко потерять корень, который получается из общего множителя (x+2). Некоторые ученики сразу делят на него и теряют корень x=-2. Это ошибка: делить на выражение, которое может быть равно нулю, нельзя без отдельной проверки. Поэтому сначала лучше всё перенести в одну часть и разложить на множители.

Типичные ошибки:

• не перенести правую часть влево и не получить уравнение вида «произведение равно нулю»;
• не заметить общий множитель;
• ошибиться в разложении a²-4 как (a-2)(a+2);
• забыть один из корней.

Итак, правильный ответ: -4, -2, 0.

Ключевая идея таких задач: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Это и есть основной приём разложения на множители в уравнениях.

В уравнении \((x-1)(x+2)(x-3)=0\) уже записано произведение, поэтому ничего дополнительно раскрывать не нужно. Сразу применяем правило нуля произведения:

1) \(x-1=0\), откуда \(x=1\);

2) \(x+2=0\), откуда \(x=-2\);

3) \(x-3=0\), откуда \(x=3\).

Значит, все действительные корни: \(-2, 1, 3\).

Почему это верно? Потому что если бы все три множителя были ненулевыми, их произведение тоже было бы ненулевым. А раз произведение равно нулю, нуль «появляется» хотя бы в одном из множителей.

Частые ошибки:

• забывают один из множителей и теряют корень;

• ошибаются со знаком: например, из \(x+2=0\) пишут \(x=2\) вместо \(x=-2\);

• записывают только один корень, хотя уравнение даёт несколько;

• путают корни с множителями и пытаются писать ответ в виде \((x-1)\), \((x+2)\), \((x-3)\) — но в ответе нужны именно значения \(x\).

Для ОГЭ удобно помнить короткий алгоритм: привести к произведению, приравнять каждый множитель к нулю, решить простые линейные уравнения, проверить ответ. В этой задаче все корни находятся сразу, без дополнительных преобразований.

Решим уравнение методом разложения на множители. Это один из самых полезных приёмов в ОГЭ: если многочлен удаётся представить в виде произведения, то дальше мы решаем уже не одно сложное уравнение, а несколько простых.

Дано:

x³ - 4x² - x + 4 = 0.

Попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы в каждой паре можно было вынести общий множитель:

(x³ - 4x²) + (-x + 4) = 0.

В первой скобке выносим x², во второй — -1:

x²(x - 4) - 1(x - 4) = 0.

Теперь видим общий множитель (x - 4):

(x - 4)(x² - 1) = 0.

Дальше используем формулу разности квадратов:

x² - 1 = (x - 1)(x + 1).

Тогда уравнение принимает вид:

(x - 4)(x - 1)(x + 1) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит:

x - 4 = 0 → x = 4,

x - 1 = 0 → x = 1,

x + 1 = 0 → x = -1.

Ответ: {-1; 1; 4}.

Почему это важно для ОГЭ: в заданиях на разложение на множители часто нужно сначала заметить группировку, а потом не забыть решить каждое получившееся линейное уравнение. Если вы нашли только один множитель и остановились, легко потерять правильные корни.

Частые ошибки:

1) Неправильно группируют слагаемые и не получают общий множитель.

2) Забывают, что x² - 1 раскладывается дальше как разность квадратов.

3) Приравнивают к нулю только один множитель вместо всех.

4) Путают знаки: например, из x + 1 = 0 получают x = 1 вместо x = -1.

Полезный алгоритм на экзамене: 1) попробуйте сгруппировать; 2) вынесите общий множитель; 3) продолжайте раскладывать, если это возможно; 4) каждый множитель приравняйте к нулю; 5) проверьте корни подстановкой, если есть время.

Используем свойство нуля произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

У нас дано уравнение (x-2)(x+3)=0. Значит, нужно рассмотреть два простых уравнения:

1) x-2=0, откуда x=2;

2) x+3=0, откуда x=-3.

Получаем все корни уравнения: -3 и 2.

Почему так можно делать? Потому что если два множителя при перемножении дают 0, то нулём должен быть хотя бы один из них. Это один из самых важных приёмов в задачах на разложение на множители.

