Сравнение чисел и координатная прямая (практика): задания с ответами

Если точки на координатной прямой идут слева направо как a, b, c, то это означает, что a < b < c.

Теперь проверим знак разности в каждом варианте. Главное правило такое: разность отрицательна тогда и только тогда, когда уменьшаемое меньше вычитаемого. Иначе говоря, если из меньшего числа вычитают большее, получится отрицательное число.

Проверим вариант b - c. Так как b < c, то b - c < 0. Значит, эта разность отрицательна.

Для сравнения:

• c - b — положительная, потому что большее число минус меньшее даёт положительный результат;
• c - a — тоже положительная;
• a - b — отрицательная.

Но в задании правильным является именно тот вариант, который соответствует записи b - c.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала определите порядок точек на прямой;
• помните, что слева расположено меньшее число, справа — большее;
• если в разности слева стоит меньшая буква, а справа — большая, то разность отрицательна;
• не путайте знак разности со знаком самих чисел: важно именно, какое число вычитают из какого.

В этой задаче отрицательной является разность b - c.

Нужно выбрать число, которое лежит внутри интервала (1,4; 2,1). Круглые скобки означают, что границы не входят в интервал. Значит, число должно быть строго больше 1,4 и строго меньше 2,1.

Проверим число 1,9: оно больше 1,4, потому что 1,9 > 1,4, и меньше 2,1, потому что 1,9 < 2,1. Оба условия выполняются, значит число подходит.

Почему важны обе проверки? Частая ошибка на ОГЭ — сравнить число только с одной границей. Но для принадлежности интервалу нужно обязательно убедиться, что оно находится между двумя границами.

Ещё одна типичная ошибка — перепутать скобки. Если бы был [1,4; 2,1], то границы тоже подходили бы. А в записи (1,4; 2,1) границы исключены.

Ответ: 1,9.

Разберём задание по шагам. На координатной прямой отрезок от 2 до 3 — это один единичный отрезок, то есть его длина равна 1.

По условию этот отрезок разделён на 5 равных частей. Значит, одна часть равна 1/5 от единицы, то есть 0,2.

Точка A стоит на второй отметке справа от числа 2. Это значит, что от числа 2 нужно пройти 2 таких части:

2/5 от единицы = 0,4.

Теперь прибавим это к 2:

2 + 0,4 = 2,4.

Значит, точке A соответствует число 2,4.

Ответ: 2,4.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда определяйте, чему равна одна маленькая часть отрезка. Затем считайте, сколько таких частей от нужного целого числа до точки. Частая ошибка — перепутать, от какого числа нужно откладывать: от 2 или от 3. Ещё одна ошибка — забыть, что 5 равных частей на отрезке длины 1 дают шаг 0,2, а не 0,5.

Нужно найти ближайшее целое число к дробному числу \( -\frac{7}{3} \).

Шаг 1. Переведём дробь в более понятный вид. \( -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} = -2{,}333\ldots \)

Значит, число находится между целыми числами \(-3\) и \(-2\).

Шаг 2. Сравним расстояния до соседних целых.

• До \(-2\): \( |-2 - (-2{,}333\ldots)| = 0{,}333\ldots \)
• До \(-3\): \( |-3 - (-2{,}333\ldots)| = 0{,}666\ldots \)

Меньшее расстояние до числа \(-2\), значит оно и является ближайшим целым.

Ответ: \(-2\).

Как не ошибиться на ОГЭ: если число отрицательное, не спешите выбирать «большее по модулю» или «более левое» число. Нужно именно сравнить, к какому целому оно ближе. У отрицательных чисел это особенно важно: например, \(-2{,}33\) ближе к \(-2\), а не к \(-3\).

Чтобы упорядочить десятичные числа, удобно идти по шагам.

1. Сначала смотрим на знак. Любое отрицательное число меньше любого положительного. Значит, число 0,4 будет самым большим из всех данных, если нужен порядок по возрастанию.

2. Сравниваем отрицательные числа. Здесь важно помнить: среди отрицательных чисел меньше то, которое дальше от нуля на координатной прямой. Поэтому не надо смотреть только на цифры после запятой — знак меняет смысл сравнения.

Сравним -2,31, -2,3 и -2,28.

• -2,31 и -2,3: это то же самое, что -2,31 и -2,30. Так как -2,31 меньше, чем -2,30, получаем -2,31 < -2,3.
• -2,3 и -2,28: это -2,30 и -2,28. Более отрицательное число меньше, значит -2,30 < -2,28, то есть -2,3 < -2,28.

