Двойные неравенства: задания с ответами

Сначала разберём, что означают точки на числовой прямой.

Закрашенная точка на границе означает, что эта граница входит в промежуток. Тогда знак неравенства будет нестрогим: ≤ или ≥.

Пустая точка означает, что граница не входит в промежуток. Тогда знак неравенства будет строгим: < или >.

Теперь смотрим на рисунок:

• левая граница: −2, точка закрашенная, значит x ≥ −2;
• правая граница: 3, точка пустая, значит x < 3.

Остаётся записать оба условия вместе в виде двойного неравенства:

−2 ≤ x < 3.

Почему это важно для ОГЭ: часто ошибаются в двух местах: путают, какой знак соответствует закрашенной точке, и забывают, что в двойном неравенстве слева всегда пишут левую границу, а справа — правую. Если перепутать порядок, получится неверный ответ даже при правильных знаках.

Как быстро решать такие задания:

1. Найди левую и правую границы промежутка.
2. Определи тип каждой точки: закрашенная или пустая.
3. Для закрашенной точки используй нестрогий знак.
4. Для пустой точки используй строгий знак.
5. Запиши ответ в порядке: левая граница — x — правая граница.

Правильный ответ: −2 ≤ x < 3.

Рассмотрим двойное неравенство -2 ≤ x < 3 по частям.

1) Слева стоит знак ≤, значит число -2 входит в промежуток. На числовой прямой это обозначают закрытой точкой, а в записи промежутка — квадратной скобкой слева: [-2.

2) Справа стоит знак <, значит число 3 не входит в промежуток. На числовой прямой это открытая точка, а в записи промежутка — круглая скобка справа: 3).

Итак, весь промежуток записывается так: [-2; 3).

Почему другие варианты неверны:

• (-2; 3) — не включает ни -2, ни 3, а у нас слева знак нестрогий.
• (-2; 3] — неверно: справа стоит закрытая скобка, будто 3 входит, но в неравенстве стоит < 3.
• [-2; 3] — неверно: здесь обе границы включены, а справа точка 3 должна быть исключена.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала смотрите на каждый знак отдельно. Если есть =, граница включается и ставится квадратная скобка или закрашенная точка. Если знаки строгие < или >, граница не включается и ставится круглая скобка или пустая точка. Это помогает быстро не потерять лёгкие баллы на таких заданиях.

Сначала внимательно смотрим на знаки у границ двойного неравенства -3 ≤ x < 2.

Левая граница — число -3, и стоит знак ≤. Это означает, что число -3 входит в промежуток. На числовой прямой это показывают закрашенной точкой, а в записи промежутка — квадратной скобкой слева.

Правая граница — число 2, и стоит знак <. Это означает, что число 2 не входит в промежуток. На числовой прямой это показывают незакрашенной точкой, а в записи промежутка — круглой скобкой справа.

Значит, все числа x, которые больше или равны -3, но строго меньше 2, образуют промежуток [-3; 2).

Правильный ответ: [-3; 2).

Полезно запомнить правило для ОГЭ:

• ≤ или ≥ — граница включается, значит квадратная скобка и закрашенная точка;
• < или > — граница не включается, значит круглая скобка и пустая точка.

Типичная ошибка — перепутать скобки и записать (-3; 2] или [-3; 2]. Чтобы не потерять балл, каждый знак сравнения проверяйте отдельно: слева и справа.

Нужно прочитать изображение промежутка и перевести его в запись неравенства.

1. Смотрим на левую границу. Точка -1 закрашена. Это означает, что число -1 входит в промежуток. Когда граница включена, ставят знак ≤ или ≥. Так как мы записываем промежуток для всех значений x между двумя числами, слева пишем -1 ≤ x.

2. Смотрим на правую границу. Точка 2,5 выколота. Это означает, что число 2,5 не входит в промежуток. Когда граница не включена, ставят знак < или >. Значит справа получаем x < 2,5.

3. Объединяем обе части. Получается двойное неравенство:

-1 ≤ x < 2,5

Почему это верно: все значения x должны быть не меньше -1 и строго меньше 2,5.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• закрашенная точка означает включение границы;
• выколотая точка означает нестрогий знак не подходит;
• не перепутайте порядок чисел: сначала левая граница, потом правая;
• если промежуток между двумя точками, обычно нужна запись вида a ≤ x < b или похожая.

Разбор вариантов: вариант A верный; в B перепутаны знаки у границ; в C обе границы включены, но правая должна быть выколотой; в D записаны значения вне промежутка, а не внутри него.

Сначала читаем двойное неравенство слева направо: −2 ≤ x < 3. Это означает, что число x находится между −2 и 3.