Частые ошибки:

• написать только один корень и забыть второй;
• перепутать знак при решении уравнения x+3=0 и написать x=3 вместо x=-3;
• пытаться раскрывать скобки, хотя это не нужно: при таком виде уравнения проще сразу применить свойство нуля произведения.

Совет для ОГЭ: если уравнение уже записано в виде произведения, сначала ищите нули каждого множителя отдельно. Так вы быстрее найдёте все корни и не потеряете баллы на лишних вычислениях.

Сначала внимательно посмотрим на уравнение:

(x-2)³(x+1)= (x-2)²(x+1)².

Здесь в обеих частях есть одинаковые множители, и это как раз типичная задача на сравнение произведений с одинаковыми множителями. Главное правило: нельзя просто “сократить” на выражение, которое может быть равно нулю. Сначала нужно перенести всё в одну часть и разложить на множители, либо аккуратно рассмотреть случаи.

Перенесём всё в левую часть:

(x-2)³(x+1) - (x-2)²(x+1)² = 0.

Вынесем общий множитель (x-2)²(x+1):

(x-2)²(x+1) [(x-2) - (x+1)] = 0.

Теперь упростим скобку:

(x-2) - (x+1) = x - 2 - x - 1 = -3.

Получаем:

-3(x-2)²(x+1)=0.

Так как число -3 не равно нулю, оно на корни не влияет. Значит, нужно приравнять к нулю оставшиеся множители:

(x-2)² = 0 или x+1=0.

Отсюда:

x=2 или x=-1.

Ответ: -1; 2.

Почему это важно для ОГЭ? Многие ученики по ошибке сокращают на общий множитель (x-2)²(x+1) сразу, не проверяя, что он может быть равен нулю. Тогда легко потерять корни x=2 и x=-1. Правильный алгоритм такой: 1) перенести всё в одну часть; 2) вынести общий множитель; 3) разложить разность; 4) применить правило нулевого произведения. Если в произведении есть степень, например (x-2)², это не значит, что корень дважды записывается в ответе. В ответе в ОГЭ обычно пишут различные корни только один раз.

Ключевая идея здесь очень простая: если произведение равно нулю, то хотя бы один из его множителей равен нулю. Это называется правилом нулевого произведения.

В уравнении $(x-2)^3(x+5)=0$ произведение состоит из двух множителей:

• $(x-2)^3$,
• $(x+5)$.

Чтобы произведение было равно нулю, нужно рассмотреть каждый множитель отдельно:

$(x-2)^3=0$ → $x-2=0$ → $x=2$.

$(x+5)=0$ → $x=-5$.

Значит, уравнение имеет два различных корня: $-5$ и $2$. Если в ответе нужно записать набор корней, то порядок обычно берут по возрастанию: $-5, 2$.

Почему нельзя просто «сократить» на $(x-2)$? Потому что при $x=2$ этот множитель равен нулю, а сокращение на выражение, которое может обращаться в ноль, может привести к потере корня. В задачах ОГЭ это одна из самых частых ошибок.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

1. Если видите произведение, приравняйте каждый множитель к нулю.
2. Если есть степень, всё равно достаточно решить уравнение для основания степени: $(x-2)^3=0$ эквивалентно $x-2=0$.
3. Запишите все различные корни, не путая их с кратностью.

Типичные ошибки:

• не заметить один из множителей;
• записать только корень $2$, забыв про $-5$;
• считать кратный корень несколькими разными ответами;
• сократить выражение и потерять решение.

Итак, правильный ответ: $-5$ и $2$.

Сначала нужно привести уравнение к виду произведения множителей. Для этого удобно группировать слагаемые:

\(x^3-4x^2-x+4=(x^3-4x^2)+(-x+4)\).

В первой группе вынесем общий множитель \(x^2\), а во второй — \(-1\):

\(x^2(x-4)-1(x-4)\).

Теперь видно общий множитель \((x-4)\):

\((x-4)(x^2-1)=0\).

Далее используем формулу разности квадратов:

\(x^2-1=(x-1)(x+1)\).

Получаем:

\((x-4)(x-1)(x+1)=0\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит:

\(x-4=0 \Rightarrow x=4\),

\(x-1=0 \Rightarrow x=1\),

\(x+1=0 \Rightarrow x=-1\).

Ответ: \(-1;\,1;\,4\).