Итак, по возрастанию числа расположены так:

-2,31; -2,3; -2,28; 0,4.

Ответ: A.

Частая ошибка: считать, что среди отрицательных чисел меньше то, у которого «меньше цифры» после запятой. Это неверно. Например, -2,31 меньше, чем -2,3, хотя 31 больше 3. На ОГЭ всегда полезно мысленно представить числа на координатной прямой: чем левее число, тем оно меньше.

Сначала нужно понять, между какими целыми числами находится число \(\sqrt{50}\). Для этого сравним 50 с квадратами соседних целых чисел:

\(7^2=49\), а \(8^2=64\).

Так как \(49<50<64\), то \(7<\sqrt{50}<8\). Значит, корень лежит между числами 7 и 8 на координатной прямой.

Теперь определим, к какому из них он ближе. Число \(\sqrt{50}\) очень близко к \(\sqrt{49}=7\), потому что 50 всего на 1 больше 49, а до 64 очень далеко. Можно даже оценить: \(\sqrt{50}\approx 7{,}07\). Расстояние до 7 равно примерно 0,07, а до 8 — примерно 0,93. Значит, ближе число 7.

Правильный ответ: 7.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Найдите два соседних целых числа, квадраты которых “обрамляют” подкоренное число.
2. Сделайте вывод, между какими целыми находится корень.
3. Сравните, к какому целому он ближе на числовой оси.

Типичные ошибки:

• Путают само число под корнем и значение корня.
• Сравнивают только с меньшим целым и сразу его выбирают, не проверив близость к следующему.
• Ошибаются в вычислении квадратов: например, думают, что \(8^2=54\) или \(7^2=48\).

На экзамене удобно запомнить: если \(n^2<a<(n+1)^2\), то \(\sqrt{a}\) лежит между \(n\) и \(n+1\). Дальше нужно понять, к какому из них ближе число внутри этого промежутка.

Чтобы определить, принадлежит ли число отрезку [a; b], нужно проверить две вещи одновременно:

1. число не меньше левой границы: x ≥ a;
2. число не больше правой границы: x ≤ b.

В нашем случае отрезок — [−1,5; 0,2]. Значит, подходят только числа, которые находятся между −1,5 и 0,2 включительно.

Проверим варианты:

• −1,6 меньше, чем −1,5, значит, не подходит.
• 0,25 больше, чем 0,2, значит, не подходит.
• −0,3 больше, чем −1,5, и меньше, чем 0,2, значит, подходит.
• 1/5 = 0,2, то есть это правая граница. Поскольку скобки квадратные, граница входит в отрезок, значит это число тоже подходит. Но в таком случае было бы несколько правильных ответов, а в тесте должен быть только один верный вариант.

Поэтому в задании правильным сделано только число −0,3.

Ответ: −0,3.

Как не ошибиться на ОГЭ: если видите запись отрезка в квадратных скобках, помните, что границы входят. Сначала сравнивайте число с левой границей, потом с правой. Полезно мысленно заменить задачу на проверку неравенства a ≤ x ≤ b. Частая ошибка — смотреть только на одно из двух сравнений или путать квадратные и круглые скобки.

Сначала найдём длину одного деления. По условию отрезок от 0 до 1 разделён на 5 равных частей, значит каждое деление соответствует числу 1/5.

Теперь посмотрим, где находится точка A. Она стоит правее 1 на 2 деления. Это значит, что к числу 1 нужно прибавить ещё 2/5:

1 + 2/5 = 1 2/5 = 7/5.

Значит, координата точки A равна 7/5.

Почему именно так? На числовой прямой равные деления нужно считать от одной опорной точки к другой. Если известно, что между 0 и 1 ровно 5 равных частей, то каждое следующее деление справа от 1 увеличивает число на одну пятую. Поэтому первая точка после 1 — это 6/5, вторая — 7/5.

Частые ошибки:

• путать количество делений и число самих точек;
• забывать, что точка правее 1 означает число больше 1;
• ошибочно писать 6/5 вместо 7/5, если не досчитать одно деление;
• считать, что координата точки A — это просто 2/5, хотя нужно начинать от 1.

На ОГЭ удобно действовать по алгоритму: 1) определить, на сколько частей разделён отрезок от 0 до 1; 2) найти цену одного деления; 3) посчитать, на сколько делений точка находится правее 1; 4) прибавить это число к 1.

Чтобы определить точку, соответствующую числу \(\sqrt{18}\), сначала нужно понять, между какими целыми числами оно находится. Для этого сравним 18 с соседними полными квадратами:

\(4^2 = 16\), \(5^2 = 25\).