Теперь разбираем границы:

• у числа −2 стоит знак ≤, значит, эта граница входит в решение;
• у числа 3 стоит знак <, значит, эта граница не входит в решение.

Для записи промежутка это означает:

• левая скобка должна быть квадратной — [,
• правая скобка должна быть круглой — ).

Итак, правильный промежуток: [−2; 3).

Как это выглядит на координатной прямой: в точке −2 ставят закрашенную точку, в точке 3 — незакрашенную, а между ними выделяют весь отрезок.

Почему другие ответы неверны?

• (−2; 3) — здесь обе границы исключены, но слева граница должна входить.
• [−2; 3] — здесь обе границы включены, но справа 3 не входит.
• (−2; 3] — здесь слева граница исключена, а справа включена, то есть знаки перепутаны.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найди левую и правую границы; 2) посмотри, строгий или нестрогий знак стоит у каждой границы; 3) выбери скобки: нестрогий знак — квадратная скобка, строгий знак — круглая; 4) не забудь про порядок чисел слева направо.

Частая ошибка — смотреть только на числа и забывать про знаки <, >, ≤, ≥. Именно знаки решают, входит граница или нет.

Сначала нужно внимательно посмотреть на границы промежутка и на то, включаются ли они.

В записи [−2; 3) левая скобка квадратная, значит число −2 входит в промежуток. Это соответствует знаку ≤. Правая скобка круглая, значит число 3 не входит в промежуток. Это соответствует знаку <.

Поэтому промежутку [−2; 3) соответствует двойное неравенство −2 ≤ x < 3.

Почему другие варианты неверны:

• −2 < x ≤ 3 — здесь перепутаны границы: будто слева число не входит, а справа входит.
• −2 < x < 3 — обе границы сделаны строгими, но слева должна быть включённая точка.
• −2 ≤ x ≤ 3 — здесь обе границы включены, а правая граница в записи промежутка должна быть исключена.

Полезный алгоритм для ОГЭ: сначала определите, какая граница слева и какая справа, затем проверьте скобки, после этого переведите их в знаки неравенства. Квадратная скобка или закрашенная точка на прямой — это включение границы; круглая скобка или пустая точка — это исключение границы. Если помнить это правило, можно быстро и без ошибок выбирать правильный ответ.

Сначала определим, какие числа входят в промежуток. Закрашенная точка означает, что граница входит в промежуток, а пустая точка — что граница не входит.

Здесь левая граница равна -2 и она закрашена, значит, для неё нужен знак ≤. Правая граница равна 3 и она пустая, значит, для неё нужен знак <.

Переменная x находится между этими границами, поэтому записываем двойное неравенство так: -2 ≤ x < 3.

Правильный ответ: именно это двойное неравенство. Важно помнить порядок записи: сначала левая граница, потом переменная, потом правая граница. Частая ошибка у учеников — перепутать знаки или написать границы наоборот, например 3 > x ≥ -2. Это математически не всегда неверно, но в ОГЭ обычно просят записать ответ в стандартном виде: левая граница — x — правая граница.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

1. Найди левую и правую границы.
2. Посмотри, закрашены или пустые точки.
3. Выбери знаки: закрашенная точка — ≤ или ≥, пустая — < или >.
4. Запиши переменную между границами.

Если соблюдать этот алгоритм, такие задания можно решать очень быстро и без ошибок.

Сначала читаем двойное неравенство: -1 ≤ x < 4. Оно означает, что число x лежит между -1 и 4.

Теперь важно определить, входят ли границы в промежуток:

• знак ≤ у числа -1 значит, что -1 включается;
• знак < у числа 4 значит, что 4 не включается.

В записи промежутка это означает: слева ставим квадратную скобку, а справа — круглую. Получаем промежуток [-1; 4).

Как рассуждать на ОГЭ быстро:

1. Найди левую и правую границы.
2. Посмотри на знаки около каждой границы.
3. Если стоит ≤ или ≥, граница включена — нужна квадратная скобка.
4. Если стоит < или >, граница не включена — нужна круглая скобка.

Почему другие варианты неверны:

• (-1; 4) — неверно, потому что не включает ни одну из границ, а здесь левая граница включена.
• [-1; 4] — неверно, потому что включает число 4, а по условию должно быть x < 4.
• (-1; 4] — неверно, потому что не включает -1, хотя по условию -1 ≤ x.

Ответ: [-1; 4).

Правило-подсказка: знак с равенством — «закрытая» граница, без равенства — «открытая» граница. Это одна из самых частых тем, где можно потерять лёгкие баллы из-за одной скобки, поэтому всегда проверяй обе границы отдельно.