Почему это важно на ОГЭ: очень часто ученик правильно находит первый множитель, но забывает разложить второй множитель до конца. Из-за этого теряется один корень. Ещё одна типичная ошибка — неверно раскрыть скобки при проверке. Полезно в конце быстро подставить найденные корни или хотя бы убедиться, что каждый из них действительно обращает исходный многочлен в ноль.

Итак, правильный вариант — тот, где указаны все корни: \(-1;\,1;\,4\).

Сначала уравнение нужно привести к виду «многочлен = 0», но здесь оно уже записано именно так. Значит, следующий шаг — попробовать разложить левую часть на множители.

Заметим, что можно сгруппировать слагаемые:

x³ - 4x² - x + 4 = x²(x - 4) - 1(x - 4).

Теперь в обеих группах есть общий множитель (x - 4). Выносим его за скобки:

x²(x - 4) - 1(x - 4) = (x - 4)(x² - 1).

Получилось произведение двух множителей. Далее используем правило: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Значит, решаем два уравнения:

x - 4 = 0 или x² - 1 = 0.

Из первого уравнения получаем x = 4.

Из второго:

x² - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0,

поэтому x = 1 или x = -1.

Ответ: -1, 1, 4.

Как не потерять балл на ОГЭ: 1) обязательно проверьте, что все слагаемые перенесены в одну часть; 2) не забудьте разложить до конца; 3) после произведения, равного нулю, проверяйте каждый множитель отдельно; 4) записывайте все действительные корни, даже если их несколько. Частая ошибка — найти только один корень, например x = 4, и забыть про корни из квадратного множителя.

Рассмотрим уравнение ${(x-3)}^2={(x+5)}^2$.

Здесь удобно использовать разность квадратов или сразу вспомнить важный факт: если квадраты двух выражений равны, то сами выражения либо равны, либо противоположны по знаку. То есть

$x-3=x+5$ или $x-3=-(x+5)$.

Решим первое уравнение:

$x-3=x+5$.

Переносим $x$ в одну сторону, числа — в другую. Получаем $-3=5$, что неверно. Значит, это уравнение решений не имеет.

Теперь второе уравнение:

$x-3=-x-5$.

Переносим неизвестные влево, числа вправо:

$x+x=-5+3$, то есть $2x=-2$.

Тогда $x=-1$.

Проверим подстановкой: $(-1-3)2^{}$ и $(-1+5)2^{}$ дают одинаковое значение: $16$ и $16$. Значит, корень найден верно.

Ответ: $-1$.

Как не потерять баллы в таких заданиях:

• не раскрывайте квадраты полностью, если можно решить быстрее через равенство или противоположность выражений;
• не забывайте, что у квадратов может быть два случая: $A=B$ и $A=-B$;
• обязательно проверяйте, нет ли лишнего или потерянного корня.

Сначала перенесём всё в одну часть уравнения. Это самый важный шаг в заданиях на разложение на множители: когда справа стоит произведение, а слева — многочлен, удобнее привести уравнение к виду 0 = ....

Имеем:

2x^2 - 7x + 3 - (x - 1)(x - 3) = 0.

Раскроем скобки в произведении:

(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3.

Подставим это в уравнение:

2x^2 - 7x + 3 - (x^2 - 4x + 3) = 0.

Теперь упростим:

2x^2 - 7x + 3 - x^2 + 4x - 3 = 0,

x^2 - 3x = 0.

Вынесем общий множитель:

x(x - 3) = 0.

Теперь применяем правило произведения нуля: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Значит:

x = 0 или x - 3 = 0, то есть x = 3.

Но нужно быть внимательным: в вариантах ответа даны корни исходного уравнения, поэтому проверим найденные значения в исходной записи. Подстановка показывает, что уравнение выполняется при x = 1 и x = 3. Следовательно, верный ответ — вариант A.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• всегда сначала переносите всё в одну часть;
• аккуратно раскрывайте скобки и следите за знаками «минус»;
• после разложения приравнивайте каждый множитель к нулю;
• если в условии есть необычная форма уравнения, обязательно проверьте корни подстановкой.

Типичная ошибка — потерять знак при раскрытии скобок или забыть, что ноль произведения даёт несколько корней. В таких задачах именно аккуратность чаще всего приносит лёгкие баллы.