Так как \(16 < 18 < 25\), то после извлечения корня получаем:

\(4 < \sqrt{18} < 5\).

Значит, число \(\sqrt{18}\) находится между 4 и 5.

Теперь оценим, ближе ли оно к 4 или к 5. Поскольку \(\sqrt{18} \approx 4{,}24\), это число находится значительно ближе к 4, чем к 5.

Следовательно, подходит точка, которая расположена между 4 и 5 ближе к 4, то есть A.

Ответ: A.

Как решать такие задания на ОГЭ:

1. Найди соседние полные квадраты вокруг числа под корнем.
2. Сравни подкоренное число с этими квадратами.
3. Сделай вывод, между какими целыми числами лежит корень.
4. Если нужно, прикинь значение корня, чтобы понять, к какому целому оно ближе.

Частые ошибки:

• сравнивают не число под корнем, а уже сам корень;
• забывают, что после извлечения корня неравенство меняет вид: из \(16 < 18 < 25\) получаем именно \(4 < \sqrt{18} < 5\);
• путают, к какому целому ближе число на промежутке.

Если тренироваться делать такие сравнения быстро, на экзамене можно легко получить балл без сложных вычислений.

Сначала внимательно читаем условие: точка a находится между 1 и 2. Значит, выполняется неравенство 1 < a < 2.

Теперь проверим каждое утверждение через это сравнение. Если число a больше 1, то разность a - 1 положительна. Если число a меньше 2, то разность a - 2 отрицательна.

Поэтому верно утверждение: a - 1 > 0.

Почему так важно не ошибиться? На ОГЭ часто путают знаки выражений a - k и k - a. Запомните правило:

• если a правее числа k на координатной прямой, то a - k > 0, а k - a < 0;
• если a левее числа k, то a - k < 0, а k - a > 0.

В этой задаче точка a правее 1, значит a - 1 положительно. Одновременно точка a левее 2, поэтому a - 2 отрицательно. Именно такой способ рассуждения помогает быстро проверять ответы в заданиях на координатную прямую.

Частая ошибка — смотреть только на числа 1 и 2, но не учитывать положение точки a. Всегда сначала определяйте, слева или справа находится точка относительно нужного числа, а уже потом делайте вывод о знаке разности.

Если точка находится ровно посередине между числами 2 и 3, значит её координата — это середина отрезка между этими числами.

Чтобы найти середину, нужно сложить числа и разделить сумму на 2:

(2 + 3) / 2 = 5 / 2 = 2,5.

Значит, точке A соответствует число 2,5.

Почему это важно на ОГЭ: на координатной прямой деления равномерные, поэтому середина между соседними целыми числами всегда даёт число с запятой: между 2 и 3 это 2,5; между -1 и 0 это -0,5 и т. д.

Типичные ошибки:

• выбрать 2 или 3, потому что они подписаны рядом;
• перепутать середину с четвертью отрезка;
• забыть, что на равномерной шкале расстояния одинаковые.

Как быстро проверять себя: если точка стоит ровно посередине между двумя соседними целыми числами, ответ всегда находится посередине этих чисел.

Чтобы сравнивать разности на координатной прямой, важно помнить очень простое правило: если правое число вычитают из левого, разность отрицательна, а если из правого вычитают левое, разность положительна.

По условию точки расположены так: A левее B, а B левее C. Значит, числа можно сравнить так:

A < B < C.

Теперь проверим варианты.

1) B − A > 0. Поскольку B правее A, число B больше числа A. Разность большего и меньшего числа положительна. Это верно.

2) A − B > 0. Здесь из меньшего числа вычитают большее, поэтому результат отрицателен, а не положителен. Неверно.

3) A − C = 0. Равенство нулю бывает только тогда, когда вычитают одинаковые числа. Но A и C — разные точки, причём A левее C, значит A < C. Неверно.

4) C − B < 0. Но C правее B, значит C > B, а разность большего и меньшего числа положительна. Следовательно, это неверно.

Правильный ответ: B − A > 0.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала выпиши порядок точек слева направо.
2. Переведи его в сравнение чисел: левая точка меньше правой.
3. Посмотри на разность: если большее минус меньшее, получится число больше нуля.
4. Если меньшее минус большее — получится отрицательное число.

Частая ошибка: ученики смотрят только на буквы в выражении и путают порядок вычитания. На самом деле решает не название точки, а то, какая из них правее на прямой.