Сначала читаем рисунок как промежуток на координатной прямой.

1. Определяем левую и правую границы. Левая граница — число −2, правая — число 3. В двойном неравенстве меньшая граница всегда записывается слева, а большая — справа: сначала −2, потом 3.

2. Смотрим на вид точек. Закрашенная (плотная) точка означает, что граница входит в промежуток, значит ставим знак ≤. Пустая точка означает, что граница не входит в промежуток, значит ставим знак <.

3. Собираем ответ. Если промежуток начинается в −2 и точка закрашена, то −2 ≤ x. Если заканчивается в 3 и точка пустая, то x < 3. Вместе получаем:

−2 ≤ x < 3.

Почему другие варианты были бы неверны? Частая ошибка — перепутать знаки у границ: например, поставить строгое неравенство у закрашенной точки или нестрогое у пустой. Ещё одна ошибка — поменять местами границы и написать 3 < x ≤ −2, что невозможно, потому что левая граница должна быть меньше правой. Также нельзя записывать два отдельных неравенства в неправильном порядке, если это нарушает смысл промежутка.

Совет для ОГЭ: всегда сначала называйте левую и правую границы, потом отдельно проверяйте каждую точку: закрашенная — включаем, пустая — не включаем. Так вы быстро и без ошибок переведёте рисунок в двойное неравенство.

Сначала определим, какие числа входят в промежуток по рисунку.

1. Левая граница — это число -2. Точка закрашена, значит, это число входит в промежуток. Поэтому слева пишем знак ≤: -2 ≤ x.

2. Правая граница — это число 3. Точка не закрашена, значит, число 3 не входит в промежуток. Поэтому справа нужен строгий знак <: x < 3.

3. Объединяем оба условия в двойное неравенство:

-2 ≤ x < 3.

Это и есть запись выделенного промежутка.

Как быстро не ошибиться на ОГЭ:

• сначала найди левую и правую границы;
• посмотри, закрашены точки или нет;
• если точка закрашена — знак ≤ или ≥, если пустая — < или >;
• в двойном неравенстве переменная x должна стоять между границами.

Частые ошибки:

• путать левую и правую границы;
• ставить нестрогий знак вместо строгого и наоборот;
• писать неравенство в неверном порядке, например 3 < x ≤ -2, что невозможно, потому что левая граница должна быть меньше правой.

Правильный ответ: -2 ≤ x < 3.

Сначала читаем рисунок как промежуток на числовой прямой. Левая граница равна -2, и она отмечена закрашенной точкой. Это значит, что число -2 входит в промежуток, поэтому слева нужен знак ≤.

Правая граница равна 3, и она отмечена открытой точкой. Открытая точка означает, что число 3 не входит в промежуток, поэтому справа нужен знак <.

Так как речь идёт о двойном неравенстве, переменная x записывается между границами: сначала левая граница, потом x, потом правая граница. Получаем:

-2 ≤ x < 3.

Почему это важно на ОГЭ: часто ошибки бывают не в вычислениях, а именно в чтении рисунка. Запомните простое правило: закрашенная точка — граница входит, открытая точка — граница не входит.

Типичные ошибки:

• поставить строгий знак вместо нестрогого у закрашенной точки;
• написать границы в неверном порядке, например 3 > x ≥ -2 — это тоже допустимо по смыслу, но в школьных заданиях обычно ждут запись вида -2 ≤ x < 3;
• перепутать открытую и закрашенную точку.

Чтобы не потерять лёгкий балл, всегда делайте три шага: 1) найдите левую и правую границы, 2) определите, входят ли они в промежуток, 3) запишите двойное неравенство слева направо.

Сначала внимательно смотрим на знаки неравенства около каждой границы.

В неравенстве 2 ≤ x < 7 левая граница — число 2. Знак ≤ означает, что 2 входит в промежуток, поэтому слева нужна квадратная скобка.

Правая граница — число 7. Знак < означает, что 7 не входит в промежуток, поэтому справа нужна круглая скобка.

Значит, промежуток записывается так: [2; 7).

На координатной прямой это изображается так: в точке 2 ставим закрашенную точку, в точке 7 — пустую точку, а между ними выделяем весь отрезок.

Почему часто ошибаются? Самая частая ошибка — перепутать тип скобки. Нужно помнить простое правило: строгий знак < или > даёт круглую скобку, а нестрогий ≤ или ≥ — квадратную.

Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в двойном неравенстве надо учитывать обе границы отдельно. Слева и справа знаки могут быть разными, и у каждой границы своя скобка.

Итак, правильный ответ: [2; 7).